Pénzügymatematika

1. Pénzügymatematika Dr. Pintér Éva PTE KTK GTI

2. Könyvek gyakorlásra: Balla-Pintér (2003): Vállalati finanszírozási gyakorlatok, példatár, PTE Fazakas-Gáspár-Soós (2003): Bevezetés a pénzügyi és a vállalati pénzügyi számításokba, Tanszék Kiadó Sándorné (2003): Pénzügyek a gyakorlatban, Penta Unió Kiadó Ulbert-Kruzslicz-Pintér (2004): Pénzügymatematika, PTE jegyzet

3. Tisztázandó fogalmak • Infláció (előrejelzés, honnan?) • Fogyasztói árindex (Hol található?) • Reálkamat/reálkamatláb • Kamatadó (mekkora törvényileg?) • Jövőérték/jelenérték

4. Témakörök 1. A pénz időértéke (alapelvek, okok) 2. Kamatozás 3. Jövőérték (FV) 4. Jelenérték (PV) 5. Kamatfizetés gyakorisága 6. Névleges és tényleges kamatráta 7. Logkamatláb

5. Bevezetés • A vállalat pénzügyi döntései • Beruházás: reáleszközökbe történő pénzbefektetés (tárgyi eszközök, immateriális eszközök) • Mi határozza meg az eszközök árát, vagy piaci értékét? • Hogyan hasonlíthatjuk össze a különböző időpontokban esedékes pénzáramlásokat?

6. A kamat egy forint lehetséges mai megszerzési, elmulasztási, haszonáldozati vagy alternatíva költsége. A pénz időértéke A pénz értéke az idő folyamán állandóan változik. A befektetők előnyben részesítik a mai készpénzt a holnapival szemben (értéknövelés).

7. A pénz időértéke • alapvető dolog a pénzügyi menedzsment számára • a kölcsönök tényleges rátájának, a befektetések igazi megtérülésének megértése • amíg egy befektető jövedelemre tehet szert a felesleges pénzeszközeiből, különbséget kell tenni a ma és a jövőben megkapott pénz között.

8. Alapelvek • 1 mai pénzegység befektethető és kamatozik. 1 Ft ma többet ér, mint 1 Ft holnap. • 1 biztos jövőbeli Ft többet ér, mint 1 bizonytalan. (biztos pénzáram, bizonytalan pénzáram) 3. Összeadhatóság vagy értékmegmaradás törvénye

9. A pénz értékbeni csökkenésének okai • az infláció, • a kockázat, és • a likviditás előnyben részesítése.

10. A kamatláb - átszámítási kulcs - a befektetők jutalma azért, hogy elhalasztják a fogyasztásukat Biztos pénzáram rf: kockázatmentes kamatláb (állampapír hozam) Bizonytalan pénzáramlás Hasonló kockázatú értékpapírok által ígért várható hozam Várható pénzáramlásokat várható megtérülési rátákkal diszkontálunk.

11. Kamatozás • Kamatos kamatozás: a kamatokat újratőkésítik • Egyszerű vagy sima kamatszámítás (pl. időarányos kamat), a kamatok nem kamatoznak • Fix kamatozás: numerikusan rögzített kamatlábak a futamidő egészére • Lebegő kamatozás: pl. LIBOR + 0.5%

12. Jövőérték (FV)

13. Jövőérték (FV) Mennyit ér a bankbetét 1 év múlva, ha PV összeget helyezünk el a bankban r kamatláb mellett? FV1 = PV + PV * r = PV * (1 + r) ahol FV1 = a betét értéke 1 év múlva PV = a jelenleg befektetett összeg r = a kamatláb

14. Mennyit ér az előbbi betét n év múlva? FV2 = FV1 * (1 + r) FV2 = PV* (1 + r) * (1 + r) FV2 = PV* (1 + r)2 …….. FV n = FV n-1*(1+r) = PV* (1 + r)n Ahol kamatos kamattal számolunk és n = az évek száma.

15. A kamatos kamatszámítás eredménye 20%-os kamatráta mellett 1.

16. A kamatos kamatszámítás eredménye

17. 100Ft jövőértéke (FV) különböző kamatráták mellett

18. Jövőérték táblázat segítségével FV n = PV* FVIFr,n ahol FVIF : a jövőbeni érték kamattényezője (faktora) PV : a jelenleg befektetett összeg r : a kamatláb n : időszakok (évek) száma FVIFr,n = (1 + r)n

19. Jelenérték (PV), diszkontálás

20. Mennyit kell ma befektetni r kamatláb mellett, hogy 1 év múlva FV összegünk legyen? PV= a most befektetendő összeg FV1= az 1 év múlva várt összeg r= a kamatláb PVDF1= jelenérték diszkontfaktor

21. Mennyit kell ma befektetni r kamatláb mellett, hogy n év múlva FV összegünk legyen? PV= a most befektetendő összeg FVn= az n év múlva várt összeg r= a kamatláb PVDFr,n= jelenérték diszkontfaktor r, n mellett

22. Jelenérték táblázat segítségével PVDF = a jelenérték diszkonttényezője (faktora) FV = a jövőben megkapandó összeg r = a kamatláb n = időszakok (évek) száma

23. 100Ft jelenértékének (PV) változása különböző kamatráták mellett

24. A kamatfizetés gyakorisága

25. Kamatfizetés gyakorisága • Mennyit ér az PV összegű betét 1 év múlva, r kamatláb mellett, ha a kamatfizetés félévente történik?

26. Kamatfizetés gyakorisága • Mennyit ér az PV összegű betét 1 év múlva, r kamatláb mellett, ha a kamatfizetés havonta történik?

27. Kamatfizetés gyakorisága • Mennyit ér a PV összegű betét n év múlva, r kamatláb mellett, ha a kamatfizetés havonta történik?

28. ÁLTALÁNOSAN m = éven belüli időszakok száma, kamatfizetés gyakorisága n = évek száma r = éves ígért kamatláb

29. Nominális és effektív kamatráta

30. A nominális és az effektív kamatráta r(eff) = tényleges (effektív) kamatráta r = névleges (nominális) kamatráta

31. A nominális és az effektív kamatráta • Havi 1 %-os kamatfizetés mennyit jelent éves szinten? r: 0,01*12 = 0,12 12 % nominális kamatláb, havonkénti kifizetéssel; r(eff): 1,0112 - 1 = 0,1268-nak megfelelő: 12,68 % effektív kamatláb

32. FOLYTONOS KAMATLÁB: • Egy speciális effektív kamatláb. • Ha az időszakon belüli periódusok száma nő, akkor az effektív kamatláb csökkenő mértékben nő, • ami azt jelenti, hogy van az effektív kamatlábnak egy felső korlátja és ez a folytonos kamatláb. • A folytonos kamatláb azt feltételezi, hogy az éven belüli időszakok száma végtelen, vagyis minden időpillanatban megtörténik a tőkésítés.

33. FOLYTONOS KAMATLÁB

34. 100 Ft értéke 1 év elteltével 12%-os névleges kamatláb mellett különböző kamatfizetési gyakoriságok esetén