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第9章 差错控制编码

第9章 差错控制编码. 9.1 引言 9.2 纠错编码的基本原理 9.3 常用的简单编码 9.4 线性分组码 9.5 循环码 9.6 卷积码. 9.1 引言. 差错控制编码的基本方法 在发送端被传输的信息序列上附加一些监督码元,这些多余码元与信息码元之间以某种确定的规则相互关联(约束),接收端按照既定的规则检验信息码元与监督码元之间的关系. 常用差错控制方法. 检错重发 前向纠错. 检错码. 发. 收. 应答信号. 纠错码. 发. 收. 混合纠错. 纠检错. 发. 收. 应答信号.

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第9章 差错控制编码

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  1. 第9章 差错控制编码 9.1 引言 9.2 纠错编码的基本原理 9.3 常用的简单编码 9.4 线性分组码 9.5 循环码 9.6 卷积码

  2. 9.1 引言 • 差错控制编码的基本方法 在发送端被传输的信息序列上附加一些监督码元,这些多余码元与信息码元之间以某种确定的规则相互关联(约束),接收端按照既定的规则检验信息码元与监督码元之间的关系.

  3. 常用差错控制方法 • 检错重发 • 前向纠错 检错码 发 收 应答信号 纠错码 发 收

  4. 混合纠错 纠检错 发 收 应答信号 常用检错重发系统: 停发等候重发,返回 重发和选择重发

  5. 停发等候重发 TI 发 1 2 3 3 NAK ACK 接收 1 2 3 发现错误 这是一种半双工的通信方式,原理简单, 效率低.

  6. 重发码组2 7 8 9 10 11 12 返回重发 选择重发 (传输效率最高,需复杂的控制,收、发数据缓存) 发 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 8 9… 从码组2开始重发 NAK 接收 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 8 9… 发现错误

  7. 9.2 纠错编码的基本原理 • 分类 按差错控制编码的功能：检错码、纠错码、纠删码。 按信息码元和附加的监督码元之间的检验关系：线性码、非线性码。 按信息码元和监督码元之间的约束方式：分组码、卷积码。

  8. 例：3位二进制数构成的码组表示天气

  9. 如不要检（纠）错，传输4种不同的信息，用两位码组就够了，这两位码代表所传信息，称为信息位，多增加的称为监督位。如不要检（纠）错，传输4种不同的信息，用两位码组就够了，这两位码代表所传信息，称为信息位，多增加的称为监督位。 • 将信息码分组，为每组信码附加若干监督码的编码，称为分组码。在分组码中，监督码元仅监督本码组的中的信息码元。 • 分组码用（n，k）表示，n—码组长度， k —信息位数，n – k = r 监督位数。 • 1的数目称为码组的重量，两个码组对应位上数字不同的位数称为码组距离（汉明距离）。各码组间距离的最小值为最小码距 d0

  10. B A 1 2 d0的大小直接关系着编码的检，纠错能力。 • 为检测 e 个错码，要求 d0 ≥ e + 1 • 为纠正 t 个错码，要求 d0 ≥2 t + 1 • 为纠正 t 个错码，同时检测 e 个错码，要求 d0 ≥ e + t +1 B B B 3 4 1 2 5 A B d0 d0

  11. A 1 B t e 若随机信道中，发送“0”和发送“1”时的 错误概率相等，为P，且P<<1,则码长为 n 的码组恰好发生r个错码的概率为:

  12. 当 n=7 P=10-3时 P(1) ≈7×10-3 P(2) ≈2.1×10-5 P(3) ≈3.5×10-8 可见,采用差错控制编码,即使仅能纠正这种码组中的1 ~ 2个错误,也可以使误码率下降几个数量级.

  13. 9.3 常用的简单编码 • 奇偶监督码 无论信息位有多少,监督位只有一位,使码组中“1”的数目为偶(或奇)数. 接收端 这种码能够检测奇数个错码,适用 检测随机错误

  14. 二维奇偶监督码 • 把上述奇偶监督码的若干码组排列成矩阵,每一码组写成一行,然后,再按列的方向增加第二维监督位

  15. 恒比码 • 每个码组均含有相同数目的“1”(和“0”).由于“1”的数目与“0”的数目之比保持恒定,故得此名. 正反码 • 是一种简单的能够纠正错码的编码,监督位数目与信息位数目相同,监督位与信息位相同或相反,由信息码中的“1”的个数而定.

  16. 9.4 线性分组码 • 线性分组码中信息码元和监督码元是用线性方程联系起来的.线性码建立在代数学群论基础上,线性码各许用码组的集合构成代数学中的群,因此,又称群码. • 主要性质 任意两许用码组之和(模2和)仍为一许用码组. (封闭性) 码的最小距离等于非零码的最小重量

  17. 奇偶监督码是一种最简单的线性码,偶校验时 • S称为校正子,又称伴随式. S=0无错,S=1 有错. • 一般, 由r个监督方程式计算得r个校正子,可以用来指示2r-1种错误,对于一位误码来说,就可以指示2r-1个误码位置.对于(n,k)码,如果满足2r-1≥n 则可能构造出纠正一位或一位以上错误的线性码.

  18. 设分组码(n,k)中k=4,为纠正一位错码,要求r≥3, 则 n=k+r=7

  19. （1） 计算监督位 判断错码位置 （2） 按上述方法构造的纠正单个错误的线性 分组码称为汉明码。 码长 n=2r – 1 信息位 k= 2r – 1 – r 监督位r

  20. P Ir 编码速率= • （1）改写为 表示成矩阵形式 =

  21. 简记为 或 • H称为监督矩阵，H确定，则编码时监督位和信息位的关系就完全确定了。 P为r × k 阶 Ir为 r × r 阶单位方阵 具有[ P Ir ]形式的H矩阵称为典型阵。 （2）改写为： =

  22. 或 Q 生成矩阵 G A G

  23. 具有 形式的生成矩阵称为典型生成矩阵。 由典型生成矩阵得出的码组A中，信息位不变，监督位附加其后，这种码称为系统码。

  24. 发送码组A在传输过程中可能发生误码，设接收到的码组为B=[bn-1 bn-2 … b0] • 则 B – A = E E= [en-1 en-2 … e0] 错误图样 也可写作 B=A+E

  25. 接收端计算校正子为 错误图样与校正子之间有确定的关系

  26. 例 设 且有3个接收码组 • 验证3个接收码组是否发生差错？ • 若在某码组中有错码，错码的校正子是什么？然后再指出发生错码的码字中，哪位有错？

  27. 解：1）若无错，则错误图样为0，S为0 B1无错 B2错 B3错 2） ∵ S2=H 第1列 ∴ E=[1 0 0 0 0 0] 第1位错 同理 S3=H 第3列 ∴ E=[0 0 1 0 0 0] 第3位错

  28. 线性码的重要性质 • 封闭性 任意许用两个码组之和仍为许用码组 • 两个码组之间的距离必是另一码组的重量,故最小码距即码的最小重量(除全0码外)

  29. 9.5 循环码9.5.1 循环码原理 • 循环码是一种重要的线性分组码,易于实现,性能较好. • 循环码除具有线性码的一般性质外,还具有循环性,即循环码中任一码组循环一位以后,仍为该码中的一个码组. • 一长为n的码组可表示成码多项式

  30. 码多项式的按模运算若F(x) = N(x) Q(x) + R(x) 则 F(x) ≡ R(x) ( 模 N(x) ) 例

  31. 在循环码中,若 T(x)是一个长为n的许用码组,则xi T(x)在按模xn +1运算下,也是一个许用码组. 即 若 则 T′(x)也是一个许用码组

  32. 在循环码中，一个（n，k）码有2k个不同码组 • 假设用g（x）表示一个前k-1位皆为0（第k位不为0）的码组 则 在循环码中，除全0码外，再没有连续k位均为“0”的码组，即连“0”的长度最多只能k-1位。因此g（x）必须是一个常数项不为“0”的n-k次多项式 生成多项式

  33. g(x),xg(x),x2g(x), …xk-1g(x)都是码组,且线性无关,故循环码的生成矩阵G可写成 • 假如输入信息码元mk-1 mk-2 … m0 则

  34. 所有码多项式T(x)都可被g(x)整除,而且,任一次数不大于k-1的多项式乘g(x)都是码多项式.所有码多项式T(x)都可被g(x)整除,而且,任一次数不大于k-1的多项式乘g(x)都是码多项式. • 生成多项式g(X)的确定 ∵ T(x) = h(x) g(x) 又 g(x)为一个码组, 故xkg(x)在模xn+1运算下也为一码组, 故可写成 =1

  35. 都可作为(7,3)循环码的生成多项式 • 故 g(x) 是 xn+1的一个n – k次因式, 此即寻找 g(x) 的方法. 例

  36. 9.5.2 循环码的编、解码方法编码步骤 • 根据给定的（n,k)选定生成多项式g(x),即从xn+1的因子中选一n-k次多项式作为g(x). • 所有码多项式T(x)都可被g(x)整除,据此对给定的信息位m(x)进行编码. • 信息码后附加n-k个0

  37. 例 (7,3)循环码 m(x)=x2+x, g(x)= x4 +x2+x+1 • 解 r(x) 监督位 信息位

  38. （7，3）码编码器 S e a b c d + + + 输出f 输入m m a b c d e f 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 f=m f=e

  39. 循环码的解码 • 将接收码组R(x)用g(x)去除,若未发生错误, R(x)能被g(x)整除, 发生错误则有余项.

  40. 9.6 卷积码 在编码器复杂性相同的情况下,卷积码的性能优于分组码. • 卷积码把k个信息位编n位,k和n通常很小,特别适宜于串行形式传输,延时小. • n 个码元与当前段的k个信息位有关,而且与前N-1段的信息有关,编码过程相互关联的码元为Nn个. • N或nN称为卷积码的约束长度, • 常把卷积码记作(n,k,N)

  41. 6 5 4 3 2 1 bici 输入bi 输出 ci + 卷积码编码器 k=1, n=2, N=6

  42. (2,1,6)卷积码门限译码器 bi 一级移存 b6 b5 b4 b3 b2 b1 输出 输入 ci + 重算ci + 校正子 S6 S5 S4 S3 S2 S1 + 门限电路 “1”的个数≥3?

  43. 假定b1以前各码元均未发生错误,则 (1)

  44. (1)式经线性变换 (2) • 这是一组正交于E(b1)的正交校验方程,在所考察的12个码元(b1~b6,c1~c6)中错误不多于2个的条件下,仅当E(b1)=1, (2)式才有可能有3个或3个以上方程等于1. 门限电路门限设为3,此时,门限电路输出“1”,纠正b1错误,同时送到受E(b1)影响的各级校正子移存器纠正其中错误.

  45. 监督矩阵H假定b1进入编码器之前，各级移存器处于“0”状态监督矩阵H假定b1进入编码器之前，各级移存器处于“0”状态 则 即

  46. 用矩阵表示为 n n-k 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 … H1

  47. H1：截短监督矩阵自第7行起，每行结构相同，只是每行的起始比上一行多两个“0”。H1：截短监督矩阵自第7行起，每行结构相同，只是每行的起始比上一行多两个“0”。 • 一般，卷积码的截短监督矩阵形式为：

  48. In-k— n-k阶单位方阵Pi— （n-k）×k矩阵0 —n-k 阶全零方阵 • 基本监督矩阵 h=[ PN 0 PN-1 0 PN-2 0 … P1 In-k ] 只要给定h，H1随之确定。

  49. 生成矩阵G基本生成矩阵gg=[ IK Q1 0 Q2 0 Q3… 0 QN ] • 截短生成矩阵 Ik— k阶单位方阵Qi =PiT—k × （n-k）矩阵0 —k 阶全零方阵

  50. 卷积码的图解表示 mj + y1，j （3，1，3）卷积码编码器 a 状态m1m2为00， b 状态m1m2为01， c 状态m1m2为10， d 状态m1m2为11。 输入序列 mj M3 M2 M1 Y2，j +

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