§2-3 线性系统的可观性

1. §2-3线性系统的可观性 一、可观测性的定义 系统可观测性所要研究的是由输出估计状态的可能性。 例2-11：考虑如下二阶系统： 其状态转移阵为

5. 已知 已知

6. 已知

7. 这个例子说明，通过对系统输入和输出信息的测量，经过一段时间的积累和加权处理之后，我们可以唯一地确定出系统的初始状态，也就是说，输出对系统的初始状态有判断能力。初始状态一旦确定，则系统在任何时刻的状态就完全掌握了。

8. 定义2-6：若对状态空间中任一非零初态x(t0)，存在一个有限时刻t1>t0，使得由输入u[t0,t1]和输出y[t0,t1]能够唯一确定初始状态x(t0)，则称动态方程定义2-6：若对状态空间中任一非零初态x(t0)，存在一个有限时刻t1>t0，使得由输入u[t0,t1]和输出y[t0,t1]能够唯一确定初始状态x(t0)，则称动态方程 在t0时刻是可观测的。反之称为是不可观测的。

9. 二、可观测性的一般判别准则 定理2-8：动态方程 在t0时刻可观测的充分必要条件是存在一个有限时刻t1>t0，使得矩阵 的 n 个列在[t0, t1]上线性无关。

10. (＊) 证明：充分性： 1）研究 分析(＊) 式：q 个方程，n 个未知数，因此只利用 t0时刻的输出值无法唯一确定x(t0) 。 2). 利用 y 在［t0, t1］的值，通过加权处理， 即在(＊) 式两边左乘： 经过整理后有：

11. 3). 对上式两边由t0 到 t1 积分，有 对照定理2-1，可知 V(t0, t1) 非奇异的充分必要条件是C(t)(t, t0)在[t0, t1]上列线性无关。

12. 注：在讨论上述方程的可解性时，不妨令u=0，即只讨论从零输入响应中求初态。注：在讨论上述方程的可解性时，不妨令u=0，即只讨论从零输入响应中求初态。 证完。

14. 类似于定理2-5，有 定理2-10设状态方程(A(t), B(t), C(t))中的矩阵A(t), C(t)是(n1)次连续可微的。若存在有限时间t1>t0,使得 这里， 则系统在t0时刻可观测。

15. 三、可重构性 与可到达性概念相仿，可引入可重构的概念。 定义2-7与定义2-6在因果性上有区别：可重构 是用过去的信息来判断现在的状态；而可观测性则 是用未来的信息来判断现在的状态。

16. 可重构 (2—1） t1 t0 可观测 t1 t0 定理2-9：系统

17. 四、线性系统的对偶性

18. 同理可证2)。

19. （2-21） (1) 在[0， )中的每一个t0 ,（2-21）可观测； (2) CeAt的各在[0， )上是复数域线列线性无关。 五、线性时不变系统的可观测性判据 定理2-11：对于n维线性不变状态方程 下列提法等价: (3)对于任何t0 ≥0 及任何 t > t0 ，矩阵 非奇异；

20. (6) 对于A 的任一特征值 ，都有 (5) 在复数域上，矩阵C(sIA)1的列是线性无关的； 证明：利用对偶原理即可证明。

22. 而

23. 不可观测的振型及相应的模式 若定理2-11,6的条件不满足，即存在 这说明 是A的属于特征值0的特征向量，它在C的核空间中，0 是不可观的模态。它对应的特征向量落在C的核中，输出 y 不反映0对应的运动模式。

24. 例题

26. §2- 4 若当型动态方程 的可控性和可观测性 令 ， ，则经等价变换后有 一、等价变换的性质 其中：

27. 定理2-13：在任何等价变换之下，线性时不变系统的可控性和可观测性不变。定理2-13：在任何等价变换之下，线性时不变系统的可控性和可观测性不变。 注：定理2-13可以推广到线性时变系统（习题（2-11）。 但 证完。

28. 二、若当动态方程的可控性和可观测性判据 典型的若当矩阵：

29. 0 5 0 5 0 5 5 0 -5 0 -5 0

30. 0 5 0 5 0 5 5 0 -5 0 -5 0

31. 当系统矩阵有重特征值时，常常可以化为若当形，这时A、 B、C的形式如下：

33. 1.A 有m个相异的特征值1, 2 …., m ； • Ai ：所有与i 对应的若当块构成的矩阵，共有 ri 块； • Bi ：B中与Ai 对应的的子块； • Ci ：C中与Ai 对应的的子块； • Aij ：表示Ai 的第 j个若当块； • Bij ： Bi 中与Aij 对应的的子块； • Cij ： Ci 中与Aij 对应的的子块； 3.bLij： Bij的最后一行； 4.c1ij：Cij的第一列。

34. 定 理2-14(可控、可观性判据) • 若当型动态系统(2-26)可控的充分必要条件为下列矩阵行线性无关 • 若当型动态系统(2-26)可观测的充分必要条件为下列矩阵列线性无关 ：

35. 证明： 令Ai是ni 阶子块，只需考虑

36. 行满秩，则肯定有 根据PBH检验法， 证完。

37. 例题 考察系统的可控性和可观测性。

38. 后可得 将 代入 行线性无关

39. 后可得 将 代入 行线性无关

40. 按照上述记号，可知A有二个不同的特征值{1,2}，特征值1对应有三个若当块，特征值2对应有两个若当块，判别可控性的行向量为 每组的行向量线性无关，满足判据的要求，故系统可控。

41. 再来考察这个系统的可观测性。

42. 后可得 将 代入 子矩阵 列线性无关

43. 后可得 将 代入 由于 c121=0 该系统不可观测。

44. 推论2-14： （1）若当型动态方程 (A, b) 可控的充分必要条件是对应于一个特征值只有一个若当块，且向量b中所有与若当块最后一行相对应的元素不为零； （2）若当型动态方程 (A, c) 可观测的充分必要条件是对应于一个特征值只有一个若当块，且向量c中所有与若当块第一列相对应的元素不为零。

45. 利用PBH检验法，立即可知这个系统是可控的。

46. （2－29） （2－30） 例2－15 设有两个若当型状态方程 由推论2－14可知，状态方程（2－29）可控。 方程（2－30）是时变的，虽然A阵具有若当型且对所有的t，b(t)的各分量非零，但并不能应用推论2－14来判断可控性。

47. 显然对所有t>t0，矩阵 的各行线性相关，故方程（2－30）在任何t0均不可控。 事实上，由定理2－4，对任一固定的t0有

48. 习题2-14 用若当标准形来做比较直接。首先找出全部运动模式出现在输出中的条件(充要条件)，将它与系统可观测的条件比较。为了简单，只用下例说明： 运动模式有三个：

49. 出现在矩阵指数第一行；对应于最高阶若当块的第一行出现在矩阵指数第一行；对应于最高阶若当块的第一行 当C的第一列为非零向量时，对恰当选取的x(0)，y(t)中就包含了三个运动模式。而这一条件比要求C中一、四列线性无关的条件(即可观测)要弱。 因此，最高阶若当块对应的特征向量不在C的核中时, y(t)中就包含了这一若当块所对应的全部模式。

50. 可观测 C中一、四列线性无关 C的第一列非零 所有模式出现 示意图如下： 若A阵每一个特征值只有一个若当块(即A是循环矩阵)时，模式全出现就和可观等价了。