Survey: First-Class Structures for Standard ML

1. Survey: First-Class Structures for Standard ML 米澤研究室修士1年　増山隆 tak@yl.is.s.u-tokyo.ac.jp

2. 発表の概要 • MLのModuleの概要 • 拡張 • Moduleの型付け • Semantic Object • Denotation Judgements • Classification Judgements

3. MLのModuleの概要

4. MLのModule • Core言語 • アルゴリズムを記述する • Module言語 • Coreでかかれた定義をまとめる • 型を抽象化する • structure • signature • functor

5. structure • 型や変数の定義のリスト • Module言語における値 structure TwoOnwards = struct type state = int;　　　　　　　　　型を定義 val start = 2;　　　　　　　　　　　値を定義 val start2 = 100; val next = fn i => succ i; val value = fun i => i; end

6. signature • structureのインターフェイス • Module言語における型(のようなもの) signature Stream = sig type state; 　　型の指定 val start: state; 　　変数名とその型を指定 val next: state; val value: state -> int; end

7. signatureの役割 • structureに • 型を抽象化 • structureの要素を隠蔽 例) Startは • 抽象型state (int で実装されていることは隠蔽) • start, next, valueという変数 があるstructure (start2は隠蔽される) structure Start = TwoOnwards :> State;

8. functor • structureからstructureへの関数 functor Value (S: Stream) = struct val value = S.value (S.start) end

9. 不満な点1 • Module言語には条件分岐がない structure A = if isDebug then struct ... end else struct ... end のようにできるとうれしい

10. 不満な点2 • Module言語ではループが書けない 例: Fig4のEratostenesの篩 • functorの適用回数が定数回になってしまう Next(Next(Next(Start))) functorの適用が実行時にできると、Module言語を 汎用の計算に用いることができる

11. 拡張

12. 拡張 • Core言語を拡張する • package typesを導入 • pack, open 式を追加

13. pack • packsas S • structure s を signature Sで制限してpackage化する。 mosmlでは [structuresasS]

14. open (unpack) • open s as X : Sin e’ • e’の中で X = s :> S としてstructure Xを使用できるようにする mosmlでは [let] structure X as S = s [in e’ end] (structure XがCoreの式のスコープの中で宣言される)

15. packageの使用例 Sieve.nextのおかげでfunctor Nextを実行時に繰り返し適用できる

16. 型付け

17. Semantic Objects • structure, functorに型としてSemantic Objectを割り当てる • SignatureをDenotation JudgementによってSemantic Objectに変換する • structure ∃P.S • signature ΛP.S • functor ∀P.( S -> ∃P.S ) • signature matchingなどはこのSemantic Objectレベルで行う c.f. A Modular Module Systemではstructureにsignatureを付けていた

18. Semantic Object (signature) sig type state val start : state val next : state -> state val value : state -> int end Λ{α}. ( state |> α, start : α, next : α -> α, value : α -> int )

19. Semantic Object (structure) 内部で導入された抽象型に 対する型変数 struct type state = int; val start = 2; val next = fn x => x + 1; val value = fn x => x end end :> Stream ∃{β}. ( state |> β, start : β, next : β -> β, value : β -> int )

20. Semantic Object (functor) パラメター化された型 functor Next (S : Stream) = struct (* Streamにマッチする structure *) end ∀{γ}. ((state |>γ, start :γ, next : γ -> γ, value : γ -> int) -> ∃φ.(state |>γ, start :γ, next : γ -> γ, value : γ -> int))

21. RussoのModule言語設計 structure functor signature Classification Judgements Denotation Judgements semantic object ∀P.( S -> ∃P.S ) ΛP.S ∃P.S パス (p.t) が現れない(structureの値によらない型表現 → non-dependent type) 型変数で依存性を表現 MLの文法では書き表せない

22. Harper,Lillibridge,LeroyのModule言語設計 structure functor signature 型としてsignatureを使う 型の表現にパスが現れる パスを使用して依存性を表現 (1st order dependent type) MLの文法で表現可能

23. 2つの方式の比較 structure A = struct type t = int end :> sig type t end structure B = struct type u = A.t end Bを見終わった後の環境 Semantic Object Signature A : ( t |> α) B : ( u |> α) A : sig type t end B : sig type t = A.t end

24. Semantic Objectを型として使用する利点 • Principal typeをもつ • package typesの等価性比較は決定可能 • Enrichment Relation(subtyping)によって等価性を定義

25. Denotation Judgements

26. Classification Judgements (1/3)

27. Classification Judgements (2/3)

28. Classification Judgements (3/3)

29. package typeのDenotation Judgement

30. packのClassification Judgement

31. openのClassification Judgement 5行目: 返値の型にpackage eの中の抽象型が含まれない

32. まとめ • Coreに単純な拡張(pack, open)を加えることでFirst-Class structureの機能を提供できた • structureを実行時に差し替える • 一般の計算に使用できる • 型システムには悪い影響を及ぼさない • Semantic Objectを使用して意味を定義 (Non-dependent type) • 型付けは決定可能

33. 参考文献 • First-Class Structures for Standard ML Claudio Claudio V. Russo, ICFP 1999 • Non-Dependent Types for Standard ML Modules Claudio V. Russo, PPDP 1999 • Types for Modules Claudio V. Russo, 1998 • Moscow ML http://www.dina.dk/~sestoft/mosml.html