Вторая Санкт-Петербургская гимназия и сследовательская работа Жизнь моего дедушки в процентах

1. Вторая Санкт-Петербургская гимназияисследовательская работаЖизнь моего дедушки в процентах Выполнила: Пономарева Наталья Александровна ученица 5 «В» класса Руководитель: Учитель математики Ефремова Татьяна Павловна Санкт-Петербург 2010

2. История возникновения процентов • Слово «процент» происходит от латинского слова pro centum,что означает «со ста». • Идея выражения частей целого в одних и тех же долях родилась еще в древности у вавилонян. Уже в их клинописных табличках содержатся задачи на расчет процентов. Были известны проценты и в Индии. • Денежные расчеты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню.

3. Применение процентов в древности • В средние века в Европе в связи с развитием торговли много внимания обращали на умение вычислять проценты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов, т.е. сложные проценты. Отдельные конторы для облегчения труда при вычислениях процентов разрабатывали особые таблицы, которые составляли коммерческий секрет фирмы. • Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в 1584 г. Симон Стевин – инженер из города Брюгге (Нидерланды).

4. Актуальность темы • Многие весьма смутно разбираются в таком понятии, как «процент», а поэтому сообщения о повышении или понижении чего-то на то или иное число процентов не наполняются никаким реальным содержанием. Даже такой простой вопрос «Как изменится цена изделия, если сначала ее увеличить на 100%, а затем уменьшить на 50%?» ставит многих в затруднительное положение. • В дореволюционной России эти вопросы изучались в средних учебных заведениях. В программе же современной школы, к сожалению, этим вопросам не уделяется достаточного внимания. • Изучение процента продиктовано самой жизнью. Умение выполнять процентные вычисления и расчеты необходимо каждому человеку, так как с процентами мы сталкиваемся в повседневной жизни постоянно.

5. Объект исследования –процентыв нашей жизни. • Цель исследования:изучить историю происхождения процентов; показать широту применения в жизни процентных вычислений; • Задачи исследования:решать задачи на проценты; наглядно представить полученную информацию. • Методы исследования:анализ литературы; обработка полученных данных; построение диаграмм и графиков с использованием компьютерной программы MS Excel; Обобщение полученных результатов.

6. Определение процента. • Процент - от латинского Pro centrum — за сто, это сотая доля числа. • С математической точки зрения 1% от A означает сотую долю этого числа A. Т.е., например, пять процентов от А это A ∙ 0,05.

7. Проценты и дроби. • Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100. • Например: 1 %- это доля 0,01 39% - это доля 0,39 254% - это доля 2,54 • Чтобы обратить десятичную дробь в проценты, надо умножить ее на 100. • Например: 0,03 ∙ 100 %=3 %; 0,26 ∙ 100% =26%; 1,35 ∙ 100% = 135%;

9. Нахождение процентов от числа. • Чтобы найти неизвестное число x, составляющее p% от числа b, надо число b умножить на количество процентов, выраженных дробью 0,0p. • Задача • Найти 25% от числа 120. • Решение: • переводим проценты в десятичную дробь • 25% = 0,25; • 2) воспользуемся формулой и получим: • 120 ∙ 0,25 = 30. • Ответ: 30.

10. Нахождение числа по известной его части. • Если известно, что p% от неизвестного числа x составляют число b, то для определения x нужно число b разделить на количество процентов, выраженных дробью0,0p. • Задача. • В школьной библиотеке 210 учебников математики, • что составляет 15% всего библиотечного фонда. Сколько всего книг в библиотеке? • Решение: • переводим проценты в десятичную дробь • 15 % = 0,15; • воспользуемся формулой : • 210 ∙ 0,15 =1400 (кн.). • Ответ: • В школьной библиотеке всего 1400 книг.

11. Нахождение процентного отношения чисел. • Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, надо это число разделить на другое и умножить на 100. • Задача. • Из 20 учащихся за контрольную работу 6 получили оценку отлично. • Какой процент учащихся получили отлично? • Решение: • воспользуемся формулой: • x = 6/20 ∙ 100% = 30% • Ответ: 30%.

12. Процентное изменение данного числа • Если в задаче требуется увеличить или уменьшить известное число aна p%, то можно воспользоваться формулой где знак + берется в случае увеличения, а знак – в случае уменьшения числа. Задача. Цены в магазине были снижены на 30%. Определить, сколько стал стоить товар, который до уценки стоил 80 р. Решение: По формуле получаем 80 ∙ (1-0,3) = 80 ∙ 0,7 = 56 (р) Ответ:56 рублей.

13. Задача 1. За стиральную машину и ее установку заплатили 7840 р. Стоимость установки составляет 12% от стоимости машины. Сколько стоит машина? Решение: стоимость машины - 100%. 7840/112 = 70 (р.) - 1% 70 ∙ 100 = 7000 (р.) - стоит машина. Ответ:машина стоит 7000 р. Задача 2. В ателье за февраль сшили 126 юбок. Это оказалось на 10% меньше, чем за январь. Сколько было сшито юбок в январе? Решение: в январе сшито 100% юбок. 100% – 10% = 90% - сшито в феврале. 126 ∙ 100/90 = 140 (шт.) Ответ:в январе было сшито 140 юбок. Простые задачи на проценты

14. Сложные проценты. • Если при вычислении процентов на каждом следующем шаге исходят от величины, полученной на предыдущем шаге, то говорят о начислении сложных процентов (процентов на проценты). В этом случае применяется формула сложных процентов: где a – первоначальное значение величины; b – новое значение величины; p – количество процентов; n – количество промежутков времени.

15. Воспользуемся определением степени, тогда скобка в правой части предыдущей формулы перепишется следующим образом: т.е. на каждом шаге происходит умножение на • Если изменение происходит на разное число процентов, то вместо фиксированной величины процента p необходимо на каждом шаге использовать свою величину и т.д.

16. Задача на сложные проценты • Процентное изменение числа можно найти, даже не зная величины самого числа. Например: • Задача. Цену товара повысили на 40%, затем новую цену снизили на 40%. Как изменится цена товара? • Решение: Пусть первоначальная цена товара a, тогда применяя формулу сложных процентов получаем a ∙ (1+0,40) (1-0,40) = a ∙ 0,84 – новая цена, составляющая 84% от исходной. Тогда 100% - 84% = 16%. • Ответ: цена снизилась на 16%

17. Задачи, требующие составления уравнений. • В двух школах поселка было 1500 учащихся. Через год число учащихся первой школы увеличилось на 10%, а второй – на 20%, и в результате общее число стало равным 1720. Сколько учащихся было в каждой школе первоначально? • Решение: x – число учащихся первой школы, y - число учащихся второй школы, составим два уравнения: x + y = 1500 (1+0,1) x + (1+0,2) y = 1720 Решая эту систему уравнений, получаем x = 800 (уч.) y = 700 (уч.) • Ответ: 800 и 700учащихся.

18. Выборы в думе • В городской думе заседало 60 депутатов, представляющих две партии. После выборов число депутатов от первой партии увеличилось на 12%, а от второй – уменьшилось на 20%. Сколько депутатов от каждой партии оказалось в Думе после выборов, если всего было выбрано 56 депутатов? • Решение: x и y – число депутатов от 1-й и 2-й партии до выборов, составим два уравнения: x + y =60 (1+0,12) x + (1-0,20) y = 56, решая получим: x = 25 (д.) y = 35 (д.) (1+ 0,12) 25 = 28(д.) - в 1-й партии после выборов, (1- 0,20) 35 = 28(д.) - во 2-й партии после выборов. • Ответ:от обеих партий было выбрано по 28 депутатов.

19. Задачи из вариантов ЕГЭ. • Среди задач, предлагавшихся на Едином Государственном Экзамене, большое количество задач имеет прикладное значение. При этом важная роль отводится пониманию таких основополагающих понятий как пропорция, процентное содержание, концентрация. Необходимо также иметь элементарное представление о банковских операциях, о взаимодействии банка с вкладчиком. Решение всех этих задач невозможно без использования процентов.

20. Задачи на смеси и сплавы • Смесь состоит из «чистого вещества» и «примеси». Долей а чистого вещества в смеси называется отношение количества чистого вещества m в смеси к общему количеству M смеси при условии, что они измерены одной и той же единицей массы или объёма. • Концентрация чистого вещества в смеси равна количеству чистого вещества в смеси, деленному на общее количество смеси. • Процентным содержанием чистого вещества в смеси называют его долю, выраженную процентным отношением: т.е. это концентрация вещества, выраженная в процентах.

21. Задача«раствор соли» • В ёмкость, содержащую 100 граммов 2% раствора соли, добавили 175 граммов воды, некоторое количество соли и тщательно перемешали полученную смесь. Определите, сколько граммов соли было добавлено, если известно, что после перемешивания получился раствор, содержащий 2,5% соли. • Решение: 100 – 2 =98 (г.) – воды было в растворе, 98 +175 = 273 (г.) – новое количество воды, 100 – 2,5 = 97,5% - процентное содержание воды, 273/97,5 ∙ 2,5 = 7 (г.) – новое количество соли, 7 – 2 = 5 (г.) – добавили соли. • Ответ:добавили5 граммов соли.

22. Задача о жирности молока • В бидон налили 3 литра молока 6% жирности, некоторое количество молока 2% жирности и тщательно перемешали. Определите, сколько литров молока 2% жирности было налито в бидон, если известно, что жирность молока, полученного после перемешивания, составила 3,2%. • Решение: Пусть x – количество молока 2% жирности, 3 ∙ 0,06 – жира в молоке 6% жирности, x ∙ 0,02 - жира в молоке 2% жирности, (3+x) ∙ 0,032 - жира в смеси. Можно составить уравнение: 3 ∙ 0,06 + x ∙ 0,02 = (3+x) ∙ 0,032 , Решая его, получим: x = 7 (л) • Ответ:в бидон было налито 7 литров молока 2% жирности.

23. Задачи на банковские операции • Простые проценты. Пусть вкладчик положил на счет S рублей. Банк обязуется выплачивать вкладчику в конце каждого года p% от первоначальной суммы S. Тогда по истечении одного года мы получим новую сумму • p% называют годовой процентной ставкой. • Сложные проценты. если вкладчик не снимает со счета сумму начисленных процентов, то она присоединяется к основному вкладу, а в конце следующего года банк будет начислять p% уже на новую, увеличенную сумму. Такой способ начисления «процентов на проценты» называют сложными процентами.

24. Задача о банке и вкладчике • Денежный вклад в банк за год увеличивается на 11%. Вкладчик внес в банк 7000 рублей. В конце первого года он решил увеличить сумму вклада и продлить срок действия договора еще на год, чтобы в конце второго года иметь на счету не менее 10000 рублей. Какую наименьшую сумму необходимо дополнительно положить на счет по окончании первого года, чтобы при той же процентной ставке (11%) реализовать этот план? (Ответ округлите до целых.) • Решение: 7000 ∙ (1 + 0,11) = 7770 (р.) – величина вклада к концу первого года. Вкладчик дополнительно положил на счет x рублей. В конце 2-го года на его счету будет (7770 +x) ∙ (1 + 0,11) Эта величина должна быть равна 10000 рублей. (7770 +x) ∙ (1 + 0,11) = 10000 x = 1239 (р.) • Ответ: необходимо положить на счет 1239 рублей.

25. Задача о капитализации процентов • По пенсионному вкладу банк выплачивает 10% годовых. По истечении каждого года эти проценты капитализируются, т.е. начисленная сумма присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был открыт счёт в 50000 рублей, который не пополнялся и с которого не снимали деньги в течение 3 лет. Какой доход был получен по истечении этого срока? • Решение: Используем формулу сложных процентов для n = 3: (р.) – новая сумма вклада. 66550 – 50000 = 16550(р.) – доход. Ответ:по истечении 3 лет был получен доход 16550 рублей.

26. Задачи на пропорциональную зависимость. • Пропорция – равенство между отношениями четырех величин a, b, c, d: Задача. Объемы ежегодной добычи нефти 1-й, 2-й и 3-й скважинами относятся как 6 : 7 : 10. Планируется уменьшить годовую добычу нефти из 1-й скважины на 10% и из 2-й – тоже на 10%. На сколько процентов нужно увеличить годовую добычу нефти из 3-й скважины, чтобы суммарный объем добываемой за год нефти не изменился? Решение: a + b + c – первоначальный объем, Составим уравнение a + b + c = 0.9a + 0.9b + pc, По свойству пропорции подставив в уравнение, p = 1.13 = 1+0.13 Ответ: на 13%.

27. Необычные задачи • Среди жителей некоторой африканской деревни 800 женщин. Три процента из них носят по одной серьге. Половина женщин, составляющих остальные 97%, носит по две серьги. Остальные вообще не носят серег. Сколько серег можно насчитать в ушах у всего женского населения деревни? Решение: Можно считать, что 97% женщин носят по одной серьге, так как в этой группе число женщин, обходящихся без серег, в точности равно числу женщин, носящих две серьги. Если учесть, что оставшиеся 3% живущих в деревне женщин также носят по одной серьге, несложно сообразить, что общее число серег в ушах у женщин деревни равно числу женщин, т.е. 800. Ответ: 800 серег.

28. Брат и сестра • Возраст брата составляет 40% от возраста сестры. Сколько процентов составляет возраст сестры от возраста брата? • Решение: Примем возраст сестры за единицу. Возраст брата составит 0,4. Воспользуемся формулой (3) для определения процентного отношения чисел. Процентное отношение возраста сестры к возрасту брата равно: (1/0.4) · 100% = 250%. • Ответ:возраст сестры составляет 250% от возраста брата.

29. Жизнь моего дедушки в процентах. • Доля, которую дедушкина зарплата составляла от средней зарплаты в России с 1975 по 2009 год

30. С 1975 по 1992 год график лежит над прямой соответствующей 100 %. Это значит, что дедушка в эти годы зарабатывал больше среднего россиянина. • С 1992 по 1998 год график лежит ниже прямой соответствующей 100 %. Это значит, что дедушка в эти годы стал зарабатывать меньше среднего россиянина. • С 1998 по настоящее время график снова лежит над прямой соответствующей 100 %. Это значит, что дедушка сейчас зарабатывает больше среднего россиянина.

31. Сравнительный анализ дедушкиной пенсии • В 2002 году дедушка стал пенсионером, но продолжает работать. Теперь его доход складывается из зарплаты и пенсии.

32. Анализ графика показывает, что дедушкина пенсия все время была больше пенсии среднего россиянина. Меньше всего их пенсии отличались в 2004 году, больше всего – в 2007.

33. Соотношение зарплаты и пенсии • Я проанализировала соотношение зарплаты и пенсии дедушки в 2008 и в 2009 годах. Из двух полученных диаграмм видно, что доля пенсии в общем доходе возросла к 2009 году. Из этого можно сделать вывод, что пенсии в стране выросли за последний год.

34. Потребительская корзина моего дедушки • Стоимость продовольственной корзины в России с 1970 по 2009 годы: Теперь можно узнать, какую долю своей зарплаты дедушка тратил на еду, сколько на предметы первой необходимости, и сколько денег у него еще оставалось на прочие расходы.

35. Представим результат в виде диаграмм. Видно, что сегодня у дедушки остается больше денег на дополнительные расходы.

36. Выводы • Умение выполнять процентные вычисления и расчеты необходимо каждому человеку. • Решение любых задач на проценты сводится к основным трем действиям с процентами. • Знание процентов необходимо • Полученные результаты удобно представлять в виде диаграмм и графиков. • Выполненная работа имеет практическую ценность. Для решения школьных задач При поступлении в ВУЗы В науке и на производстве В банковском деле В повседневной жизни

37. Спасибо за внимание!