Melukis bulatan

1. Melukis bulatan

2. Bulatan • TAKRIF : Set titik-titik yang berada pada jarak r daripada pusat bulatan (xc, yc). • Persamaan bulatan berasaskan rumus jarak (Teorem Pythagoras): • (x - xc )2 + (y - yc ) 2 = r2

3. Bulatan • Bagi menjana bulatan, bermula daripada (xc- r, yc) hingga (xc + r, yc), rumus berikut digunakan y = yc ±  r - (x - xc )2 Result:- Apakah masalah yang wujud pada bulatan di atas?

4. Bulatan • Contoh di atas menggunakan konsep simetri 2 hala • Bulatan mempunyai lebih banyak sifat simetri • Simetri 4-hala simetri 8 hala (-a, b) (a, b) (a, -b) (-a, -b)

5. Bulatan • Apa kebaikan konsep simetri ? • konsep simetri digunakan bagi mengurangkan pengiraan • Bagaimana ? •  Daripada setiap titik yang diperolehi (oktan pertama), kita boleh memplot 7 titik yang lain

6. Algoritma titik tengah (Mid Point) • Pertimbangkan • -        bulatan berjejari r dan berpusat di asalan . • -        Bahagian oktan pertama ( x = 0 hingga x = y). • -        Bagaimanakah kecerunan garis tangen pada sempadan ? yk yk -1 Sempadan bulatan xk

7. Algoritma titik tengah (Mid Point) yk yk -1 Sempadan bulatan xk • -        kecerunan garis tangen pada setiap titik di sempadan berubah dari 0 hingga –1 •  -        Oleh kerana |m|<1, persampelan dilakukan pada setiap unit x dan nilai y yang sepadan ditentukan.

8. Algoritma titik tengah (Mid Point) yk  yk -1 yk yk -1 Sempadan bulatan xk xk +1 xk +2 xk TITIK TENGAH • -        Katakan piksel semasa (xk, yk), piksel seterusnya ialah samada (xk+ 1, yk) ataupun (xk+ 1, yk + 1). Titik tengah di antara 2 piksel yang menjadi ‘calon’ untuk diplot seterusnya akan diuji samada ia berada di dalam atau di luar sempadan bulatan.

9. Algoritma titik tengah (Mid Point) - Fungsi yang digunakan : -        f(x, y) = x2 + y2 - r2 ----------------------persamaan 14 - Gantikan sebarang titik (x, y) ke dalam fungsi di atas - f(x, y) < 0; (x, y) di dalam sempadan bulatan - f(x, y) = 0; (x, y) di atas sempadan bulatan - f(x, y) > 0; (x, y) di luar sempadan bulatan

10. Algoritma titik tengah (Mid Point)  yk • Katakan titik tengah tersebut ialah (xk+ 1, yk - ½). Masukkan ke dalam persamaan 1 • Pemalar decision Pk digunakan untuk menguji titik tengah di antara 2 titik yang terlibat. • Pk = f(xk+ 1 yk - ½). • = (xk+ 1) 2 + ( yk - ½)2- r2 yk -1 xk xk +1 xk +2 TITIK TENGAH • Pk = +ve - plot titik (xk+ 1, yk–1) • = -ve - plot titik (xk+ 1, yk)

11. Algoritma titik tengah (Mid Point) • Parameter decision awal P0 = 5/4 –r • Parameter decision seterusnya dikira spt berikut < 0 (negatif ) : Pk+1 = Pk + 2xk+1 +1 Pk > 0 (positif) : Pk+1 = Pk + 2xk+1 +1 - 2yk+1

12. jejari, r dan pusat bulatan (xc, yc) Titik awal (0, r) P0 = 5/4 –r T Y Pk < 0 Titik seterusnya ialah (xk+1, yk–1) Pk+1 = Pk + 2xk+1 +1 - 2yk+1 Titik seterusnya ialah (xk+ 1, yk) Pk+1 = Pk + 2xk+1 +1 Dapatkan titik-titik pada 7 oktan yang lain menggunakan konsep simetri jika ingin melukis bulatan yang lenkap Plotkan titik sebenar (x + xc , y + yc ) x  y

13. Algoritma mid point adalah dibuat utk bulatan yang berpusat diasalan (0, 0). Utk sebarang pusat bulatan, titik yang diperolehi perlulah ditambah dgn nilai pusat bulatan yang sebenar (x, y) -------------------------------------(x + xc , y + yc ) nilai kiraan nilai sebenar

14. contoh • Diberi jejari bulatan, r = 10 dan pusat bulatan ialah (7, 8). Dapatkan titik-titik pada oktan pertama dengan menggunakan algoritma bulatan titik tengah.

15. , 17 • , 17 • , 16 14 , 15 Pk+1 = Pk + 2xk+1 +1 = -9 + 2(1) + 1 = -6 Pk+1 = Pk + 2xk+1 +1 = -1 + 2(3) + 1 = 6 Pk+1 = Pk + 2xk+1 +1 - 2yk+1 = 6 + 2(4) + 1- 2(9) = -3 jawapan Pk+1 = Pk + 2xk+1 +1 = -6 + 2(2) + 1 = -1 • Anggap pusat di asalan ,titik awal = (0, r) = (0, 10) (7 , 18) 8 , 18 -6 2 10 9 , 18 -1 3 10 10 , 18 6 4 9 -3 5 9 8 6 8 5 7 7