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第十二章 动 能 定 理

第十二章 动 能 定 理. 第十二章 动能定理. §12–1 力的功 §12–2 质点和质点系的动能 §12–3 动能定理 §12–4 功率 · 功率方程 · 机械效率 §12–5 势力场 · 势能 · 机械能守恒定率 §12–6 普遍定理综合应用举例. 教学目的及要求 1 ．对功和功率的概念有清晰的理解，熟练地计算重力、 弹性力和力矩的功。 2 ．能熟练地计算平动刚体、定轴转动刚体和平面运动刚体的动能，重力和弹性力的势能。

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第十二章 动 能 定 理

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  1. 第十二章 动 能 定 理

  2. 第十二章 动能定理 §12–1 力的功 §12–2 质点和质点系的动能 §12–3 动能定理 §12–4 功率 · 功率方程· 机械效率 §12–5 势力场 · 势能 · 机械能守恒定率 §12–6 普遍定理综合应用举例

  3. 教学目的及要求 1．对功和功率的概念有清晰的理解，熟练地计算重力、 弹性力和力矩的功。 2．能熟练地计算平动刚体、定轴转动刚体和平面运动刚体的动能，重力和弹性力的势能。 3．熟知何种约束力的功为零，何种内力的功之和为零。 4．能熟练地应用动能定理和机械能守恒定律解动力学问题。 5．能熟练地应用动力学普遍定理解动力学的综合问题。

  4. §12-1 力的功 一、常力在直线运动中的功 力的功是力的作用效应沿路程累积的度量。 力的功是代数量。 单位 J（焦耳） 1 J = 1 N·m

  5. 力 在 路程上的功为 记 二、变力在曲线运动中的功 元功

  6. 三．合力的功 质点M 受n个力　　　　 作用合力为　　　　则合力　的功： 即 在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。

  7. 由 得 四、几种常见力的功 1、重力的功 质点：重力在三轴上的投影： 质点系 质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。

  8. 弹性力 2、弹性力的功 弹簧刚度系数k(N/m) 弹簧原长　，k—弹簧的刚度系数，表示使弹簧发生单位变形时所需的力。N/m , N/cm。 弹性力的功为

  9. 得 即 式中 因 弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而与质点运动的路径无关。

  10. 由 从角 转动到角 过程中力 的功为 若 常量 则 设在绕 z轴转动的刚体上M点作用有力　，计算刚体转过一角度 时力　所作的功。M点轨迹已知。 3. 定轴转动刚物体上作用力的功 作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。

  11. 由两端乘dt,有 作用在 点的力 的元功为 其中 4. 平面运动刚体上力系的功 力系全部力的元功之和为

  12. 其中: 为力系主失, 为力系对质心的主矩. 当质心由 ,转角由 时,力系的功为 即:平面运动刚体上力系的功,等于刚体上所受各力作功的代数和,也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和.

  13. 说明:1、对任何运动的刚体,上述结论都适用; 2、C点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立; 3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。

  14. 正压力　，摩擦力　作用于瞬心C处，而瞬心的元位移正压力　，摩擦力　作用于瞬心C处，而瞬心的元位移 若M = 常量则 5．摩擦力的功 (1) 动滑动摩擦力的功 N=常量时,W= –f´N S, 与质点的路径有关。 (2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功 (3) 滚动摩擦阻力偶M的功

  15. 6．质点系内力的功 只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。 不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。不可伸长的绳索内力功之和等于零。

  16. 五．理想约束力的功 约束力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。 1．光滑固定面约束 2．活动铰支座、固定铰支座和向心轴承 3．联接刚体的光滑铰链（中间铰）

  17. 4．刚体沿固定面作纯滚动 5．柔索约束（不可伸长的绳索） 拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。

  18. 例题 半径为2r的圆轮在水平面上作纯滚动如图示，轮轴上有绕有软绳，轮轴半径为r，绳上作用常值水平拉力F，求轮心C运动x距离时，力F所作的功。 2r C r F O x

  19. 将力F向轮心简化，产生力偶 MC=Fr ，轮的转动为: 解 根据式 2r C r F 力F 所作的功为 O x

  20. 已知:均质圆盘R,m,F=常量,且很大,使O向右运动, f, 初静止。 求:O走过S路程时力的功。

  21. 1、摩擦力Fd的功 S是力在空间的位移，不是 受力作用点的位移. 解： 2、可将力系向点O 简化，即

  22. 1、质点的动能 2、质点系的动能 §12-2 质点和质点系的动能 物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱的又一种度量。 瞬时量,与速度方向无关的正标量,具有与功相同的量纲,单位也是J。

  23. 即 即 （1）平移刚体的动能 （2）定轴转动刚体的动能

  24. 得 （3）平面运动刚体的动能 速度瞬心为P 即:平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能 与绕质心转动的动能之和. 上面结论也适用于刚体的任意运动.

  25. 将 两端点乘 , 得 因此 §12-3 动能定理 1、质点的动能定理 由于 质点动能定理的微分形式，即质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。

  26. 积分之,有 质点动能定理的积分形式:在质点运动的某个过程中,质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功.

  27. 由 求和 得 2、质点系的动能定理 质点系动能定理的微分形式:质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和.

  28. 积分之,有 质点系动能定理的积分形式:质点系在某一段运动过程中,起点和终点的动能改变量,等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和.

  29. 3、理想约束 光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、不可伸长的柔索等约束的约束力作功等于零. 称约束力作功等于零的约束为理想约束. 对理想约束,在动能定理中只计入主动力的功即可. 内力作功之和不一定等于零. 思考： 当轮子在固定面只滚不滑时，接触处是否为理想约束？

  30. 求: 例12-1 已知:m, h, k, 其它质量不计.

  31. 解:

  32. 例12-2 已知：轮O ：R1，m1,质量分布在轮缘上; 均质轮C：R2， m2，纯滚动, 初始静止 ;θ ,M为常力偶。 求:轮心C走过路程S时的速度和加速度

  33. 轮C与轮O共同作为一个质点系 解:

  34. 式(a)是函数关系式，两端对t求导,得

  35. 已知：冲击试验机m=18kg, l=840mm, 杆重不计，在 时静止释放，冲断试件后摆至 例12-3 求:冲断试件需用的能量。

  36. 得冲断试件需要的能量为 解:

  37. 求:O走过S路程时ω， 。 例12-4 已知:均质圆盘R,m,F=常量,且很大,使O向右运动, f, 初静止。

  38. 圆盘速度瞬心为C , 解:

  39. 得 将式(a)两端对t求导, 利用

  40. 已知:,均质;杆m均质, =l, M=常量,纯滚动,处于水平面内,初始静止. 求: 转过φ角的 例12-5

  41. 研究整个系统 解:

  42. 式(a)对任何φ均成立,是函数关系,求导得 注意:轮Ⅰ、Ⅱ接触点C是理想约束,其摩擦力Fs尽管在空间是移动的,但作用于速度瞬心,故不作功.

  43. 求:当A运动到O点时, 例12-6 已知:均质杆OB=AB=l, m在铅垂面内;M=常量,初始静止,不 计摩擦.

  44. 解:

  45. 例12-7 图示系统中, 均质圆盘A、B各重P，半径均为r, 两盘中心线为水平线, 盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止)

  46. 解： １、研究对象：整体 ２、受力分析： 做功： ３、运动分析： 定轴转动 Ａ： Ｂ： 平面运动 Ｄ： 平动

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