Αριθμητική Ανάλυση Μεταπτυχιακού

1. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΙΔΙΟΧΩΡΟΙ ΠΙΝΑΚΩΝ ( Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα ) Αριθμητική ΑνάλυσηΜεταπτυχιακού Ακαδημαϊκό Έτος 2008-2009 7η ΕΒΔΟΜΑΔΑ - Τετάρτη 3 , Δεκεμβρίου 2008

2. ΙΔΙΟΧΩΡΟΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Η σπουδαιότητα των ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων είναι πέρα κάθε περιγραφής. Ιδιαίτερα όταν πρόκειται περί εφαρμοσμένου επιστημονικού θέματος. Π.χ. Οι κινήσεις των πτερύγων των αεροπλάνων υπό διαφόρων αεροδυναμι- κών δυνάμεων μελετώνται με μοντέλα μαθηματικά, όπου ειδικά ο ιδιόχωρος πίνακα ενέχει σπουδαίο ρόλο. Στην Οικονομία η συμπεριφορά της ,υπό την επίδραση των διαφόρων δυνάμεων της αγοράς - τα πάνω και τα …κάτω της, μπορεί να μελετηθεί με μοντέλο μαθηματι- κό στο οποίο βασικό ρόλο παίζει ο ιδιόχωρος πίνακα. Στις εφαρμογές θα έχουμε την ευκαιρία να δούμε μία περίπτωση με γαλακτοβιο- μηχανίες , θέμα επίκαιρο σήμερα λόγω εναρμονισμένων πρακτικών. Στην επαναληπτική επίλυση των γραμμικών συστημάτων ο ιδιόχωρος του επανα- ληπτικού πίνακα αποτέλεσε το κλειδί για την εξασφάλιση του κριτηρίου σύγκλισης της επαναληπτικής μεθόδου. Εξ άλλου, στην θεωρία καμπύλων και επιφανειών ο ιδιόχωρος του πίνακα των δευτεροβάθμιων όρων απλοποιεί την διαδικασία μελέτης των. Τέλος, η μελέτη των δυναμικών συστημάτων είναι στενά συνυφασμένη με την αξιοποίηση των ιδιοτιμών και των ιδιοδιανυσμάτων, κ.λ.π.

3. 2. Κύριες Κατευθύνσεις Πινάκων Η βασική εξίσωση προσδιορισμού του ιδιόχωρου είναι η : το λ καλείται ιδιοτιμή του Α και το το αντίστοιχο ιδιοδιανυσμα του , ή , κύρια κατεύθυνση του πίνακα Α . Μια άλλη ενδιαφέρουσα ανάγνωση της (1) είναι « να προσδιορισθούν οι τιμές του λ για τις οποίες το ομογενές γραμμικό σύστημα (1) έχει μη τετριμμένη λύση ». Εξάλλου η (1) γράφεται και ως : οπότε η ιδιοτιμή λ μπορεί να εκληφθεί ως η τιμή εκείνη της σταθεράς που μηδενίζει την ορίζουσα-χαρακτηριστικό πολυώνυμοβαθμού ίσου με την διάσταση του πίνακα Α: και εξασφαλίζει μη μηδενική λύση (στην ουσία μία απειρία συγγραμμικών λύσεων) στο γραμμικό ομογενές σύστημα (2). Αυτή η απειρία λύσεων του ομογενούς συστήματος,συνιστά την κύρια κατεύ- θυνση του πίνακα Α ,που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ , αποτελεί ένα υπόχωρο – τον ιδιόχωρο της ιδιοτιμής λ , με διάσταση τουλάχιστον ένα.

4. Παρατηρήσεις : (α) Εξάλλου, εάν συμβεί και ο πίνακας είναι ο μοναδιαίος, τότε κάθε διάνυσμα είναι και κύρια διεύθυνση με αντίστοιχη ιδιοτιμή την μονάδα. Πάντως , το φυσικό είναι, για κάθε τετραγωνικό πίνακα διάστασης ν, τα ιδιοδιανύσματα του να είναι πλήθους ν, που εάν συμβεί και ο πίνακας να είναι διαγώνιος, τότε τα ιδιοδιανύσματα είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων των συντεταγμένων, με αντίστοιχες ιδιοτιμές τα διαγώνια στοι-χεία του πίνακα, όπως συμβαίνει στον παρακάτω πίνακα Α: (β) Φυσικά, εάν ο ιδιόχωρος ενός πίνακα είναι πλήρης (της ίδιας διάστασης με τον πίνακα ) , τότε η δράση του πίνακα καθορίζεται πλήρως από τα ιδιο- διανύσματα και τις ιδιοτιμές του. Π.χ. για το τυχαίο διάνυσμα: το γινόμενο : θα είναι το διάνυσμα :

5. Παράδειγμα 1. Στους παρακάτω πίνακες, οι ιδιόχωροι τους είναι : Στον (α),ιδιοτιμές : ο ω (πολλαπλότητα 4) > Jordan block ιδιοδιανύσματα : το μοναδικό Στον (β),ιδιοτιμές : ο ω (πολλαπλότητα 4) ιδιοδιανύσματα : τα δύο ,και Στον (γ),ιδιοτιμές : ο ω (πολλαπλότητα 4) ιδιοδιανύσματα : τα τρία , και το και Στον (δ),ιδιοτιμές : ο ω (πολλαπλότητα 4),καθώς - ως διαγώνιος – και τα αντίστοιχα 4 ιδιοδιανύσματα :τα , και το

6. 3. Ιδιότητες Ιδιοτιμών και Ιδιοδιανυσμάτων : • Η βασική εξίσωση προσδιορισμού των ιδιοτιμών είναι η (3), που ονομάζεται χαρακτηριστική εξίσωση ( χ.ε. ) του πίνακα Α, εάν δε αναπτύξουμε την ορίζουσα γράφεται : που ως αλγεβρική εξίσωση έχει στο Cν ακριβώς ρίζες. Αυτές είναι οι ν ιδιοτιμές (eigenvalues,ήlatent roots,ήproper values), ή χαρακτηριστικές τιμές ,του πίνακα Α ,και για πραγματικούς πίνακες Α μπορεί ,ως γνωστό, να είναι είτε μιγαδικές είτε πραγματικές είτε άλλες πραγματικές και άλλες μιγαδικές είτε πολλαπλές . • Αντίστοιχα, γιά κάθε ιδιοτιμή λ ,το σύστημα (2) κέκτηται μη τετριμμένη λύση την που ονομάζεται ιδιοδιάνυσμα (eigenvector , ή latent vector, ή proper vector ), ή χαρακτηριστικό διάνυσμα του Α. • Τέλος ,λόγω του (2) εάν είναι μία λύση του , τότε λύση του θα είναι και κάθε με μια αυθαίρετη σταθερά .

7. Έτσι,με κάποιο κριτήριο έχουμε εκπρόσωπο του, που είτε α) το κανονικοποιεί( normalised ),ή β) το τυποποιεί ( standardised ). • Η κανονικοποίηση προκαλεί μία από τις τρείς (3) στάθμες να είναι ίση με την μονάδα : • Η τυποποίηση προκαλεί κάθε συντεταγμένη να είναι μεταξύ των 0.1 και 1.0. Δηλαδή στο τυποποιημένο ιδιοδιάνυσμα έχουμε : 0.1 1.0 , κ=1,2,… . Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα Α, οι ιδιοτιμές του πληρούν τις : (α) (β) Εάν (γ) Ο πίνακας (δ) Ο πίνακας (ε) Ο πίνακας

8. 4. O Ανάστροφος Πίνακας Προφανώς η εξίσωση ( 3 ) παραμένει αμετάβλητη για τον ,άρα ο ανά- στροφος πίνακας έχει τις ίδιες ιδιοτιμές με τον Α. Τα ιδιοδιανύσματα όμως θα πληρούν την αντίστοιχη της ( 1 ), που γράφεται: Δηλαδή,τα ιδιοδιανύσματα του ανάστροφου πίνακα είναι αριστερά ιδιοδια- νύσματα του αρχικού. Παράδειγμα 2. Στον πίνακα Α, που ακολουθεί : οι ιδιοτιμές του είναι οι : Άσκηση 1. Δείξτε ότι : και επαληθεύσατε το με τα παραπάνω.

9. 5. Βασική ιδιότητα του Χαρακτηριστικού πολυωνύμου ΘεώρημαCayley – Hamilton: « Κάθε τετραγωνικός πίνακας επαληθεύει την χαρακτηριστική του εξίσωση ». Παράδειγμα 3. Στον πίνακα Α που ακολουθεί , η χαρακτηριστική του εξίσωση είναι : Εύκολα δε υπολογίζουμε τα : οπότε εάν τα αντικαταστήσουμε στην χαρακτηριστική του εξίσωση έχουμε : Παρατήρηση :Συνέπεια του θεωρήματος είναι η ύπαρξη διαιρετών του μηδενός, στους πίνακες . Π.χ.,το γινόμενο των παρακάτω δύο πινάκων μηδενίζεται: χωρίς να είναι κάποιος από τους παράγοντες μηδενικός . Άρα από την σχέση : Α.Β=Α.Δ δεν έπεται η ισότητα Β=Δ.

10. 6. Το Ελάχιστο Πολυώνυμο ( ε.π. ) • Το ελάχιστο πολυώνυμο(the minimum/ minimal polynomial )είναι το μη μηδενικό μονικό πολυώνυμο ελαχίστου βαθμού ,που μηδενίζεται από τον τετραγωνικό πίνακα. Υπάρχει πάντα ένα και συνδέεται στενά με το χ.π. του πίνακα. • Αποδεικνύεται ότι το ε.π. έχει τους ίδιους πρώτους παράγοντες με το χ.π. • Τέλος , το ε.π. διαιρεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο. Παράδειγμα 4. Στον παρακάτω πίνακα Α : η χαρακτηριστική του εξίσωση είναι η : ενώ το ελάχιστο πολυώνυμο είναι ένα από τα ακόλουθα : Ένας έλεγχος μας δίδει τα : οπότε ,προφανώς το ελάχιστο πολυώνυμο θα είναι το

11. 7.Γενικές ιδιότητεςΙΔΙΟΤΙΜΩΝ και ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ (α)Σε απλές ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικώς ανεξάρτητα ( γ.α.) ιδιο-διανύσματα, ο δε πίνακας διαγωνοποιείται: όπου ο πίνακας των ιδιοδιανυσμάτων του Α(modal matrix) και Λ ο διαγώνιος πίνακας των ιδιοτιμών του. Άσκηση 2. Δείξτε την παραπάνω γ.α. των ιδιοδιανυσμάτων. (β) Οι συμμετρικοί πίνακες έχουν πάντα πραγματικές ιδιο-τιμές και γραμμικώς ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα . Άρα, πάντοτε διαγωνοποιούνται . (γ)Το ίδιο συμβαίνει στους ορθογώνιους πίνακες : καθώς και στους αντι-συμμετρικούς πίνακες(Skewsymmetric) : Αμφότεροι διαγωνοποιούνται , πράγμα που αληθεύει για κάθε κανονικόπίνακαΑ :

12. Παράδειγμα 5.Διαγωνοποίηση συμμετρικού πίνακα Στον συμμετρικό πίνακα Α : η χ.ε. είναι : Για το ιδιοδιάνυσμα της πρώτης ιδιοτιμής θα βρούμε την μη τετριμμένη λύση του : Για το ιδιοδιάνυσμα της δεύτερης ιδιοτιμής θα βρούμε την μη τετριμμένη λύση του : Τέλος, ο πίνακας που προκύπτει από το παρακάτω γινόμενο είναι ο διαγωνιος :

13. Παράδειγμα 6.Διαγωνοποίηση μη συμμετρικού πίνακα Στον μη συμμετρικό πίνακα Β : η χ.ε. είναι η : Τα ιδιοδιανύσματα του Β είναι : Για μεν την πρώτη ιδιοτιμή ,η μη μηδενική λύση του : Για δε την δεύτερη ιδιοτιμή ,η μη μηδενική λύση του : Εάν

14. (δ) Τα ιδιοδιανύσματα του ανάστροφου πίνακα είναι διορθογωνικά( bi-orthogonal)με τα ιδιοδιανύσματα του αρχικού. Από την (1), παίρνοντας αναστρόφους , έχουμε : Παράλληλα,από την (5),με και πολλαπλασιασμό της εξ αριστερών επί : Από τις δύο προηγούμενες σχέσεις θα έχουμε : και επειδή έπεται ότι θα πρέπει : (ε) Τέλος, επειδή : και έτσι τελικά η (5.1) γίνεται : που αποτελεί την διαγωνοποίηση του αρχικού πίνακα μέσα στον ιδιόχωρο του, συνδέοντας τον Α με τους πίνακες των ιδιοτιμών ( Λ ), των δεξιών ( Χ ) και των αριστερών ( Ψ ) ιδιοδιανυσμάτων του . Άσκηση 3. Δείξτε ότι όμοιοι τετραγωνικοί πίνακες με ίδιο πλήρη modal matrix( ίδιο πλήρες σύνολο ιδιοδιανυσμάτων ) πληρούν την συμμετρική ιδιότητα : Α . Β= Β . Α.

15. Παράδειγμα 7. Ο ιδιόχωρος των ακολούθων πινάκων : προσδιορίζεται από τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των πινάκων. Α. Εύρεση ιδιοτιμών : Η χαρακτηριστική εξίσωση του Α είναι : Η χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα Β είναι : Β. Εύρεση ιδιοδιανυσμάτων:Το προσδιορίζον σύστημα για τον Α είναι : Άρα ο ιδιόχωρος του Α έχει το πλήρες σύστημα των Ιδιοδιανυσμάτων.

16. Το σύστημα για τον πίνακα Β είναι το : • Πάλι από την σχέση (2), για τον πίνακα Β ,θα έχουμε: Δηλαδή , ο ιδιόχωρος του Β είναι ελλειματικός (Defective )και κέκτηται δύο μόνον ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα. Τέλος,αξίζει να σημειωθεί ότι ενώ οι δύο πίνακες Α και Β είχαν την ίδια χαρακτηριστική εξίσωση (και προφανώς τις ίδιες ιδιοτιμές),εν τούτοις τα ιδιοδιανύσματα τους είχαν εντελώς διαφορετική συμπεριφορά,με αποτέλεσμα ο μεν πρώτος πίνακας να διαγωνοποιείται , αφού έχει ένα πλήρες σύστημα ιδιοδιανυσμάτων,ενώ ο πίνακας Β να μην δια-γωνοποιείται. Άσκηση 4. Με κατάλληλο μετασχηματισμό διαγωνοποιήσατε τον Α.

17. (στ) Η περίπτωση πολλαπλών ιδιοτιμών και μη διαγωνοποιήσιμων πινάκων μας οδηγεί στην κανονική μορφή JORDAN,που στην ουσία είναι block–diagonalμορφή, με διαγώνια στοιχεία τα JORDAN- blocks και στοιχεία της κυρίας διαγωνίου τις πολ-λαπλές ιδιοτιμές,ενώ το πλήθος των blocks είναι ίσο με το πλήθος των γραμμικώςανε-ξαρτήτων ιδιοδιανυσμάτων, του πίνακα. Π.χ., στην κανονική μορφήJORDAN (8)υπάρχουν πέντε (5) διαγώνια blocksμε διαστάσεις 3,2,1,1 και 2, που σημαίνουν την παρουσία 5γραμμικώς ανεξαρτήτων ιδιοδιανυσμάτων, αφού σε κάθε JORDAN block αντιστοιχεί , ένα μόνο ιδιοδιάνυσμα, ενώ οι εννέα ιδιοτιμές του είναι οι εξής : Ι. Ο 2 με αλγεβρική πολλαπλότητα(α.π.) 5 και γεωμετρική (γ.π.) 2, ΙΙ.ο 5 με α.π. 2 και γ.π. 1, ΙΙΙ.ο -3 με α.π. 2 και γ.π. ομοίως 2 ( η γ.π. είναι ίση με το πλήθος των γραμμικώς ανεξαρτήτων διανυσμάτων που συνδέονται με μία ιδιοτιμή) : (ζ) Η βασική δομή των JORDAN blocksείναι άνω τριγωνικοί πίνακες, της μορφής:

18. μπορεί να μελετηθεί παίρνοντας την ακόλουθη περίπτωση και διερευνώντας τι συμβαίνει στα δύο ιδιοδιανύσματα του πίνακα J : του οποίου οι δύο ιδιοτιμές α και β είναι διάφορες αλλήλων. Από την σχέση (2) , εύκολα υπολογίζουμε τα δύο αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα , που είναι τα : Προφανώς,όταν τα δύο ιδιοδιανύσματα ταυτίζονται με το πρώτο. Αυτή η διαπίστωση είναι γενικώτερη και μπορεί να αποδειχθεί ότι το γενικό Jordan block, ν - τάξεως : κέκτηται μία ιδιοτιμή, τηνα ( πολ. ν) και ένα μόνο ιδιοδιάνυσμα το Αριθμητική Ανάλυση 6/19

19. που σημαίνει ότι η αντίστοιχη ιδιοτιμή έχει γεωμετρική πολλαπλό-τητα ίση με 1, ενώ η αλγεβρική της πολλαπλότητα είναι ν.Παράδειγμα 8. Στον προηγούμενο απλό πίνακα(8), οι ιδιοτιμές του είναι οι 2,5 και -3 , ενώ τα ιδιοδιανύσματα του θα βρεθούν από την λύση του (2). Έτσι γιά την ιδιοτιμή λ=2 ,θα έχουμε το σύστημα : Αριθμητική Ανάλυση 7/19

20. Για την λύση του (9), παρατηρούμε τα εξής : • Από την πρώτη εξίσωση θα έχουμε : έστω κ, • Από την δεύτερη εξίσωση θα έχουμε : • Από την τρίτη εξίσωση θα έχουμε : • Από την 4η εξίσωση θα έχουμε : • Από την 5η «» «» : • Από την 6η «» «» : • Από την 7η «» «» : • Από την 8η «» «» : έστω λ, • Από την 9η «» «» : Άρα το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 2 είναι το : που προφανώς γράφεται που δίδει όλα τα ιδιοδιανύσματα που συνδέονται με την ιδιοτιμή 2.

21. Για την ιδιοτιμή 5 θα έχουμε το παρόμοιο με το (9) σύστημα (10):για το οποίο με παρόμοια διαδικασία μπορούμε εύκολα να έχουμε :οπότε όλα τα ιδιοδιανύσματα που συνδέονται με την ιδιοτιμή 5 είναι τα:

22. Τέλος, για την ιδιοτιμή -3 , θα έχουμε το σύστημα (11) :από το οποίο με παρόμοιο τρόπο παίρνουμε την λύση : και την γενική μορφή των ιδιοδιανυσμάτων που συνδέονται με την -3 :

23. 8.Οι Μετασχηματισμοί Ομοιότητας ( Similarity Transformations ): Στην & 1,με την σχέση (5.1) : είχαμε μία πρώτη γεύση του μετασχηματισμού ομοιότητας που κύριο χαρακτηριστικό του είναι ότι διατηρεί τις ιδιοτιμές του πίνακα Α στον Λ . Ο λόγος είναι απλός , διότι για τον οποιοδήποτε αντιστρέψιμο πίνακα Χ ,έχουμε εύκολα τις σχέσεις : Άρα, ο πίνακας Α και ο μετασχηματισμένος - έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές - ονομάζονται όμοιοι, ενώ τα ιδιοδιανύσματα τους μετασχηματίζονται στα : Παρατήρηση : Στην περίπτωση που ο Χ αποτελεί τον πίνακα των ιδιοδιανυ- σμάτων, τότε ο μετασχηματισμός ομοιότητας οδηγεί σε πίνακα διαγώνιο , όπως ο Λ , πράγμα που απλοποιείτηνσυμπερι- φορά του αρχικού πίνακα Α και διευκολύνει τον υπολογισμό των δυνάμεων του Α . Π.χ.,για τον υπολογισμό των δυνάμεων θα έχουμε : όπότε, αρκεί να υψωθεί ο διαγώνιος πίνακας στην δύναμη.

24. Εφαρμογή στην Αναλυτική Γεωμετρία Άσκηση 5. Να ευρεθεί η χαρακτηριστική εξίσωση ,οι ιδιοτιμές τα ιδιοδια- νύσματα καθώς και το ελάχιστο πολυώνυμο του πίνακα: 9.Εφαρμογή στην Αναλυτική Γεωμετρία – 2 Διαστάσεις Ως γνωστόν οι κωνικές τομές αποτελούν τις καμπύλες που παριστούν οι δευτεροβάθμιες εκφράσεις: που μελετώνται με την βοήθεια του πίνακα της κωνικής τομής :

25. Εφαρμογή – Πίνακας κωνικής τομής ως εξής : Ο υποπίνακας των δευτεροβάθμιων όρων : ενέχει βασική σημασία στην μελέτη των παραπάνω καμπύλων. Πιο συγκεκριμένα,ο πίνακας (3),ως συμμετρικός διαγωνοποιείται πάν- τοτε με την βοήθεια ενός καταλλήλου μετασχηματισμού : με τα λ να είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα Φ και τα ιδιοδιανύσματα του να είναι οι στήλες του Μ, που εάν κανονικοποιηθούν( normalised ),

26. Εφαρμογή – Μετασχηματισμοί στροφής και μεταφοράς τότε , ο πίνακας Μ καθίσταται ορθογώνιος, καιπαριστά τον μετασχηματισμό στροφής που οδηγεί την κωνική τομή στην κανονική της μορφή. Πιό συγκεκριμένα, η στροφή θα είναι η : οπότε η (1) γίνεται : ή, μετά τις πράξεις και την απαλοιφή του όρου του γινομένου: και εφόσον τα λ είναι διάφορα του μηδενός με τον μετασχηματισμό μετα- φοράς( translation) της αρχής των αξόνων :

27. Εφαρμογή – Κανονική μορφή κωνικής τομής οπότε η (1) φέρεται στην κανονική της μορφή, που είναι ( έλλειψη η υπερβολή) : Τέλος, εάν κάποια ιδιοτιμή είναι μηδέν, έστω η δεύτερη,τότε ο μετασχη- ματισμός μεταφοράς θα είναι ο : οπότε η (1) φέρεται στην παραβολική κανονική μορφή,που είναι : Άσκηση 6 :Να τεθούν στην κανονική τους μορφή οι καμπύλες :

28. 10. Εφαρμογή στην Αναλυτική Γεωμετρία – 3 Διαστάσεις Στην τριδιάστατη περίπτωση με παρόμοιο τρόπο θα έχουμετην εξίσω-ση των επιφανειών (Quadric surface ): που η μελέτης της επιτυγχάνεται με την βοήθεια του πίνακα της επιφάνειας (the matrix of the quartic surface ): Ο υποπίνακας των δευτεροβάθμιων όρων, πάλι: ενέχει αποφασιστικό ρόλοστην ταξινόμιση των 17 περιπτώσεων που μπο- ρούν να προκύψουν.

29. Εφαρμογή στην Αναλυτική Γεωμετρία – 3 Διαστάσεις Οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Φ θα δώσουν την μορφή της επιφά- νειας καθώς και την στροφή των αξόνων που θα απαλείψουν τους όρους των γινομένων, ενώ η μεταφορά που θα ακολουθήσει θα θέσει την επιφάνεια στην κανονική της μορφή. Παράδειγμα 9. Ας μελετήσουμε την επιφάνεια : Οι ιδιοτιμές του πίνακα των δευτεροβάθμιων όρων, είναι : οπότε η στροφή θα δίδεται από τον μετασχηματισμό :

30. Εφαρμογή στην Αναλυτική Γεωμετρία – 3 Διαστάσεις που ακολουθεί : και παράγει την μορφή : Νέος μετασχηματισμός μεταφοράς στο ( 1 1/ -1/ ): θα φέρει την επιφάνεια στην κανονική της μορφή ( πραγματικό ελλειψοειδές): Άσκηση 7: Να μελετηθεί η επιφάνεια :

31. 1-2 : Πραγματικό και Φανταστικό Ελλειψοειδές - 3-4 : Υπερβολοειδές ενός ή δύο τμημάτων - 5-6 : Ελλειπτικό ή Υπερβολικό Παραβολοειδές - 7-8 : Πραγματικός και Φανταστικός Ελλειπτικός Κύλινδρος- 9-10 :Υπερβολικός ή Παραβολικός Κύλινδρος- 11-12:Πραγματικά ή Φανταστικά Παράλληλα Επίπεδα- 13-14: Τεμνόμενα Πραγματικά ή Φανταστικά Επίπεδα- : Δευτεροβάθμιος Κώνος - : Γραμμή : Σημείο OI 17 περιπτώσεις επιφανειών 2ου βαθμού , στον Χώρο:

32. 11. Τα Εργαστήρια της 7ης Εβδομάδας Εργαστήριο 13ο. Στον συμμετρικό πίνακα που ακολουθεί : να ευρεθεί ο ιδιόχωρος του ( Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα ). Στην συνέχεια, να διαγωνοποιηθεί με κατάλληλο μετασχηματισμό και να υπολογισθεί ο . Τέλος, ποιό είναι το ελάχιστο πολυώνυμο του Α? Εργαστήριο 14ο.Στον παρακάτω πίνακα : να ευρεθεί ο ιδιόχωρος του και να εξετασθεί εάν ο Β διαγωνοποιείται. Στην συνέχεια, να σχηματισθεί ο πίνακας και να υπολογισθεί το γινόμενο Τι συμπέρασμα συνάγετε γιά τον πίνακα Β?