{ 范例 2.4} 摩擦力与速率成正比的圆周运动

1. {范例2.4} 摩擦力与速率成正比的圆周运动 一质量为m的小球以速率v0从固定于光滑水平桌面上、半径为R的圆周轨道内侧某点开始沿轨道内侧做圆周运动，小球运动时受轨道摩擦力大小与其速率v成正比，比例系数为k。速度和路程随时间变化的曲线有什么规律？法向加速度大小和切向加速度大小随时间变化的曲线有什么规律？法向加速度大小与切向加速度大小在什么时刻相等？ [解析]如图所示，小球受到重力mg，桌面的支持力N1，轨道内侧的压力N2，轨道内侧摩擦力f四个力的作用。 N1 v N2 f N1与mg相互平衡，小球所受的合外力为N2 + f，N2沿法线方向，f沿切线方向且与速度方向相反。 mg

2. {范例2.4} 摩擦力与速率成正比的圆周运动 小球沿切线的运动方程为-f = Fτ= mdv/dt， 由题意f = kv，得微分方程-kv = mdv/dt， 分离变量得 积分得 当t→∞时，s→mv0/k， N1 变形得速率 v 这是小球运动的全部路程。 N2 f 由于 mg 积分得 小球在t时间内小球走过的路程为

3. {范例2.4} 摩擦力与速率成正比的圆周运动 速率 小球的法向加速度为 当t = 0时，法向加速度为v02/R，这是初始向心加速度，用a0表示。 切向加速度的大小为 N1 当t = 0时，切向加速度的大小为kv0/m，初始摩擦力的大小为为kv0。 v N2 f 解得时刻为 令an = aτ，可得 mg 这里要求mv0 > kR，否则法向加速度的大小就总是小于切向加速度。 小球的初速度越大，两个加速度大小相等的时刻就越大。 可见：切向和法向加速度大小相等的值与初速度无关。 可得

4. 速率随时间单调减少，最后趋于零；路程随时间单调增加，最后趋于总路程。速率随时间单调减少，最后趋于零；路程随时间单调增加，最后趋于总路程。

5. 初始摩擦力与初始向心力之比越大，切向加速度大小的初始值就越大，切向加速度都随时间减小。初始摩擦力与初始向心力之比越大，切向加速度大小的初始值就越大，切向加速度都随时间减小。 法向加速度也随时间减小，法向向加速度的初值比较大而减小得比较快。 法向加速度与切向加速度交点的横坐标，就是法向加速度和切向加速度的大小相等的时刻。 例如，当kR/mv0 = 0.2时，法向加速度和切向加速度的大小相等的时刻是1.61τ，加速度的值是0.04a0。 初始摩擦力与初始向心力的比值越大，切向加速度与法向加速度大小达到相等所需要的时间就越短，两个加速度相等的值则越大。