Σχεδιαση βελτιστου δεκτη Δεκτης συσχετισης Δεκτης προσαρμοσμενου φιλτρου Πιθανοτητα σφαλματος

1. Σχεδιαση βελτιστου δεκτηΔεκτης συσχετισηςΔεκτης προσαρμοσμενου φιλτρουΠιθανοτητα σφαλματος ΗΥ430 Ψηφιακες Επικοινωνιες

2. Συναρτησεις Βασης ενος συνολου σηματων • Εχουμε ενα συνολο σηματων (κυματομορφων) {s1(t), s2(t),…,sM(t)} πληθους Μ, και εκπεμπεται μια απο αυτες καθε φορα. • Οι συναρτησεις {f1(t), f2(t),…fK(t)}, οπου Κ  Μ, αποτελουν μια πληρη ορθοκανονικη βαση για το δοθεν συνολο των σηματωναν: • Οι συναρτησεις βασης ειναι ορθογωνιες μεταξυ τους, δηλαδη: • Οι συναρτησεις βασης ειναι κανονικοποιημενες: • Καθε σημα μπορει να γραφτει σαν γραμμικος συνδυασμος

3. Συναρτησεις Βασης και χωρος σηματων {s1(t), s2(t),…,sM(t)} s1(t) s2(t) . . . sM(t) Καθε μια απο τιςκυματομορφες si(t) μπορει να παρασταθεισαν ενα σημειο στον K-διαστατο χωρο που αποτελουν οι συναρτησεις που μπορουν να περιγραφουν απο τις συναρτησεις βασης fj(t) {f1(t), f2(t),…fK(t)} f1(t) f2(t) . . fK(t) Χωρος σηματων

4. Εφαρμογη στις ψηφιακες επικοινωνιεςΟ Διαμορφωτης • Σε ενα ψηφιακο τηλεπικοινωνιακο συστημα log2M bits πληροφοριας μεταδιδονται με μια απο τις Μ διαθεσιμες κυματομορφες του συνολου SM . Αν οι κυματομορφες αυτες ανηκουν σε χωρο σηματων με γνωστες συναρτησεις βασης τοτε μπορουμε να τις περιγραψουμε χρησιμοποιωντας: • Τον καταλογο των Κ συντελεστων του αναπτυγματος καθε συναρτησης • Την γραφικη παρασταση του Κ-διαστατου αστερισμου σηματων οπου σημειωνεται η θεση καθε σηματος στον χωρο των σηματων. • Η γραφικη παρασταση αυτη δινει πληθωρα πληροφοριων χρησιμων για την διαμορφωση και αποδιαμορφωση αυτων των σηματων • Η εξισωση-κλειδι ειναι η εξισωση συνθεσης: Διαμορφωση ειναι η διαδικασια υλοποιησης της εξισωσης αυτης

5. Εξισωση συνθεσηςΓενικη μορφη Διαμορφωτη Αλλαγη συμβολισμου φk(t)  fk(t) am,I  sm,i LUT= Look-up-table log2M – bits address συντελεστες

6. Λειτουργια του διαμορφωτη • Εν γενει, ενας διαμορφωτης με Μ σηματα Κ-διαστασεων χρειαζεται να αποθηκευσει τους K x M συντελεστες (Κ συντελεστες για καθε ενα απο τα Μ σηματα) και να παραγάγει τις Κ συναρτησεις βασης. • Οι συντελεστες αποθηκευονται σε Κ look-up tables (LUTs)που εχουν log2M γραμμες διευθυνσεων και μια εξοδο • Το δεδομενα εισοδου ομαδοποιουνται σε ομαδες των log2Mbits και καθοριζουν το εκπεμπομενο συμβολο και την κοινη διευθυνση των LUTs. • Οι εξοδοι των LUTs ειναι οι Κ συντελεστες του αναπτυγματος του επιθυμητου σηματος. • Οι Κ συντελεστες πολλαπλασιαζουν τις Κ συναρτησεις βασης και τα Κ γινομενα αθροιζομενα δινουν το επιθυμητο σημα που αντιστοιχει στο συγκεκριμένο συμβολο.

7. Ανακεφαλαιωση • Εξισωση συνθεσης (διαμορφωτης) • Εξισωση αναλυσης (αποδιαμορφωτης): • Ενεργεια σηματος:

8. Διαμορφωση • Θελουμε με τα ψηφιακα δεδομενα να διαμορφωσουμε κυματομορφες που να ειναι: • Φασματικα αποδοτικες, και • Ενεργειακα οικονομικες • Η παρασταση στον χωρο σηματων ειναι μια βολικη μεθοδος θεωρησης της διαμορφωσης η οποια μας επιτρεπει • Να σχεδιαζουμε φασματικα και ενεργειακα αποδοτικους αστερισμους σηματων. • Να καθοριζουμε την μορφη του βελτιστου δεκτη για δεδομενο διαγραμμα αστερισμου. • Να αξιολογουμε τις επιδοσεις του δεδομενου τυπου διαμορφωσης

9. Αποδιαμορφωση σηματος • Εκπεμπουμε ενα σημα s(t)  {s1(t), s2(t),…,sM(t)}, οπου το s(t) ειναι μηδενικο για t [0,T]. Για παραδειγμα, εκπεμπουμε το sm(t) αν θελουμε να μεταδωσουμε το m-στο από Μ συμβολα. • Τα διαφορα σηματα εκπεμπονται με πιθανοτητα p1= Pr[s1(t)],…, pM=Pr[sM(t)] • To λαμβανομενο σημα στον δεκτη ειναι αλλοιωμένο λογω θορυβου o οποιος υποτιθεται προσθετικος r(t) = s(t) + n(t) • Δοθεντος του r(t), ο δεκτης υπολογιζει μια εκτιμηση ŝ(t) του σηματος s(t), με στοχο την ελαχιστοποιηση της πιθανοτητας σφαλματος εκτιμησης ενος συμβολου Ps=Pr[ ŝ(t)  s(t)]

10. To μοντελο του θορυβου • Το σημα υφισταται στο καναλι αλλοιωση λογω προσθετικου ΛευκουGaussian Θορυβου (Αdditive White Gaussian Noise – AWGN)n(t) • O θορυβος n(t) εχειμεση τιμη 0, συναρτηση αυτοσυσχετισης Rnn(τ) = [N0/2]δ(τ) και πυκνοτητα φασματικης ισχυος Snn(f) = N0/2. • Καθε γραμμικη συναρτηση του n(t) ειναι επισης Gaussian στοχαστικη διαδικασια. Καναλι r(t) s(t) Σ n(t)

11. Παρασταση στον χωρο των σηματων • Το εκπεμπομενο σημα μπορει να παρασταθει ως εξης: • Ο θορυβος μπορει να παρασταθει επισης με την βοηθεια των συναρτησεων βασης ως εξης: • Η συνιστωσα n'(t) του θορυβου ειναι το μερος του θορυβου που δεν ανηκει στον χωρο που περιγραφουν οι συναρτησεις βασης (δεν μπορει να γραφει σαν γραμμικος συνδυασμος τους). • Στο επομενο slide αποδεικνυεται οτι το n'(t) sm(t) m[0,…,M-1]

12. H συνιστωσα n'(t) ειναι ορθογωνια προς ολα τα σηματα sm(t) • Πραγματι:

13. Παρασταση λαμβανομενου σηματος στον χωρο σηματων • Το λαμβανομενο σημα μπορει λοιπον να παρασταθει ως εξης: • οπου rk = sm,k + nk n'(t) f2(t) [r1, r2] f1(t)

14. O χωρος αποφασεων συρρικνώνεται σε χωρο πεπερασμενων διαστασεων Καναλι r s Σ n • Εκπεμπουμε ενα σημα το οποιο απεικονιζεται με το διανυσμα πληροφοριας Κ διαστασεων: s = [s1, s2,…, sK] {s1,s2,…,sM} • Λαμβανουμε το διανυσμα r = [r1, r2,…,rK]= s+n, το οποιο ειναι το αθροισμα του εκπεμπομενου διανυσματος s και του διανυσματος του θερυβου n = [n1,n2,…nK]. • Δοθεντος του r θελουμε να βρουμε μια εκτιμηση ŝτου εκπεμπομενου διανυσματος sωστε να ελαχιστοποιειται η πιθανοτητα σφαλματος Ps=Pr[ŝs] ŝ Δεκτης r

15. Κανονας Αποφασης μεγιστης μεταπιθανοτητας MAP (Maximum a posteriory Probability) • Υποθετουμε οτι τα διανυσματα {s1,s2,…,sM} με τα οποια μεταδιδονται τα Μ διαφορετικα συμβολα, εκπεμπονται με πιθανοτητες {p1, p2,…,pM} αντιστοιχα, και οτι λαμβανεται το διανυσμα r. • H πιθανοτητα σφαλματος ενος συμβολου ελαχιστοποιειται αν στον δεκτη η εκτιμηση ŝειναι το διανυσμα smγια το οποιο ισχυει: Pr[sm|r]  Pr[si|r], mi (ΜΑΡ receiver) • Ισοδυναμα (Bayes)

16. Κανονας Αποφασης μεγιστης πιθανοφανειαςML (Maximum Likelihood) • Αν p1=p2=…=pm =1/M, ή αν οι πιθανοτητες εκπομπης των συμβολων ειναι αγνωστες (οπότε υποτίθεται ισες), τοτε ο κανονας MAP ισοδυναμει με τον ML • H πιθανοτητα σφαλματος ενος συμβολου ελαχιστοποιειται αν επιλεξουμε ως εκπεμπομενο συμβολο το sm το οποιο ικανοποιει την σχεση : p(r|sm)  p(r|si), mi. (ML receiver)

17. Υπολογισμος πιθανοτητων • Για να εφαρμοσουμε τους κανονες αποφασης MAP και ML χρειαζεται ο υπολογισμος των πιθανοτητων p(r|sm). • Επειδη r = sm + n,οπου το smειναι ενα σταθερο διανυσμα, αρκει να υπολογισουμε την p(n) = p (n1, n2,…,nK) που ειναι η από κοινου pdf των Κ τυχαιων μεταβλητων ni. • Ο θορυβος n(t) ειναι μια Gaussian τυχαια διαδικασια • Επομενως η συνιστωσα του ειναι μια Gaussian τυχαια μεταβλητη. • Κατα συνεπεια η p(n1, n2,…,nK) ειναι η απο κοινου pdf Κ Gaussian μεταβλητων

18. Υπολογισμος της pdf του θορυβου, p(n) • Οι Gaussian μεταβλητες niκαι nkειναι ασυσχετιστες Πραγματι:

19. Υπολογισμος της pdf του θορυβου, p(n) (2) • Επειδη Ε[nink]=0 για ik, οι συνιστωσες του θορυβου ειναι ασυσχετιστες και επομενως ανεξαρτητες. • Επειδη Ε[nk2] =N0/2, καθε συνιστωσα του θορυβου εχει μεταβλητοτητα (variance) ιση με Ν0/2. Κατα συνεπεια: p(n)=

20. Η υπο συνθηκη pdf του λαμβανομενου σηματος r, p(r|sm) • Oι μεσες τιμες των συνιστωσων του λαμβανομενου σηματοςείναι oι αντιστοιχες συνιστωσες του εκπεμπομενου διανυσματος, nk=rk-sm,kκαι επομενως:

21. Δομη του βελτιστου Δεκτη • Κανονας αποφασης MAP:

22. Παρασταση λαμβανομενου σηματος στον χωρο σηματων • Απο τα πιο πανω προκυπτει οτι επιλεγεται εκεινο η κυματομορφη sm(t) απο το σημειο της οποιας στον αστερισμο των σηματων εχει την μικροτερη ευκλείδεια αποσταση το σημειο προβολης του λαμβανομενου σηματος r(t). n'(t) f2(t)   [s1,1, s1,2] [r1, r2]  f1(t)

23. Δομη του βελτιστου Δεκτη (συνεχεια) • Απαλειφοντας ορους οι οποιοι ειναι κοινοι για ολες τις επιλογες εχουμε: • Πολλαπλασιαζουμε και με το Ν0/2 και εχουμε την τελικη μορφη του MAPreceiver

24. Φυσικη ερμηνεια του αποτελεσματος • Το (Ν0/2)ln[pm] δειχνει την σημασια της πιθανοτητας εκπομπης ενος συμβολου. • Αν ο θορυβος ειναι μεγαλος, η pmεχει μεγαλη βαρυτητα • Αν ο θορυβος ειναι μικρος, το λαμβανομενο σημα θα μοιάζει πολυ με το εκπεμπομενο και η σημασια των pmειναι μικρη. • Το ειναι η συσχετιση του εκπεμπομενου με το λαμβανομενο σημα. • Το ειναι η ενεργεια του εκπεμπομενου σηματος

25. Μια υλοποιηση του βελτιστου δεκτηΟ Correlation Receiver Ειδαμε οτι r(t) Χ Σ Σ -Ε1/2 (Ν0/2)ln(p1) s1(t) Επιλογη του μεγαλυτερου . . . . r(t) Χ Σ Σ -Εm/2 (Ν0/2)ln(pm) sm(t) r(t) Χ Σ Σ -ΕM/2 (Ν0/2)ln(pM) sM(t)

26. Απλοποιησεις για ειδικες περιπτωσεις r(t) Χ s1(t) Επιλογη του μεγαλυτερου . . . . r(t) Χ sm(t) r(t) Χ • Κριτηριο ML: Αν ολα τα σηματα ειναι ισοπιθανα (p1=p2=…=pM) οι πιθανοτητες εκπομπης pm μπορουν να αγνοηθουν. • Αν ολα τα σηματα εχουν ιση ενεργεια (Ε1=Ε2=...=ΕΜ) οι οροι ενεργειας μπορουν επισης να αγνοηθουν. • Τελικα το κριτηριο αποφασης απλοποιειται στο: Δεκτης συσχετισης Correlation Receiver sΜ(t)

27. Υλοποιηση μειωμενης πολυπλοκοτηταςi) Η βαθμιδα συσχετισης • Μπορουμε να ελαττωσουμε τον αριθμο των συσχετιστων αν υλοποιησουμε την εκφραση του ŝσυναρτησει των συναρτησεων βασης Προβολη του r(t) στις συναρτησεις βασης (υπολογισμος των rk) r(t) r1 Χ f1(t) r=[r1,r2,…,rK] συνιστωσες του λαμβανομενου σηματος στο συστημα των συναρτησεων βασης r(t) Χ rK fK(t)

28. Υλοποιηση μειωμενης πολυπλοκοτηταςii) Η βαθμιδα Επεξεργασιας Σ Σ Επιλογη του μεγαλυτερου r=[r1,r2,…,rK] -Ε1/2 (Ν0/2)ln(p1) Χ S Σ Σ -ΕΜ/2 (Ν0/2)ln(pM)

29. Ο Δεκτης Προσαρμοσμενου ΦιλτρουMatched Filter Receiver • Υποθετουμε οτι οι συναρτησεις βασης fk(t) ειναι μη μηδενικες στο διαστημα [0,Τ], και οριζουμε την hk(t) = fk(T – t) fk(t) = hk(T – t) • Τοτε οπου το r(t)hk(t)|t=Tσυμβολιζει την τιμη της συνελιξης των σηματων r(t) και hk(t) κατα την στιγμη t=T. • Μπορουμε δηλαδη να υλοποιησουμε την συσχετιση του r(t) με την συναρτηση βασης fk(t) περνώντας το r(t) μεσα απο ενα γραμμικο φιλτρο με κρουστικη αποκριση hk(t) = fk(T – t). To φιλτρο αυτο ονομαζεται "προσαρμοσμενο - matched"

30. Υλοποιηση του correlator με προσαρμοσμενο φιλτρο hk(t) = fk(T – t) t=T h1(t) r(t) r1 • • • Βαθμιδα επεξεργασιας r=[r1,r2,…,rK] t=T hK(t) r(t) rK Προσαρμοσμενο φιλτρο

31. Υλοποιηση του correlator με προσαρμοσμενο φιλτρο (2) • Χωρις προβολη στις συναρτησεις βασης t=T s1(Τ-t) r(t) Σ Σ -Ε1/2 (Ν0/2)ln(p1) Επιλογη του μεγαλυτερου . . . . r(t) Σ Σ sm(Τ-t) -Εm/2 hm(t)=sm(T-t) (Ν0/2)ln(pm) r(t) s1(Τ-t) Σ Σ -ΕM/2 Προσαρμοσμενα φιλτρα (Ν0/2)ln(pM)

32. Παραδειγμα σχεδιασης Βελτιστου Δεκτη • Το συνολο των σηματων μας ειναι οι ακολουθες κυματομορφες, Μ=4: • s1(t) s2(t) • s3(t) s4(t) 1 1 2 1 2 1 2 t t -1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 t t T=2, E1=E2=E3=E4=2

33. Δεκτης συσχετισης (Correlation Rx) Επειδη τα σηματα εχουν ισες ενεργειες μπορουμε να τις αγνοησουμε r(t) Χ Σ Σ -Ε1/2 (Ν0/2)ln(p1) s1(t) Επιλογη του μεγαλυτερου • • • . . . . r(t) Χ Σ Σ -Ε4/2 (Ν0/2)ln(p4) s4(t)

34. Δεκτης προσαρμοσμενου φιλτρου(Matched Filter Rx) hk(t) = sk(2 – t) t=2 h1(t) r(t) Σ • • • (Ν0/2)ln(p1) Επιλογη του μεγαλυτερου t=2 h4(t) r(t) Σ (Ν0/2)ln(p4)

35. Σχεδιαση βελτιστου δεκτη μειωμενης πολυπλοκοτητας • Το πιο κατω συνολο συναρτησεων αποτελει μια πληρη ορθοκανονικη βαση για τις 4 κυματομορφες του παραδειγματος: • f1(t) f2(t) • s1(t) = 1·f1(t) +1·f2(t), s2(t) = 1·f1(t) - 1·f2(t) • s3(t) = -1·f1(t) +1·f2(t), s4(t) = -1·f1(t) -1·f2(t) 1 1 1 2 1 2 -1 -1

36. Δεκτης μειωμενης πολυπλοκοτηταςΒαθμιδα συσχετισμου • Δεκτης Συσχετισης • Δεκτης προσαρμοσμενου φιλτρου r1 r(t) Χ r=[r1 r2] f1(t) r(t) Χ r2 f2(t) hk(t) = fk(2 – t) h1(t) r1 h1(t) r(t) t=2 1 2 r=[r1 r2] h2(t) h2(t) r(t) r2 1 2

37. Δεκτης συσχετισης μειωμενης πολυπλοκοτηταςΒαθμιδα Επεξεργασιας 1·r1+1·r2 Σ Ν0ln(p1)/2 1·r1-1·r2 Σ Ν0ln(p2)/2 -1·r1+1·r2 Σ Ν0ln(p3)/2 -1·r1-1·r2 Σ Ν0ln(p4)/2 f2 s1 s3 • • •• f1 s4 s2 Επιλογη του μεγαλυτερου r=[r1,r2] Χ S

38. Αναλυση λειτουργιας του δεκτη συσχετισης (Μονοδιαστατος χωρος σηματων) Εκπεμπομενο σημα (ΝΤ)  r(t) f(t)=(1/T) για 0≤t≤T = 0 αλλου trigger at t=kT

39. Διαδοχικες αποφασεις του δεκτη συσχετισης

40. Λειτουργια δεκτη προσαρμοσμενου φιλτρου (ΝΤ) r(t) h(t)=f(T-t) Εδώ h(t)=1/T για 0≤t≤T = 0 αλλου trigger at t=kT

46. Παρασταση λαμβανομενου σηματος στον χωρο σηματων • Απο τα προηγουμενα προκυπτει οτι ο δεκτης MAP επιλεγει εκεινη την κυματομορφη sm(t) η οποια εχει την μικροτερη ευκλείδεια αποσταση απο το σημειο προβολης του λαμβανομενου σηματος r(t) στον χωρο των σηματων. n'(t) f2(t)   [s1,1, s1,2] [r1, r2]  f1(t)

47. Περιληψη της σχεδιασης του βελτιστου Δεκτη • Ο βελτιστος συμφωνος (coherent) δεκτης για τον AWGN εχει τρια μερη: • Το πρωτο μερος συσχετιζει το λαμβανομενο σημα με καθε ενα απο τα πιθανα να μεταδοθουν σηματα • Το δευτερο κανονικοποιει την συσχετιση εισάγοντας την επιδραση της ενεργειας καθε σηματος. • και το τριτο εισαγει την επιδραση της πιθανοτητας εκπομπης ενος συμβολου σε συναρτηση με την ισχυ του θορυβου. • Αυτος ο δεκτης ειναι γενικης εφαρμογης για καθε συνολο σηματων. • Απλοποιησεις ειναι δυνατες κατω απο διαφορες συνθηκες.

48. Κριτηρια επιδοσεων τηλεπικοινωνιακων συστηματων • Η πιθανοτητα σφαλματος ειναι το βασικο κριτηριο επιδοσεων ενος συστηματος διαμορφωσης-αποδιαμορφωσης. • Σφαλμα εχουμε οταν η εκτιμηση ενος συμβολου ειναι διαφορετικη απο το πραγματικο συμβολο d. • Ο λογος που εχουμε σφαλματα φαινεται στα πιο κατω διαγραμματα προβολης των λαμβανομενων σηματων στις συναρτησεις βασης

49. Περιοχες Αποφασης • Βελτιστος κανονας αποφασης: • Εστω οτι η ειναι η περιοχη οπου  jm • Τοτε η περιοχη Rmειναι η m-οστη "περιοχη αποφασης" (= η περιοχη οπου αν πεσει το r αποφασιζεται ότι σταλθηκε το m-οστο συμβολο)

50. Παρατηρησεις για τις περιοχες αποφασης • Τα ορια των περιοχων αποφασης ειναι καθετα στην γραμμη που συνδεει δυο σημεια του χωρου σηματων. • Αν τα σηματα ειναι ισοπιθανα, τα ορια αποφασης ειναι ακριβως στο μεσον της αποστασης μεταξυ δυο σημειων. • Αν τα σηματα δεν ειναι ισοπιθανα, η περιοχη του λιγωτερου πιθανου σηματος συρρικνώνεται.