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第九章 方差分析

第九章 方差分析. 第一节 单因素试验的方差分析. 第二节 双因素试验的方差分析. 第三节 正交试验设计及其方差分析. 第一节 单因素试验的方差分析. 把考察事物的结果称为 试验结果， 也称为 试验指标。 影响试验指标的条件称为 因素。. 因素可分为两类 : 一类是人们可以控制的，称为 可控因素； 另一类是人们不能控制的，称为 不可控因素。. 为了考虑某个因素 A 对所考察的随机变量 X 的影响，可以在实验时让其他因素保持不变，而仅让因素 A 改变，这样的试验称为 单因素试验， 因素 A 所处的状态称为 水平。. 1. 数学模型.

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第九章 方差分析

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  1. 第九章 方差分析 第一节 单因素试验的方差分析 第二节 双因素试验的方差分析 第三节 正交试验设计及其方差分析

  2. 第一节 单因素试验的方差分析 把考察事物的结果称为试验结果，也称为试验指标。影响试验指标的条件称为因素。 因素可分为两类: 一类是人们可以控制的，称为可控因素； 另一类是人们不能控制的，称为不可控因素。 为了考虑某个因素A对所考察的随机变量X的影响，可以在实验时让其他因素保持不变，而仅让因素A改变，这样的试验称为单因素试验，因素A所处的状态称为水平。

  3. 1.数学模型 设在单因素试验中,所考察的因素为A,A有s个水平 ,在Ai下进行nj(nj2)次独立试验,得到结果:

  4. 设第i组样本的样本均值为 ，即 全体样本xij对总的样本均值 的偏差平方和，称为总偏差平方和，简称为总平方和，记作ST，即 2、平方和的分解 总的样本均值 把ST分解如下：

  5. 表示各组样本均值 对总的样本均值 的偏差平方和， 称为因素A的效应平方和（或组内平方和）。 其中

  6. 表示各个样本xij对本组样本均值 的偏差平方和的总和，称为误差平方和（或组内平方和）(residual sum of squares) 效应平方和SA反映由于因素A的不同水平所引起的系统误差，即各组样本之间的差异程度；误差平方和SE 则反映了试验过程中各种随机因素所引起的随机误差。

  7. 于是

  8. 若原假设H0正确，则所有样本xij均可看作来自同一正态总体 且相互独立。于是有 3、假设检验问题的拒绝域

  9. 若由样本观测值计算得到统计量F的值大于F ,则在显著性水平下拒绝原假设H0，即认为因素A的不同水平对总体有显著影响；若F的值不大于F，则接受H0，即认为因素A的不同水平对总体无显著影响。

  10. 实际中,ST ,SA及SE可按以下公式计算：

  11. 例 1 为了考察温度对某种化工产品的得率的影响，选了五种温度： A1=60℃，A2=65℃，A3=70℃，A4=75℃，A5=80℃在每种温度下各做三次试验，测得其得率（%）如下： 检验温度对该化工产品的得率是否有显著影响。 解: 计算各个水平下的样本均值，得

  12. 计算 ST=106.4, SA=68.4, SE =38.0 单因素试验的方差分析表： 由表可知，温度对化工产品的得率有显著影响，因为70℃时产品得率均值的估计值 最高，所以应选用70℃。

  13. 第二节 双因素试验的方差分析 1 、双因素等重复试验的方差分析 在多因素方差分析中,通常把因素A与因素B的交互作用设想为影响试验结果的另一因素,记作A×B,或简记作I。由于要考虑交互作用的影响,因此对于因素A与因素B的各个水平的每一种配合(Ai,Bj) (i=1,2,…,r;j=1,2,…,s)就需要进行不止一次重复试验。 对上述各种水平组合分别进行t ≥ 2次重复试验,即共进行n=rst次试验,这种试验称为双因素等重复试验,假定所有的实验是相互独立的。

  14. 设得到样本观测值xijk(k=1,2,…,t)如下表:

  15. 因为在水平(Ai，Bj)下的样本与总体Xij服从相同的分布，所以有因为在水平(Ai，Bj)下的样本与总体Xij服从相同的分布，所以有

  16. 误差平方和 因素A的效应平方和 因素B的效应平方和 因素A与因素B的交互效应平方和

  17. 实际可用下列简便公式计算ST,SA,SB ,SA×B及SE

  18. 2 、双因素无重复试验的方差分析 在双因素试验中,对每一对水平组合只做一次试验,即不重复实验,得到

  19. 总平方和 误差平方和 因素A的效应平方和 因素B的效应平方和

  20. 第三节 正交试验设计及其方差分析 正交试验设计是研究和处理多因素试验的一种方法,利用正交表来安排实验,通过少量试验,获得满意的试验结果.  1.正交试验设计的基本方法: 正交试验设计包含两个内容:

  21. 正交表是预先编制好的一种表格 列数 行数 水平数

  22. 因素数 试验数 水平数 实际试验数 理论上的试验数

  23. 正交表的特点:

  24. 2、试验结果的直观分析 正交试验设计的直观分析就是要通过计算,将各因素、水平对试验结果指标的影响大小,通过极差分析,综合比较,以确定最优化试验方案的方法.有时也称为极差分析法. (1)极差计算 (2)极差分析

  25. 3、方差分析

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