Fundamentos de Telecomunicações

1. Fundamentos de Telecomunicações Aula 4: Análise de Sinais

2. Sumário • Sinais Periódicos: Espectros de Linhas • Sinais não Periódicos: Espectros Contínuos • Modulação

3. Sinais Peródicos: Espectros de Linha

4. Forma de onda sinusoidal

5. Forma de onda sinusoidal

6. Representação da sinusoide por um fasor • Tal como na análise de correnta alterna estacionária, a sinusóide pode ser representada por um fasor Representação do fasor

7. Representação da Sinusoide por um fasor O fasor tem comprimento A Roda no sentido retrógrado a fo rotações por segundo Faz um angulo de radianos com o eixo real Para descrever o fasor no domínio da frequência precisamos de associar A amplitude à fase

8. Convenções na representação espectral • Variável independente é a frequência f em Hz (ciclos/seg) • W em rad/seg é uma notação sintética para 2*pi*f • Os ângulos de fase são medidos relativamente a função coseno : sin wt= cos (wt-90) • A amplitude é sempre positiva. Uma amplitude negativa é absorvida na fase • –A cos(wt)= A cos (wt+-180) • Os ângulos são expressos em graus embora angulos wt sejam em radianos.

9. Representação no tempo dum sinal

10. Espectro unilateral do mesmo sinal

11. Fasores Conjugados Espectro de linhas bilateral Simetria par Simetria ímpar

12. Versão bilateral do espectro

13. Espectros de Linha • Constituem representações pictóricas de sinsuoides ou fasores em função do tempo • Uma linha no espectro unilateral representa um cosseno real • Uma linha no espectro bilateral representa uma exponencial complexa donde para obter o cosseno real se deve adicionar o fasor conjugado • Qando se faz referência ao intervalo [f1,f2] num espectro bilateral tesá implícita a referência aos intervalos negativos correspondentes. • O espectro de amplitude fornece bastante mais informação que o de fase

14. Sinais Periódicos • Sinusóides e fasores são sinais periódicos

15. Sinais periódicos e potência média

16. Sinais periódicos e potência média • vt) é voltagem aos terminais duma resistência • v(t) dá lugar a uma corrente i(t)= v(t)/R • Potência instantânea dissipada na resistência sv(t)=v(t).i(t)= v2(t)/R • Potência normalizada (R=1) • Potência média dum sinal periódico

17. Série de Fourier • Há pouco obtemos um sinal a partir da soma duma constante e várias sinusoides • Vamos agora decompor um sinal periódico em somas sinusoidas • Série de Fourier

18. Série de Fourier

19. Representação espectal da Série de Fourier

20. Série trignométrica de Fourier Espectro de amplitude simetria par Espectro de fase simetria ímpar É usual usar a série exponencial e o espectro bilateral

21. Cálculo de Cn envolve frequentemente o cálculo do valor médio dum fasor

22. Sequência de pulsos rectangulares

23. Espectro da sequência de pulsos rectangulares

24. Reconstrução por série de fourier duma sequência de pulsos

25. Reconstrução por série de fourier duma sequência de pulsos

26. Exemplo 2.1 • Esquematizar o espectro de amplitude de uma sequência de pulsos rectangulares para cada um dos seguintes casos. • No último caso a sequência de pulsos degenera numa constante ao longo do tempo. Como é que esse facto tarnsparece no espectro?

27. Solução 2.1

28. Solução 2.1

29. Teorema da Potência • Relaciona a potência média S de um sinal periódico com os seus coeficientes de Fourier

30. Sinais não periódicos: espectros continuos

31. Sinais não periódicos • Só existem durante um período do tempo • Se o sinal não periódico possui energia total finita não nula • É representado no domínio da frequência por um espectro contínuo que é a sua Transformada de Fourier

32. Sinal não periódico típico Sinal estritamente limitado no tempo v(t) =0 fora do intervalo Designado por pulso <v(t)>=<v(t)2> =0 Considera-se Energia total

33. Transformada de Fourier • Sinal não periódico é um sinal periódico com período infinito

34. Transformada de Fourier Simetria par para o espectro de amplitude Simetria ímpar para o espectro de fase

35. Pulso Rectangular não periódico

36. Espectro do pulso rectangular

37. Teorema da EnergiaTeorema de Rayleigh • Relação idêntica ao teorema da potência de Parseval

38. Largura de banda Calculado numericamente

39. Largura de banda dum sinal • Definição • Amplitude do menor intervalo espectral positivo que contém 90% de energia total do sinal (ou da sua potência média se se tratar dum sinal periódico).

40. Modulação

41. Modulação de frequência • A multiplicação de um sinal v(t) por uma onda sinusoidal dá origem a um sinal vm(t) • Espectro de vm(t) é o espectro de v(t) transladado na frequência dum valor igual à frequência do sinal sinusoidal • Resultado da Transformada de Fourier conhecido por Teorema da modulação

42. Teorema da modulação

43. Exemplo modulado em amplitude e respectivo espectro

44. Sinal modulado em frequência e espectro