一、用 Matlab 软件求函数的极限 ; 二、用 Matlab 软件求函数的导数

1. 教学内容 一、用Matlab软件求函数的极限; 二、用Matlab软件求函数的导数

2. 引例1 某储户将10万元的人民币以活期的形式存入银行， 年利率为5%，如果银行允许储户在一年内可任意次结算， 在不计利息税的情况下，若储户等间隔地结算n次，每次 结算后将本息全部存入银行，问一年后该储户的本息和 是多少？随着结算次数的无限增加，一年后该储户是否 会成为百万富翁？ 解: 本金A=10万元，年利率r=5%,一年等间隔地结算n次， 每期利率为r/n,一年后储户的本息和y为： 随着结算次数的无限增加所得本息为

3. 一、用Matlab软件求极限的命令：

4. 解决引例求 输入命令： syms n y=10*(1+0.05/n)^n; limit(y,n,inf) 结果： ans = 10*exp(1/20) 结论：随着结算次数的无限增加，一年后该储户为 10* exp(1/20)万元约为10.5127万元

5. 例1 【汽车轮胎的成本】已知某工厂生产x个汽车 轮胎的成本（单位：元） ，生产x个汽车 轮胎的平均成本为 ，当产量很大时，每个轮胎的 成本大致为 ，试求这个极限 输入命令： syms x c=(300+sqrt(1+x^2))/x; limit(c,x,+inf) 结果 ans =1

6. 例2 用Matlab软件求下列函数的极限 syms x f=atan(x)/x; limit(f) syms x a f=(1+a/x)^x; limit(f,x,inf) syms x f=(exp(2*x)-1)/log(1+x); limit(f)

7. syms x f=(1/x)^tan(x); limit(f,x,0,'right') syms x; limit(f,x,-inf) f=atan(x); limit(f,x,+inf)

8. （单位：元）， 例4 设一产品的价格满足 请你对该产品的长期价格作一预测。 >> syms t >> f=20-20*exp(-0.5*t); >> limit(f,t,inf) ans = 20 结论：该产品的长期价格为20元.

9. 计算二重极限 limit(limit(f,x,x0),y,y0)表示 syms x y f=(x+y)*log(x^2+y^2); limit(limit(f,x,0),y,0)

10. 二、求导数 引例1对某企业员工的工作效率研究表明，一个班次 (8小时)的中等水平员工早上8：00开始工作，在t小时后， 生产的效率为 ，试讨论该班次何时工作 效率提高、何时工作效率下降 。 解：0≤t≤8 命令窗口中输入： t=0:0.1:8; Q=-t.^3+9*t.^2+12*t; plot(t,Q) 用导数解决

11. 用Matlab软件求导数和解方程（组）的命令：

12. syms t Q=-t^3+9*t^2+12*t y=diff(Q,t) solve('-3*t^2+18*t+12=0') ans = [ 3-13^(1/2)]=-0.6056 [ 3+13^(1/2)]= 6.6056 y=-3*t^2+18*t+12 fplot('-3*t^2+18*t+12',[0,8])

13. 结论：在[0， ]上生产效率增加； 在[ ，8]上生产效率减少。

14. 例1 求下列函数的导数 syms x y=(2-3*x)/(2+x); diff(y,x) syms x y=log(x); diff(y,x,9)

15. 练习：求下列函数的导数: (3) syms a x b y=sin(a*x+b); diff(y,x)

16. syms x y z u=atan((x-y)^z); diff(u,x) diff(u,y) diff(u,z) 比较：pretty(diff(u,z))

17. syms x y z u=exp(x*y*z); diff(diff(diff(u,x),y),z) pretty(diff(diff(diff(u,x),y),z)) ans= 2 2 2 exp(x y z) + 3 z x y exp(x y z) + y z x exp(x y z)

18. syms x y f=x*y+sin(x*y); pretty(-diff(f,x)/diff(f,y))

19. syms x y z F=2*z-x*y-sin(z)-y; pretty(-diff(F,x)/diff(F,z)) pretty(-diff(F,y)/diff(F,z))