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第七章 Z 变换 Z 域分析

第七章 Z 变换 Z 域分析. §7.1 引言 §7.2 Z 变换定义 典型序列的 Z 变换 §7.3 Z 变换的收敛域 §7.4 逆 Z 变换 §7.5 Z 变换的基本性质 §7.6 Z 变换与拉普拉斯变换关系 §7.7 利用 Z 变换解差分方程 §7.8 离散系统的系统函数. §7.1 引言. 补充： 幂级数. 幂级数和函数在收敛区间内可逐项求导，可逐项积幂级数在收敛域内解析、处处可导等比几何级数求值表. § 7.2 Z 变换定义 典型序列的 Z 变换. 一 . Z 变换定义 1. 由抽样信号引出 Z 变换.

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第七章 Z 变换 Z 域分析

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Presentation Transcript

  1. 第七章 Z变换 Z域分析 §7.1 引言 §7.2 Z变换定义 典型序列的Z变换 §7.3 Z变换的收敛域 §7.4 逆Z变换 §7.5 Z变换的基本性质 §7.6 Z变换与拉普拉斯变换关系 §7.7 利用Z变换解差分方程 §7.8 离散系统的系统函数

  2. §7.1 引言 补充：幂级数 幂级数和函数在收敛区间内可逐项求导，可逐项积幂级数在收敛域内解析、处处可导等比几何级数求值表

  3. § 7.2 Z变换定义 典型序列的Z变换 一. Z变换定义 1.由抽样信号引出Z变换 对上式取拉氏变换

  4. 说明：（1）序列的Z变换是复变量Z-1的幂级数 （2）幂级数的系数是序列x(n)的样值 （3）只有当幂级数收敛时和存在时，Z变换存在 2.单边Z变换 双边Z变换

  5. 二. 典型序列的Z变换 1. 2. 3. 对z-1逐项求导 两边再乘z-1 4.

  6. §7.3 Z变换的收敛域 收敛域：只有当级数收敛时，Z变换才有意义对于任意 给定的有界序列x(n)，使Z变换定义式 级数收敛的所有Z值集合，即Z满足什么条件和 式收敛，即为收敛域 一.判定级数收敛方法

  7. 正项级数满足绝对可和 1.收敛充要条件： 2.比值判定法： 若有一个正项级数 令它的后项与前相比值的极限等于ρ 3.根值判定法： 若正项级数 的n次根的极限等于ρ

  8. 二.典型序列的收敛域 1.有限长序列： ①

  9. ② n都取负值，变成z的正幂，只要 包括z=0 有限和收敛 ③ z的负幂，只要 有限和收敛 包括∞ 总结：对于有限长序列，收敛域为除0、∞的整个平面

  10. 2.右边序列 有起点无终点 无穷级数，由级数判定法来判收敛 由根值判别法 时级数收敛右边序列的收敛半径为半径为 的圆外部分是否包括∞和 的取值有关 z的负幂次 收敛域包括∞ 因果序列 因果序列特点： （包括∞）圆外部分

  11. 无始有终信号 3. 左边序列 转化成右边序列求，令m=-n 根值判别法： 左边序列的收敛半径为半径为 的圆内部分是否包括0和 包括0 的取值有关

  12. 4.双边序列 左边 右边 则 例：求序列 的单边、双边Z变换 b>a, b>0,a>0

  13. 解：1. 单边Z变换 2. 双边Z变换 结论：（1）通常收敛域以极点为边界，且收敛域内无极点 （2）根据x(n)是左边、右边、还是双边序列，直接 写出收敛域形式

  14. §7.4 逆Z变换 一. 逆Z变换定义 所有极点的逆时针闭合积分路线， C是包围 通常选择Z平面收敛域内以圆点为中心的圆。 二.求逆变换方法 1.留数法（围线积分） 2.部分分式展开法 经查表求出逐项的逆变换再取和 3.长除法 x(z)展开幂级数得到x(n)

  15. （一）留数法 留数定理：设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点 外，处处解析（可导），C为D内包围诸奇点一 一条简单闭曲线，则有 注 ：区域D：指收敛域 围线C：在收敛域内以圆点为中心的圆 极点的个数：围线C所包含的极点个数 极点是 这个函数的极点

  16. 说明：1. 为 极点 2.m为极点个数 的极点既分母为零的点，由两部分构成， 处极点（当n-1<0时）， 的极点及 提供 n的取值不同，z=0处是否有极点及阶次将不同若 为一阶极点：则 若 为k阶极点：则 3. Zi为收敛域内围线所包围的极点情况

  17. 4. 围线的选择 5. z变换相同，但收敛域不同，逆变换不同 例： 求三种可能收敛域的逆变换 解：1. 三种可能收敛域 2. 收敛域|z|>1时 （1）先求围线内所包含的极点个数x(z)zn-1

  18. （2）利用公式求x(n)

  19. 时 3. 收敛域 （1）先求围线内所包含的 极点个数 总结：步骤： （1）f(z)=x(z)zn-1 （2）求x(z)zn-1的所有极点 （3）在x(z)的收敛域内画围线，确定包含那些极点 （4）求所包含极点处的留数 （2）收敛域 时 自己分析

  20. （二）幂级数展开法（长除法） ∵ x(z)的Z变换就是z-1的幂级数, 幂级数系数就是x(n) ∴ 只要把x(z)展成z-1的幂级数,则系数就是逆变换x(n) 方法： 用分子多项式除以分母多项式 （1）x(z)收敛域 |z|>Rx2 右边序列 N(z)D(z)按Z的降幂排列 （2）x(z)收敛域 |z|<Rx1 左边序列 N(z)D(z)按Z的升幂排列

  21. ∵|z|<1是右边序列 ∴分子分母按Z-1的降幂排列则 解： 观察系数 Z的幂级数 变成Z-1的幂级数

  22. x(z)按z的降幂排列 注意：长除法适用于看出x(n)规律的变换，局限性很大。

  23. （三）部分分式展开法 方法思路： 把x(z)展成一些简单而常用 的部分分式之和，然后分别求出个部分分式的逆变换， 把各逆变换相加即可得x(n)因为z变换的基本形式 分子有一个z所以通常对 进行部分分式展开， 然后每个分式乘以z

  24. 对于物理可实现系统，要求系统是一个因果系统，对于因果系统来说，|Z|>R为保证z=∞处收敛，则要求分母多项式的阶次不低于分子多项式的阶次 k≥r • x(z)只有一阶极点

  25. 2.x(z)中含有高阶k阶极点 j=1.2.‥k

  26. 解： 注意:收敛域不同，对应逆变换将不同 ∴x(n)是因果序列

  27. 例：画出 的零极点图，在下列三种收敛域内， 哪种情况对应左边序列、右边序列、双边序列，并求各自 对应序列。 解：

  28. （1）|z|>2右边序列 因果序列（包括∞） （2）|z|<0.5 左边序列 （3）

  29. §7.5 Z变换的基本性质 • 、线性 注：相加后Z变换收敛域一般为两个收敛域的重叠部分 若在这些线性组合中某些零点、极点相抵消，则收敛域 就可能扩大 ※对所有Z变换的性质，均需注意其变换后收敛域变化

  30. 解： 收敛域为全Z平面（扩大）

  31. 二、移位性 • 移位性表示序列移位后的Z变换与原序列Z变换关系 • （1）双边Z变换 • （2）单边Z变换 • ⅰ 若 x(n) 为双边序列 移出m个值，就要减去这k个值的Z变换

  32. ⅱ 若x(n)为因果序列 移入m个值，但移入的m个值都是0， x(n) 为因果序列 移出m个值 三.序列线性加权（Z域微分）

  33. 其中 表示 共求导m次 四.序列指数加权（Z域尺度变换）

  34. 五.初值定理 六.终值定理 注意：x(n)序列的终值要存在，即当n→∞ x(n)收敛 x(z)的极点必须处在单位圆内，稳定在单位圆上只能位于 z=±1点且是一阶极点，临界稳定 七.时域卷积

  35. 分别为 或 与 与 八.序列相乘（Z域卷积） 注：（1） 收敛与重叠部分内逆时针旋转的围线 （2）计算围线积分可应用留数定理

  36. §7.6 Z变换与拉普拉斯变换关系 • 、Z平面与S平面映射关系 （两坐标系的对应关系）

  37. 在讨论拉时变换时，若函数极点落在S平面左半面、右半面、在讨论拉时变换时，若函数极点落在S平面左半面、右半面、 虚轴上，直接影响系统稳定性，因此分几个区来讨论 • S平面虚轴映射到Z平面上 对应任意角 时 ，在S平面上 变化一周足 变化一圈 结论：S平面虚轴映射到Z平面是单位圆， 只要变化范围为 即只从 ，对应至Z平面是单位圆， 时对应无数重叠圆

  38. 2、S平面左半面映射到Z平面上 对应任意角 结论：S平面左半面对应Z平面单位圆内部分 3、S平面右半面映射到Z平面上 结论：S平面右半面对应Z平面单位圆外部分

  39. 4. S平面实轴映射到Z平面上 结论：S平面实轴映射到Z平面是正实轴 二、Z变换与拉氏变换表达式对应关系

  40. §7.7利用Z变换解差分方程 线性时不变系统的差分方程一般形式： （1）

  41. 求差分方程方法： （1） （2）Z变换求差分方程 一. Z变换求差分方程 步骤： (1)对差分方程进行Z变换，差分方程变成代数方程 (2)解方程得Y(z) (3)求

  42. 1.对（1）式进行Z变换 零状态 零输入

  43. 二.例：已知一LTI离散系统满足差分方程 求响应 解： 起始状态：进行Z变换时，方程中出现的各时刻的y(i)值即为起始状态

  44. 例：已知一LTI离散系统满足差分方程 由Z域求系统零输入响应、零状态响应和完全响应 解：令n=n-2，对差分方程两边进行Z变换 零输入 零状态

  45. §7.8离散系统的系统函数 一.定义系统函数 1. 2. H(z)=Z[h(n)] :系统单位样值响应h(n)的Z变换 例：求y(n)-ay(n-1)=bx(n)所描述系统的系统函数和单位样值响应。 解：

  46. 二.系统函数对系统特性的影响 • 1.由极点分布决定系统单位样值响应 • 2.由极点分布决定系统稳定性 • 3.由零点分布决定系统的频率特性 三.由系统函数零极点分布确定单位样值响应 ∵ H(z)与h(n)是一个Z变换对，∴可以从H(z)的零极点分布 情况确定h(n)的特性 H(z)的极点决定h(n)的收敛域，影响系统的稳定性 H(z)的零点影响h(n)的幅度和相位 极点落在单位圆外， 极点落在单位圆内， 极点落在单位圆上，

  47. 1. 因果性 （1）输入输出关系：输出不领先于输入（定义） Y(n)=x(n+1) 非因果 （2）由h(n)判断：h(n)=0 h<0 （3）由H(z)的收敛域判断 ∵因果序列的收敛域 包括∞在内 ∴收敛域 的系统是因果系统 四.判断离散时间系统的稳定性、因果性

  48. 令z=1要使系统稳定应有 则 一定成立 在内， ∴此时收敛域肯定包括 2. 稳定性 （1） （2） （3）H(z)的收敛域判定：收敛域包含单位圆在内系统稳定 也即稳定系统收敛域肯定包括单位圆在内

  49. 例：已知 判断是否稳定 • 收敛域的求法: • 根据典型序列：有限长、右边、左边、双边序列先确定收敛域的一般形式 2.再由Z变换极点来确定a、b值 收敛域特点：以极点为边界，且在收敛域内不能包括极点 解： 临界稳定

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