資料結構與演算法

1. 資料結構與演算法 課程教學投影片

2. 第二章–陣列 • 2-1 何謂陣列 • 2-2 陣列型式和計量 • 2-3 陣列的走訪 • 2-4 矩陣運算

3. 2-1 何謂陣列2-1-1 陣列概觀 • 陣列的結構:使用陣列（Array）來宣告變數時，則可以一次產生多個型態相同的資料，且可以利用迴圈結構中的註標（index）方便地指定到陣列中的位置取得資料，簡化程式的流程 • 程式範例：CH02-01輸出：1!+2!+3!+4!+5!的加總值

4. 2-1-2 陣列結構 • 陣列的定義: 　一組具有相同資料型態（data type）的元素所組成的有序集合（ordered set）。在電腦中的實體配置空間時，陣列通常儲存在一塊連續的記憶體中。陣列包含名稱和註標，註標只有一個時稱為一維陣列，註標有二個時稱為二維陣列，以此類推，有n個註標稱為n維陣列。

5. 2-1-2 陣列結構 • 陣列的特性: • 連續的記憶體空間 • 搭配一個以上的註標（index）可以方便存取陣列中的資料 • 有一維陣列,二維陣列..可擴充至n維陣列 • 在生活上的應用很多,比如使用電腦系統中符號表和記憶體的對應,可以快速的存取記憶體中的資料

6. 2-1-2 陣列結構 • 陣列的宣告

7. 2-1-2 陣列結構 • 陣列通常儲存在一塊連續的記憶體中 • 符號表中主要有三個項目：名稱、長度及位址 • 陣列名稱所包含的長度則是「資料型態的長度×陣列的空間個數」

8. 2-2 陣列型式和計量 • 陣列形式是指在陣列中所存放元素的資料型態,例如整數,字元等等。 • 陣列計量是指計算陣列的儲放空間數，（或稱個數）或所佔位元組數。

9. 2-2-1 一維陣列 • 一維陣列的宣告範例: int A[]=new int[10] — Java語言,範圍從0到9 int A[10] — C語言,範圍從0到9 Dim A(10) As Integer — VB ,範圍從0到10 • 如果是Visual Basic 6.0版本，則其註標範圍可能是從0到10，也可能是從1到10，則陣列的空間個數可能為11或10個。 • VB.NET、VB 2005版本，其註標範圍是從0到10，因為已捨去Option Base敘述，且內定起始註標是0，所以陣列的空間個數為11。 • 一個陣列存放1、3、5、7、9的奇數為例: Sub odd_array2 Dim i , odd2(5) as integer For i = 1 to 5 odd2(i) = 2 * i - 1 Next i End Sub

10. 2-2-1 一維陣列 • 一維陣列位址計算:odd2[0]的位址= kodd2[1]的位址= k + 1*2 = k + 2odd2[2]的位址= k + 2*2 = k + 4odd2[3]的位址= k + 3*2 = k + 6

11. 2-2-2 二維陣列 • 二維陣列的宣告範例: int A[][]=new int[10][10] — Java語言 int A[10][10] — C語言 Dim A(10,10) As Integer — VB

12. 2-2-2 二維陣列

13. 2-2-2 二維陣列 • 轉換二維空間為一維空間時，其編號方式有兩種： • 以列為主（row major）：由i列要跳至（i+1）列時，必須先走訪完i列，即列先走訪，由左而右，再由上而下。 • 以行為主（column major）：由上而下，再由左而右。

14. 2-2-2 二維陣列

15. 2-2-2 二維陣列 • 範例1 Java語言宣告short NO[][]=new short[2][4]（以列為主）；如果起始位址182010，則陣列NO存放在記憶體中的情形如何？又NO[i][j]的序號為何？位址為何？

16. 2-2-3 三維陣列 • 三維陣列的宣告範例: int A[][][]=new int[10][10][10] — Java語言 int A[10][10][10] — C語言 Dim A(10,10,10) As Integer — VB • 如果Java語言宣告一陣列為byte sym[][][]=new byte[m][n][p]，且sym的起始位址是a，資料型態的位元組數是b時，則序號可用f(i,j,k)、位址可用addr(i,j,k)來表示，則f(i,j,k)與addr(i,j,k)的關係如下：

17. 2-2-3 三維陣列 • 三維陣列sym [m][n][p]是先走訪p，再走訪n，最後走訪m，如圖2-8所示，所以由(0,0,0)到(0,0,p-1)時，走訪過p個陣列，由(0,0,0)到(0,n-1,p-1)時走訪過n*p個，從(0,0,0)到(i-1,n-1,p-1)時走訪過i*n*p個（即圖2-8所示的體積）

18. 2-2-3 三維陣列 • 範例2： 宣告一個陣列byte A[][][]=new byte[2][3][4]，且A的起始位址是1234，則A[0][2][3]的位址為何？A[i][j][k]的位址為何?

19. 2-2-3 三維陣列 • 範例2：(程式範例2-2)在VB程式設計中，示範宣告陣列的方式，且用陣列的成員函數取得陣列的維數、個數、下限值、上限值等。

20. 2-2-4 對角線陣列 • 對角線陣列

21. 2-2-5 上下三角形陣列 • 當一個陣列的所有元素皆放在對角線的上方時，其餘者放0，則此陣列稱為上三角形（upper triangular)陣列 • 下三角形陣列同理

22. 2-2-5 上下三角形陣列 • 一個上下三角形矩陣n×n，其總個數為n2個，存放資料的個數可由數學公式推演得知1+2+3+...+n=

23. 2-2-6 三對角線陣列 • 三對角線陣列（tridiagonal array）是一個方形陣列，且其中只在主對角線及其相鄰的上下二條對角線存在資料，其餘者皆是0，則此陣列共可存放n+(n-1)+(n-1)=3n-2個資料

24. 2-2-6 三對角線陣列 • 如果[0][0]位置的編號是0，則 | i - j | ≤ 1，[i][j]位置的編號f(i,j)=2i＋j，如圖2-14。

25. 2-2-6 三對角線陣列

26. 2-2-7 方形帶狀陣列 • 方形帶狀陣列（square band array）是一個n×n的方形矩陣，其中對角線和上下距離a的對角線皆可存放資料，其餘皆為0，則此陣列共可存放(2an+n-a2–a)個

27. 2-3 陣列的走訪2-3-1 一維陣列的走訪 • 一維陣列走訪:一維陣列的走訪只要是利用一個迴圈，走訪方法有由小到大，由大到0、奇數、偶數和索引表走訪 • 範例5：【由小到大走訪】設計一個陣列NO[10]，陣列分別存入 的值，0≦i≦9，即NO[i]= ，NO[0]=0 '計算陣列的值 iSum(0) = 0 For i = 1 To 10 iSum(i) = iSum(i - 1) + i Next '循序走訪陣列 0~10 For i = 0 To 10 Console.WriteLine("iSum(" & i & ") = " & iSum(i)) Next

28. 2-3-1 一維陣列的走訪 • 範例6：設計一個陣列iExp(10)，由小而大分別放入20,21………..,27,28,29的值。 '計算陣列的值 iExp(0) = 1 For i = 1 To 10 iExp(i) = iExp(i - 1) * 2 Next '循序走訪陣列 0~10 For i = 0 To 10 Console.WriteLine("iExp(" & i & ") = " & iExp(i)) Next

29. 2-3-1 一維陣列的走訪 • 範例7：【偶數順序、奇數順序走訪】設計一陣列iNo(10)，在其偶數註標（含0）放入1、11、21、31、41，在奇數註標放入0、-10、-20、-30、-40。 • ‘計算奇數陣列的值For i = 0 To 9 Step 2 iNo(i) = i/2 * 10 + 1Next‘計算偶數陣列的值For i = 1 To 9 Step 2iNo(i) = -(i - 1) / 2 * 10Next

30. 2-3-1 一維陣列的走訪 • 範例7中的偶數註標位置放入1、11、21、31、41的運算式是i/2*10+1（或i*5+1），這個式子如何得到呢？

31. 2-3-1 一維陣列的走訪 • 範例8：【依索引表走訪】假設有一個資料陣列data(7)如右（VB宣告方式）： • 另一個索引陣列index(7)存放陣列data被走訪的順序，如右： • 則依據索引陣列index 的順序走訪4 2 6 7 0 3 1 5走訪，以index陣列的值當成data陣列的走訪註標，則讀取陣列data值的順序為10 20 30 40 50 60 70 80。

32. 2-3-1 一維陣列的走訪 • Private Sub Form1_Load(ByVal sender As System.Object, ByVal e _ • As System.EventArgs) Handles MyBase.Load • Dim i As Integer • Dim head As Integer = 4 • ' 宣告陣列資料且給予值 • Dim data() As Integer = {50, 70, 20, 60, 10, 80, 30, 40} • Dim index() As Integer = {3, 5, 6, 1, 2, -1, 7, 0} • ' 先輸出資料表頭 • Console.WriteLine("資料個數 => " & index.GetUpperBound(0) + 1) • Console.WriteLine(" index data") • ' 依index陣列個數來索引走訪 • For i = 0 To index.GetUpperBound(0) • ' 輸出目前head索引所指到的data陣列值 • Console.WriteLine("順序 " & i & " => " & head & " ==> " & data(head)) • ' head索引依index陣列指到下一個索引值 • head = index(head) • Next • End Sub

33. 2-3-2 二維陣列的走訪 • 二維陣列的走訪: • 對角線走訪 • 由左而右，再由上而下走 • 由上而下，再由左而右走 • 上下三角形走訪 • 範列9：[對角線走訪]只走訪對角線元素，例如在一個5×5的陣列中，(0，0)、(1，1)、(2，2)、(3，3)、(4，4)位置分別放入20 、21 、23 、24的值 (程式範例02-07) 。 • ‘ 建立陣列資料For i = 0 To 4 For j = 0 To 4 If i = j Then data(i, j) = 2 ^ I Else data(i, j) = 0 End If Next Next

34. 2-3-2 二維陣列的走訪 • 範例10：[由左而右，由上而下走訪]設計一個4×6的陣列，以行為主的方式，分別放入0、1、..........、23的數值 (程式範例02-08 ) 。 • ‘ 建立陣列資料count = 0 For i = 1 To 4 For j = 1 To 6 data(i, j) = count count += 1 Next Next

35. 2-3-2 二維陣列的走訪 • 範例11：[由上而下，由左而右走訪]設計一個4×6的陣列，以列為主的方式，分別放入0、1、2、3………..、23的數值(程式範例02-09 ) 。 • ‘ 建立陣列資料count = 0 For j = 1 To 6 For i = 1 To 4 data(i, j) = count count += 1 Next Next

36. 2-3-2 二維陣列的走訪 • 範例12：[上三角形走訪]設計一個5×5的陣列，走訪上三角形放入數值1、2、3…..、14、15 (程式範例02-10) 。 • ‘ 建立陣列資料count = 1 For i = 1 To 5 For j = i To 5 data(i, j) = count count += 1 Next Next

37. 2-3-2 二維陣列的走訪 • 範例13：[下三角形走訪]設計一個5×5的陣列，走訪下三角形放入數值1、2、3………..15(程式範例02-11) 。 • ‘ 建立陣列資料count = 1 For i = 1 To 5 For j = 1 To I data(i, j) = count count += 1 Next Next

38. 2-4 矩陣運算2-4-1 概觀

39. 2-4 矩陣運算2-4-1 概觀 • 矩陣的註標是從1開始，而程式語言的註標一般是從0開始 矩陣A2×3，C、Java語言宣告陣列為A[3][4]如下： • 宣告陣列的維數和矩陣相同矩陣A2×3，C、Java語言宣告陣列為A[2][3]，如下：

40. 2-4-2 矩陣加法、減法 • 假設二矩陣Am×n、Bm×n，如果矩陣C=A+B，則 ，1≦i≦m，1≦j≦n • 範例14：A、B陣列如下(註標0者不處理)，計算矩陣C=A+B(程式範例02-12) • ' 矩陣加法 For i = 1 To 3 For j = 1 To 2 C(i, j) = A(i, j) + B(i, j) Next Next

41. 2-4-3 矩陣乘法 • 矩陣相乘是兩個矩陣A、B，A的維數是m×n，B的維數是n×p，則C = A×B，可得到C的維數是m×p，其運算公式如下：

42. 2-4-3 矩陣乘法 • ' 矩陣加法 A矩陣是 m x n，B矩陣是 n x p，C矩陣是 m x p For i = 1 To m For j = 1 To n For k = 1 To p C(i, k) = C(i, k) + A(i, j) * B(j, k) Next Next Next

43. 2-4-4 矩陣轉置 • 如果有一矩陣Am×n，若把矩陣A的列（row）轉成行（column），把行轉成列所成的矩陣B，稱為A的轉置矩陣，可用 表示，且維度變成n×m，且符合 ，如下：

44. 2-4-4 矩陣轉置 • 程式範例02-14‘ 矩陣轉置For i = 1 To m For j = 1 To n B(j, i) = A(i, j) Next Next