1 / 68

Betrouwbaarheidsanalyse

Betrouwbaarheidsanalyse. Betrouwbaarheidsanalyse. Classificatie methoden (JCSS): Niveau III volledig probabilistisch Niveau II volledig probabilistisch met benaderingen Niveau I semi-probabilistisch (met probabilistisch onderbouwde rekenwaarden)

teige
Download Presentation

Betrouwbaarheidsanalyse

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Betrouwbaarheidsanalyse Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  2. Betrouwbaarheidsanalyse • Classificatie methoden (JCSS): • Niveau III volledig probabilistisch • Niveau II volledig probabilistisch met benaderingen • Niveau I semi-probabilistisch (met probabilistisch onderbouwde rekenwaarden) • Niveau 0 deterministisch (dus geen betrouwbaarheidsanalyse) Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  3. Opzet betrouwbaarheidsanalyse • Niveau III (vandaag) • Niveau II (vandaag) • VAP-oefenen (vandaag) • Niveau I (volgende week; Sten de Wit) Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  4. Niveau III analyse • Model voor faalmechanisme: • grenstoestandsfunctie Z: • waarin: x1, x2, …, xn (stochastische) variabelen • Falen: Z<0 • Kans op falen P(Z<0) uitrekenen Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Berekenen kans op ongewenste gebeurtenis

  5. R S Voorbeeld: draad • Grenstoestandsfunctie: • Z = R - S • met: Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  6. Kansverdelingen 0.08 0.07 R 0.06 0.05 S kansdichtheid (1/N) 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0 20 40 60 80 R,S (N) Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  7. Gezamenlijke kansverdeling 80 70 60 50 Z>0 R (kN) 40 falen: Z<0 30 volume = faalkans 20 10 0 0 20 40 60 80 S (kN) Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  8. Niveau III: kans op falen berekenen • Analytisch • Directe numerieke integratie • Monte Carlo Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  9. Analytisch P(Z<0) = volume hoogtelijnen kdf fR,S(r,s) 80 70 R en S onafhankelijk: r dr 50 Z>0 R (kN) 40 Faalgebied opdelen in reepjes: 30 falen: Z<0 20 10 0 0 20 40 r 80 S (kN) convolutie-integraal Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  10. Analytisch • Uitwerken: • Voorbeeld: R en S normaal verdeeld: • invullen en uitrekenen ¥ ¥ ( ) ( ) ( ) ò ò < = P Z 0 f r dr f s ds R S - ¥ r Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  11. Analytisch • In dit geval eenvoudige aanpak mogelijk: • variabelen normaal verdeeld • Z is lineair in variabelen • dan Z ook normaal verdeeld. • Voorbeeld draad: • Gemiddelde • Standaarddeviatie Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  12. Kansdichtheid van Z Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  13. Faalkans Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  14. Faalkans • Bepalen: • Berekenen van rode oppervlak onder kansdichtheidscurve • Tabel normale verdeling via met U standaard normaal verdeeld • EXCEL Antwoord: Pf = 0.037 = m + s Z U Z Z Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  15. Analytisch • Eenvoudige aanpak was mogelijk omdat: • Z-functie lineair in variabelen • Variabelen normaal verdeeld • Algemeen: • Bewerkelijke integralen uitrekenen • In meeste gevallen analytische aanpak onpractisch of onmogelijk Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  16. Directe numerieke integratie P(Z<0) = volume 80 70 60 Faalgebied opdelen in kleine hokjes: 50 Z>0 R (kN) 40 30 20 falen: Z<0 Kansdichtheid in hokje i 10 hoogte van hokje i 0 0 20 40 80 50 breedte van hokje i S (kN) Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  17. Directe numerieke integratie • Integralen bepalen via standaard numerieke technieken • Rekenintensief: Voorbeeld: • Daarom niet vaak toegepast bij een groter aantal variabelen Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  18. Monte Carlo (sampling/ simulatie) • Statistische methode: • Steekproef nemen uit populatie • Schatten relevante aspecten kansverdeling • Steekproef nemen: R Grenstoestands- functie Z S Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  19. Monte Carlo analyse • Stappen: • 1. Random trekkingen uit verdelingen R en S • 2. Bereken voor elke trekking de waarde van Z • 3. Voer statistische analyse uit op Z-waarden Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  20. Bepalen waarden voor Z • Resulteert in een steekproef van Z Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  21. Kans op falen Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  22. Trekkingen uit verdelingen • Gebruik (pseudo-)randomgenerator: • Levert onafhankelijke trekkingen uit de standaard uniforme verdeling • Hoe bepalen trekkingen uit ander type verdeling? Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  23. Trekkingen uit verdelingen • Andere typen verdelingGebruik de cumulatieve verdelingsfunctie pi si 1 0 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  24. Kans op falen Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  25. Schatter faalkans =0.015 met p =0.01 Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  26. Onzekerheid in faalkans Aantal trekkingen onafhankelijk van aantal variabelen! Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  27. Importance sampling Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  28. Importance sampling • Trekkingen uit andere verdeling:sampling verdeling • Correctie in statistische analyse achteraf: • Voorkennis nodig echte kansdichtheid sampling kansdichtheid Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  29. Importance sampling • Increased variance sampling: Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  30. Importance sampling • Mogelijke reductie aantal samples t.o.v. ruwe Monte Carlo: orde 10-100. • Voor increased variance sampling geen voorkennis vereist • Variant: adaptive importance samplingiteratieve aanpassing sampling verdeling. Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  31. Monte Carlo en afhankelijkheid • Mogelijkheden: • Rangschikken trekkingen • Trekkingen uit conditionele verdeling • … Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  32. Besluit • Berekenen kansen: • Analystisch • Directe Numerieke Integratie • Monte Carlo • FORM Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  33. Niveau II constructieberekeningen Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  34. FORM • First Order Reliability Method • Faalkans volgt uit eenvoudige formules als: • Grenstoestandsfunctie lineair • Variabelen normaal verdeeld • Dit suggereert algemene aanpak: • Lineariseer grenstoestandsfunctie • Transformeer naar normale verdelingen Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  35. Recap lineaire Z-functie • Algemeen: X-en onafhankelijk Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  36. Voorbeeld • Gegeven: • Z = R - S • R = N(6, 1) • S = N(2, 0.5) • Dan: m s Normaal verdeeld Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  37. kansdichtheid sZ= 1.12 z mZ=4 0 Om faalkans en betrouwbaaheidsindex te bepalen: transformeren naar standaard normale variabele uZ b = 3.6 dus: suz= 1 uZ muz=0 Z=0  Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  38. Nieuw begrip: importance factor  • Standaarddeviatie Z: • is de relatieve bijdrage van variabele Xi aan • de onzekerheid (variantie) van Z • We schrijven: • en • i is de importance factor van Xi s a i = 1 i i a = i s Z Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  39. Importance factors - voorbeeld • In het voorbeeld Z=R-S geldt: • en: • a importance factor; is een maat voor de bijdrage van een variabele aan de onzekerheid in Z (en daarmee aan de faalkans) waarin de variantie van Z Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  40. Alternatief: geometrische aanpak • Formules gegeven om bij lineaire Z-functies en normaal verdeelde variabelen waarden voor  en ’s te berekenen. • Alternatieve methode is de geometrische aanpak Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  41. 12 10 Z = 4 8 Z = 2 6 Z = 0 R 4 Z = -2 2 0 Z<0: faalgebied -2 -1 0 1 2 3 4 5 S Geometrische methode Z=R-S R en S normaal verdeeld Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  42. Geometrische methode • Transformatie naar standaard normale variabelen: • invullen in Z-functie: • Z=0: Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  43. 6 4 2 R 0 u b -2 -4 Z<0: faalgebied -6 -6 -4 -2 0 2 4 6 u S Geometrische methode standaard normale verdeling b Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3 Z=0

  44. Geometrische methode 6 4 2 • Ontwerppunt (uS*, uR*): • punt op Z=0 met hoogste kansdichtheid • punt dichtst bij oorsprong • (uS*, uR*) = (-aSb, -aRb) waarin:b betrouwbaarheidsindexa importance factor aSb R 0 u b aRb -2 -4 Z<0: faalgebied -6 -6 -4 -2 0 2 4 6 u Z=0 S Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  45. 12 10 8 6 R 4 2 0 Z<0: faalgebied -2 -1 0 1 2 3 4 5 S Geometrische methode Terug bij de variabelen R en S: ontwerppunt Ontwerppunt (S*, R*): punt op Z=0 met hoogstekansdichtheid S* = S + uS* sS = S - aS b sS R* = R + uR* sR = R - aR b sR Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  46. Geometrische methode • Samenvatting twee variabelen: Z = Z(X1, X2): • 1.Transformeer naar standaard normale variabelen U1 en U2: • 2. Schrijf Z-functie om in u1 en u2 • 3. Teken de lijn Z=0 in het (u1, u2) - vlak • 4. Bepaal punt op Z=0 dat het dichtst bij de oorsprong ligtDit is het ontwerppunt (u1*, u2*). • 5. Bepaal de betrouwbaarheidsindex • 6. Bepaal importance factors • 7. Bereken het ontwerppunt in de X-variabelen: Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  47. Voorbeeld • Case II Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  48. FORM • Voorbeeld uitgebreid: • met: • f breuksterkte • d diameter draad • S = 100 kN • f = N(290 N/mm2, 25 N/mm2) • d = N (30 mm, 3 mm) S = 100kN Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  49. Niet-lineaire functie Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

  50. Niet-lineaire functie Hoogtelijnenkaart 400 350 300 250 f (N/mm2) 200 Z=200 kN 150 Z=100 kN 100 50 Z=0 Z<0: faalgebied Z=- 50 kN 0 10 15 20 25 30 35 40 45 50 d (mm) Probabilistisch ontwerpen, lesblok 3

More Related