1-4 多项式的最大公因式

1. 1-4 多项式的最大公因式 多项式的最大公因式是多项式整除理论 的一个重要组成部分, 这里不仅要求大家掌握最大公因式的概念, 也要会求两个或多个多项 式的最大公因式, 并熟练运用互素多项式的性质以及判断两个多项式互素的充要 条件.

2. Definition 1:公因式 最大公因式

3. 任意多项式f(x)就是f(x)与零多项式的最大公因式；两个零多项式的最大公因式就是0；零次多项式与任意一个多项式的最大公因式是零次多项式。任意多项式f(x)就是f(x)与零多项式的最大公因式；两个零多项式的最大公因式就是0；零次多项式与任意一个多项式的最大公因式是零次多项式。

4. Theorem1 对于P[x]中的任意两个多项式f(x),g(x),在P[x]中存在一个最大公因式d(x),且d(x)可以表示成f(x),g(x)的一个线性组合. 证明:存在性:若g(x)=0,f(x)与g(x)的最大公因式是f(x),不妨设g(x)≠0,若g(x)整除f(x) 则f(x)与g(x)的最大公因式是g(x).

6. ▲多项式最大公因式的存在性和唯一性不因数域的扩充而改变.▲多项式最大公因式的存在性和唯一性不因数域的扩充而改变. *两个多项式的最大公因式在相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的. • 定义 ( f(x),g(x)) : (1) ( f(x),g(x))是 f(x)和g(x)的公因式; (2)若h(x)│ f(x), h(x)│g(x), 则 h(x)│ ( f(x),g(x)); (3) ( f(x),g(x))是首项系数为 1 多项式

7. Definition2:P[x]中两个多项式f(x),g(x)称为互素的,如果 (f(x),g(x)）=1. 换句话说: 如果两个多项式除了常数没有公因式,则称这两个多项式互素. 与两个整数互质的概念有没有共同点?

8. Theorem2:P[x]中两个多项式f(x)与g(x)互素的充分必要条件是存在P[x]的多项式u(x)和v(x)使得Theorem2:P[x]中两个多项式f(x)与g(x)互素的充分必要条件是存在P[x]的多项式u(x)和v(x)使得 u(x)f(x)+v(x)g(x)=1. 证明:必要性由Theorem 1 得到. 充分性：设存在P[x]的多项式u(x)和v(x) 使得 u(x)f(x)+v(x)g(x)=1. 显然f(x),g(x) 任意公因式d(x)整除1， 从而 (f(x),g(x)）=1.

9. 用辗转相除法求得:(板书)

10. Theorem3 . 如果 f(x)|g(x)h(x),且 (f(x),g(x))=1,那么必有 f(x)|h(x). Corollary .如果 f1(x)|g(x), f2(x)|g(x),且 (f1(x),f2(x))=1,那么必有 f1(x)f2(x)|g(x). n个多项式的最大公因式及互素的定义:

11. EXAMPLE2.以下命题是否正确,为什么? 1.如果P(x)|f(x)g(x), 那么p(x)|f(x)或p(x)|g(x); 2.若p(x)|f(x),则(f(x),P(x))=P(x); 3.若f(x)g(x)=f(x)h(x),则g(x)=h(x).

13. EXAMPLE4. 设f(x)=d(x)f1(x), g(x)=d(x)g1(x), 证明:若(f(x),g(x))=d(x),且f(x)和g(x)不全为零,则(f1(x),g1(x))=1;反之,若(f1(x),g1(x))=1,则d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式. 怎么证明?

14. 定理2的推广命题 P[x]中两个多项式f(x),g(x)的最大公因式为d（x）的充分必要条件是存在P[x]的多项式u(x)和v(x)使得 u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x).是否正确?认为正确请证明,认为错误的举出反例. 思考题

15. 课堂小结 因式,公因式,最大公因式;互素. 用辗转相除法求两个多项式的最大公因式, 最大公因式的性质: 1.f(x)与g(x)的公因式d(x)是它们的最大公因式的充要条件是d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x) 2. f(x)与g(x)互质的充要条件是 u(x)f(x)+v(x)g(x)=1