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§4.3 参数估计

§4.3 参数估计. 点估计和区间估计. 一、求极大似然估计值. 例、设某种电子元件的寿命 T 服从参数为. 的指数分布，今测得 10 个元件的失效 时间（单位：小时）为. 1050 1100 1080 1200 1300 1250 1340 1060 1150 1150. 求 的极大似然估计值. 解：. >> X=[1050 1100 1080 1200 1300 1250 1340 1060 1150 1150];.

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§4.3 参数估计

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Presentation Transcript

  1. §4.3 参数估计 • 点估计和区间估计 • 一、求极大似然估计值 • 例、设某种电子元件的寿命T服从参数为 • 的指数分布，今测得10个元件的失效 • 时间（单位：小时）为 • 1050 1100 1080 1200 1300 • 1250 1340 1060 1150 1150

  2. 求 的极大似然估计值. • 解： >> X=[1050 1100 1080 1200 1300 1250 1340 1060 1150 1150]; >> lambda=expfit(X),lambdahat=1/lambda lambda = 1168 lambdahat= 8.5616e-04

  3. 注1：expfit(X)求到的是服从指数分布的X的期望值，即是均值，所以由公式，再求倒数才是它的极大似然估计值注1：expfit(X)求到的是服从指数分布的X的期望值，即是均值，所以由公式，再求倒数才是它的极大似然估计值 • 注2：对其它分布也有相应的命令求，可自己查阅帮助系统.

  4. 二、求置信度为1-a的置信区间 1、例自一大批产品中抽取100个样品,其中有60个一级品, 求这批产品的一级品率p的置信度为0.95的置信区间. • 解： >> [phat,pci]=binofit(60,100) • 注：此命令将给出二项分布的p的极大似然估计值和置信度为0.95的p的置信区间

  5. phat = 0.6000 pci = 0.4972 0.6967 • 故置信区间为(0.4972, 0.6967).

  6. 2、正态分布 • 命令：normfit(X),用法如下： • (1)、mu,sigma未知 [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X) • 注：输出均值、标准差、以及置信度为1-a的它们的置信区间，a默认为0.05,即a=0.05

  7. 例1 置信度 均为0.95 例1某工厂生产一批滚珠, 其直径 X 服从 正态分布 N( 2), 现从某天的产品中随机 抽取6件,测得直径为 15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1 求、2的置信区间.

  8. 解： >> X=[15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1]； >> [mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(X) mu = 14.9500 sigma = 0.2258 muci = 14.7130 15.1870 sigmaci = 0.1410 0.5539

  9. >> [sigmaci]'.^2 ans = 0.0199 0.3068 [14.7130 15.1870] 故、2的置信区间分别为 和[0.0199 0.3068].

  10. 注：若a不是0.05,则输入a,按如下命令 2、[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X, ALPHA) 例、从一批火箭推动装置中抽取了10个进行测试，测得燃烧时间（秒）如下： 50.7 54.9 54.3 44.8 42.2 69.8 53.4 66.1 48.1 34.5 设燃烧时间X服从正态分布N(,2 ),求均方差置的置信度为0.9的置信区间

  11. 解： >> X=[50.7 54.9 54.3 44.8 42.2 69.8 53.4 66.1 48.1 34.5]; >> [mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(X,0.1) mu = 51.8800 sigma = 10.5525

  12. muci = 45.7629 57.9971 sigmaci = 7.6964 17.3609 故所求的均方差的置信区间为 [7.6964 17.3609]

  13. 3、若mu,sigma中有一个已知，求另一个的置信度为1-a的置信区间3、若mu,sigma中有一个已知，求另一个的置信度为1-a的置信区间 置信度 为0.95 方法：按照书上导出的置信区间公式去算. 例1某工厂生产一批滚珠, 其直径 X 服从 正态分布 N( 2), 现从某天的产品中随机 抽取6件,测得直径为 15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1 若2=0.06, 求的置信区间

  14. 例1 解： >> X=[15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1]; >> [mean(X)-norminv(0.975)*sqrt(0.06)/sqrt(6), mean(X)+norminv(0.975)*sqrt(0.06)/sqrt(6)] ans = 14.7540 15.1460 故置信区间为 (14.7540 15.1460)

  15. 注：若查分位数，用”分布名+inv”,需注意概率为1-a，用的分布函数。注：若查分位数，用”分布名+inv”,需注意概率为1-a，用的分布函数。

  16. §4.4假设检验 • 一、单个正态总体均值的检验 1． 方差已知 [H,P]=ztest(X,M,sigma,alpha,tail) X：样本数据；M：假设均值； sigma：已知的标准差； alpha：显著水平，默认为0.05；

  17. tail: 备择假设。取值如下： ’both’：均值不等于M，默认值； ‘right’：均值大于M； ‘left’： 均值小于M 返回值：H=0 可以接受原假设； H=1 不接受原假设； P为观测值的概率。

  18. 例：某面粉厂每袋面粉的重量服从正态分布，机器运转正常时每袋面粉重量的均值为50kg，标准差为1。某日随机的抽取了刚包装的9袋，称其重量分别为：例：某面粉厂每袋面粉的重量服从正态分布，机器运转正常时每袋面粉重量的均值为50kg，标准差为1。某日随机的抽取了刚包装的9袋，称其重量分别为： 49.7 50.6 51.8 52.4 49.8 51.1 52 51.5 51.2 问该机器是否运转正常？

  19. 解：假设机器运转正常，则备择假设为不正常，即tail值为’both’（默认值）解：假设机器运转正常，则备择假设为不正常，即tail值为’both’（默认值） >> [h,p]=ztest([49.7 50.6 51.8 52.4 49.8 51.1 52 51.5 51.2],50,1) h =1 p =0.00076083 H=1说明在显著水平α=0.05 的情况下不能接受原假设，即该机器运转不正常。

  20. 2． 方差未知 [H,P]=ttest(X,M,alpha) 例：用某仪器间接测量温度，重复5次，测得结果分别为（℃） 1250 1265 1245 1260 1275 设测量值X服从正态分布，水平α=0.05 . 试问能否认为该仪器测量值大于1277℃？

  21. 解一：假设测量值大于1277℃，则备择假设为测量值小于等于1277℃，tail值应为’left’解一：假设测量值大于1277℃，则备择假设为测量值小于等于1277℃，tail值应为’left’ >> [h,p]=ttest([1250 1265 1245 1260 1275], 1277,0.05,'left') h =1 p =0.014 H=1说明不能接受原假设， 即认为测量值不大于1277℃

  22. 解二：原假设测量值小于等于1277℃，则备择假设为测量值大于1277℃，tail值应为’right’解二：原假设测量值小于等于1277℃，则备择假设为测量值大于1277℃，tail值应为’right’ >> [h,p]=ttest([1250 1265 1245 1260 1275], 1277,0.05,'right') h = 0 p = 0.986 H=0 说明接受原假设， 即认为测量值不大于1277℃

  23. 二、单个正态总体方差的检验 [H,P]=vartest(X,v,alpha,tail) 其中v为假设的需检验的方差， 其它参数同上。 例：某厂生产的铜丝，质量一向比较稳定，今从中随机抽取10根检查其折断力，数据（千克）如下： 575 576 570 569 572 582 577 580 571 585

  24. 设铜丝的折断力服从正态分布，检验水平α=0.05，试问：可否认为该厂生产的铜丝折断力的方差为64？设铜丝的折断力服从正态分布，检验水平α=0.05，试问：可否认为该厂生产的铜丝折断力的方差为64？ 解：>> vartest([575 576 570 569 572 582 577 580 571 585],64) ans =0 H=0 认为接受原假设， 即该批铜丝的折断力的方差为64.

  25. 作 业 1、某手表厂生产机械自动手表，它的走时误差（单位：秒/天）服从正态分布，检验员在准备出厂的一批手表中随机地抽出了九只进行检测，结果如下： -4.0 3.1 2.5 -2.9 0.9 1.1 2.0 -3.0 2.8 求该手表的走时误差的均值和方差2 的置信度为0.95的置信区间。

  26. 2、电工器材厂生产一批保险丝，抽取10根试验其融化时间（单位：秒）结果分别为：2、电工器材厂生产一批保险丝，抽取10根试验其融化时间（单位：秒）结果分别为： 42，65，75，78，71，59，57，68，54，55. 融化时间为正态变量，检验水平0.05.试问是否可以认为整批保险丝的融化时间的方差小于或等于8？

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