Математическое моделирование задачи о внедрении клина в жесткопластическое полупространство

1. Математическое моделирование задачи о внедрении клина в жесткопластическое полупространство Ванина Снежанна 135 группа

2. Основные этапы решения Цель: Определение и исследование полей деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения в рамках теории плоской деформации идеального жесткопластического тела на примере задачи о внедрении клина в жесткопластическое полупространство Этапы: 1. Построение геометрии решения пластической области; составление уравнений, определяющих положение особенностей поля линии скольжения и свободных подвижных поверхностей, ограничивающих деформированное тело в процессе пластического течения. 2. Определение поля скоростей перемещений в пластической области, удовлетворяющего граничным условиям. 3.Определение нормальной скорости распространения линии разрыва, скоростей перемещений и скорости подвижного центра веера линий скольжения, по которым определяется поле деформаций в пластической области.

3. Внедрение клина в жесткопластическое полупространство.Автомодельное решение v– скорость внедрения клина с – глубина внедрения клина α ,β– взаимно ортогональные семейства линий скольжений u ,v–компоненты скорости перемещений Вследствие симметричности пластического течения рассмотрим правую половину пластической области ABDEC деформированного материала, состоящую из треугольников ABD и AEC равномерного напряженного состояния и центрированного веера ADE, в центре которого сходятся прямолинейные линии скольжения семейства β.

4. Геометрия пластической области Рассмотрим ∆OBF и ∆AFC. Т.к. площадь вытесняемого материала равна площади внедренной части клина, то: (1) OB=c AB=AC=h Выражая AHиз ∆AFHи ∆ACH, получаем: (2) И подставляя (2) в (1), получим: (3)

5. Геометрия пластической области Согласно выбранной системе координат , крайние точки рассматриваемой части пластической области имеют следующие координаты: точка A: точка B: точка C: Точка C, согласно предложенной схеме, всегда лежит на первоначальной линииконтакта. Уравнения для соответствующих линий BDEC имеют вид: (4) Линия BD: (5) Линия DE: (6) Линия EC:

6. Определение нормальной скорости G распространения линии разрыва поля скоростей перемещений Известно, что модуль градиента функции определяется через производную этой функции по нормали к линии уровня: С другой стороны, производная Следовательно, нормальная скорость движения линии разрыва определяется из соотношения: (7) Используя формулу (7) для уравнений соответствующих линий BDEC будут иметь вид: Линия BD: Уравнение задано в явном виде , то функция дифференцируема по соответствующей координате. (8) Тогда:

7. Определение нормальной скорости G распространения линии разрыва поля скоростей перемещений Линия DE: Это уравнение задано в параметрическом виде, тогда частные производные функции определяются соотношениями: Принимая это во внимание, получим: (9)

8. Определение нормальной скорости G распространения линии разрыва поля скоростей перемещений Линия EC: , где Уравнение линии EC представляет собой уравнение заданное в неявном виде , тогда частные производные определяются следующим образом: Значит, нормальная скорость G будет иметь вид: (10)

9. Нормальная скорость распространения линии разрыва поля скоростей перемещений Учитывая полученные ранее соотношения скорости G, можем написать: , где:

10. Деформация на жесткопластической границе Абсолютное значение величины удельной диссипации энергии рассчитывается по формуле: Поле скоростей однородно во всей пластической области. На жесткопластической границе BDEC проекция скорости перемещения вдоль равна нулю. Тогда, согласно уравнению Гейрингер: - вдоль линии : - направленный против движения часовой стрелки угол наклона характеристик семейства α к оси абсцисс ,где - вдоль линии : Проекция u на каждой линии αявляется постоянной, и при краевом условии на AB (скорость клина V=1 при глубине внедрения c) равна Тогда: (11)

11. Деформация на жесткопластической границе Определение деформаций в окрестности точки А, являющейся центром линии скольжения DAE, сводится к решению системы : , где (12) Для рассматриваемой задачи центр веера линий скольжения движется по закону: (13) Траектория движения частиц в пластической области проходит через жесткопластическую границу BDEC. В частности, частица, попадающая в веер, получает начальные деформации на линии EC. Следовательно, решение системы (12) для закона движения вершины центрированного веера DAE (13) удовлетворяет начальным условиям (для случая 2μ=60°): ,где - удельная диссипация энергии на линии ЕС. A- компоненты дисторсии

12. Определение деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения В качестве меры деформаций выбран тензор конечных деформаций Альманси: При плоской деформации: , i,j=1,2 Или в главных значениях: Первое главное значение тензора Альманси: На линии разрыва поля скоростей перемещений

13. Поле деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения μ=30°