L’ ELLISSE

1. L’ ELLISSE

2. ARGOMENTI TRATTATI • L’equazione canonica dell’ellisse • Questioni basilari • Questioni relative alle rette tangenti • Curve deducibili dall’ellisse • Discussione di sistemi di 2° grado con parametro • Proprietà ottica dell’ellisse

3. L’EQUAZIONE CANONICA DELL’ELLISSE Definizione Si dice elisse E il luogo geometrico dei punti P del piano tali che sia costante la somma delle distanze di P da due punti distinti F1 ed F2, detti fuochi. Da questa definizione, ponendoci in un opportuno riferimento cartesiano, possiamo ricavare l’equazione canonica dell’ellisse.Siano F1(- c ; 0 ) e F2(c ; 0 ), con c reale positivo, i fuochi e P(x;y) un generico punto P dellaE .Tali punti devono soddisfare la condizione dettata dalla definizione, cioè:

5. Osservazioni e altre definizioni (fuochi sull’asse x) • Gli insiemi d’appartenenza di x e y e le coordinate dei vertici suggeriscono che l’ellisse è inscritta nel rettangolo di figura, avente i lati lunghi 2a e 2b e i vertici di coordinate (-a;-b); (a;-b); (a;b); (-a;b) . • I segmenti A1A2 e B1B2 si chiamano rispettivamente asse maggiore, di misura 2a, e asse minore, dimisura 2b ( ricordiamo che b < a ); il segmento F1F2 si chiama distanza focale e misura 2c . • Simmetrie nell’ellisse con equazione canonica:F(-x;-y) = F(x;y), quindi l’ellisse è una curva a simmetria centrale, con centro O(0;0);F(-x;y) = F(x;y), quindi l’ellisse è una curva a simmetria assiale, con asse di simm. l’asse delle y ;F(x;-y) = F(x;y), quindi l’ellisse è una curva a simmetria assiale, con asse di simm. l’asse delle x . • Considerazione sul grafico per ricordare la relazione a2 – c2 = b2 oppure c2 = a2 – b2 :se consideriamo il punto P, che descrive la curva, nel vertice B2, si forma il triangolo rettangolo OF2B2di ipotenusa a e cateti b e c, quindi … • Coordinate dei fuochi di un’ellisse di equazione nota: se sono noti a e b, allora e i fuochi hanno coordinate F1(-c ; 0), F2(c ; 0). • Eccentricità‘e’ . Il rapporto fra la distanza focale e la lunghezza dell’asse maggiore di un’ellisse èdetto eccentricità:

7. L’ellisse con i fuochi appartenenti all’asse y Dalla definizione di ellisse come luogo geometrico (pag.3), procedendo come nel caso dell’ellisse con i fuochi sull’asse delle x, si ottiene la stessa equazione canonica.Siano F1(0 ; - c) e F2(0 ; c), con c reale positivo, i fuochi e P(x;y) un generico punto P dellaE .Tali punti devono soddisfare la condizione dettata dalla definizione, cioè:

8. Osservazioni e altre definizioni (fuochi sull’ asse y) • Gli insiemi d’appartenenza di x e y … invariati • I segmenti A1A2 e B1B2 si chiamano rispettivamente asse minore, di misura 2a, e asse maggiore, dimisura 2b ( ricordiamo che b > a ); il segmento F1F2 si chiama distanza focale e misura 2c . • Simmetrie … invariate • Considerazione sul grafico per ricordare la relazione b2 – c2 = a2 oppure c2 = b2 – a2 :se consideriamo il punto P, che descrive la curva, nel vertice A2, si forma il triangolo rettangolo OF2A2di ipotenusa b e cateti a e c, quindi … • Coordinate dei fuochi di un’ellisse di equazione nota: se sono noti a e b, allora e i fuochi hanno coordinate F1(0 ; -c), F2(0 ; c). • Eccentricità‘e’ . Il rapporto fra la distanza focale e la lunghezza dell’asse maggiore di un’ellisse èdetto eccentricità:

9. QUESTIONI BASILARI • Date le seguenti equazioni canoniche di ellissi, traccia i grafici corrispondenti, dopo aver determinato le coordinate dei vertici e dei fuochi, la misura degli assi maggiore e minore, l’eccentricità.

10. 2. Determina per quali valori del parametro reale k l’equazione kx2 + (k + 3)y2 = k + 15 rappresenta un’ellisse. 3. Determina per quali valori del parametro reale k l’equazione (3 - k)x2 + (k + 2)y2 = - k2 + k + 6 rappresenta un’ellisse con i fuochi sull’asse delle ascisse.

11. 4. PROBLEMA RICORRENTE: determinare l’equazione di un’ellisse. Facendo riferimento all’equazione canonica, determinare l’equazione di un’ellisse significa determinare i due coefficienti a, b. Pertanto il problema deve fornire due condizioni tra loro indipendenti, da cui ricavare due equazioni indipendenti. Alcune di tali condizioni sono, per esempio:• conosco a e/o b (coordinate dei vertici o lunghezze dei semiassi) • conosco c (coordinate di un fuoco) • passaggio per un dato punto P(xp ; yp)  (xp)2 /a2 + (yp)2 / b2 = 1 • conosco l’eccentricità e = c/a o e = c/b • tangenza ad una retta di nota equazione y = mx +q  vedi Ellisse tangente ad una retta.

13. QUESTIONI RELATIVE ALLE RETTE TANGENTI • Analizziamo questi due problemi: • determinare le equazioni delle rette tangenti all’ellisse, condotte da un punto di note coordinate; • determinare l’equazione dell’ellisse tangente ad una retta di nota equazione. • Rette tangenti all’ellisse, condotte da un punto PQuesti problemi si possono trattare, come indicato nel capitolo 9 delle coniche, con il metodo deldiscriminante nullo, o con il metodo delle formule di sdoppiamento.Di solitoconviene applicare il metodo delle formule di sdoppiamento se il punto P appartiene all’ellisse. • Esempi • a. Determina le equazioni delle rette tangenti all’ellisse di equaz. x2 + 4y2 = 4 , condotte dal punto P(3 ; 0). Verifico se P appartiene all’ellisse: 9  4  P non appartiene all’ellisse, quindi posso avere due soluzioni, se P è esterno, nessuna soluzione, se P è interno all’ellisse. • Metodo del “discriminante nullo”

14. b. Determina le equazioni delle rette tangenti all’ellisse 16x2 + 25y2 = 4 , condotte dal punto P(1/4 ; 31/2/5). Verifico se P appartiene all’ellisse: 1+ 3 = 4  P appartiene all’ellisse, quindi ho una sola soluzione.

15. 2. Ellisse tangente ad una retta di nota equazione Esempio

16. CURVE DEDUCIBILI DALL’ ELLISSE Esplicitando l’equazione di secondo grado x2/a2 + y2/b2 = 1 rispetto alla variabile y e rispetto alla variabile x , si ottengono quattro equazioni, due del tipo (1) e due del tipo (2), scritte sotto. Tali equazioni sono rappresentate graficamente da semiellissi.

17. Esempi. Rappresenta graficamente le curve descritte dalle equazioni indicate.

19. DISCUSSIONE DI SISTEMI DI 2° GRADO CON PARAMETRO CASO ELLISSE – RETTA Il parametro del sistema è il parametro che caratterizza il fascio di rette o di circonferenze. Discutere un sistema del tipo (1) o (2), significa determinare, compatibilmente alle eventuali limitazioni, per quali valori del parametro le rette intersecano l’ellisse nel caso (1), o la retta interseca le ellissi nel caso (2). In questo contesto ci occuperemo solo del caso (1). Esempi

22. PROPRIETA’ OTTICA DELL’ELLISSE Un raggio di luce proveniente da uno dei due fuochi viene riflesso dall’ellisse verso l’altro fuoco. Questa proprietà, che si può facilmente dimostrare per via analitica, vale per tutti i tipi di onde, anche per quelle acustiche. Si può ricordare un fenomeno acustico, che è possibile sperimentare in antiche sale con il soffitto a sezione ellittica, dove due interlocutori, posti nei due fuochi, possono discorrere chiaramente, sebbene a voce bassa, mentre negli altri punti della sala non si sentono le loro parole. Questa proprietà è stata sfruttata nella costruzione di alcuni teatri rinascimentali.