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Ⅶ . 도형의성질

Ⅶ . 도형의성질. 1. 삼각형의 성질. 2. 사각형의 성질. 1. 명제와 증 명. 1-1. 명제. 명제 : 참 , 거짓을 구별할 수 있는 식이나 문장. 예제 ) ◈ 삼각형의 내각의 합은 180 도이다 . ◈ 1 은 소수이다 . ◈ x + 4 = 6 ◈ x - 2 < 8 ◈ 2x +1 = 1 + 2x ◈ 장미꽃은 아름답다. ⇒ 참인 명제. ⇒ 거짓인 명제. ⇒ 명제가 아님. ⇒ 명제가 아님. ⇒ 명제 ( 항등식 ). ⇒ 명제가 아님.

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Ⅶ . 도형의성질

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Presentation Transcript

  1. Ⅶ. 도형의성질 1. 삼각형의 성질 2. 사각형의 성질

  2. 1. 명제와 증명 1-1. 명제 명제 : 참, 거짓을 구별할 수 있는 식이나 문장 예제) ◈ 삼각형의 내각의 합은 180도이다. ◈ 1은 소수이다. ◈x + 4 = 6 ◈ x - 2 < 8 ◈2x +1 = 1 + 2x ◈ 장미꽃은 아름답다. ⇒ 참인 명제 ⇒ 거짓인 명제 ⇒ 명제가 아님 ⇒ 명제가 아님 ⇒ 명제(항등식) ⇒ 명제가 아님

  3. 예제1) (1) 3+2=7 (2) x+1=4 (3) 정사면체의 모서리 개수는 6이다. ⇒ 거짓인 명제 ⇒ 명제가 아님 ⇒참인 명제 문제1) (1) 2x+5=3 (2) 삼각뿔대는 사면체이다. (3) 정육면체의 꼭짓점의 개수는 6이다. (4) 사면체의 면의 개수는 4이다. ⇒ 명제가 아님 ⇒ 거짓인 명제 거짓 명제 ⇒ 참인 명제

  4. 문제2> 3+2< -1 4+5≠1 (3)꼭짓점의 개수가 8인 다면체는 정육면체이다. (4) 사각형의 대각선의 개수는 2이다. ⇒ ( × ) ⇒ ( ○ ) ⇒ ( × ) ⇒ ( ○ )

  5. 이면 이다. 이면 이다. 결론 결론 가정 가정 역

  6. 문제3> 1) 가 자연수이면 는 자연수이다. 2) 이면 이다. 결론 결론 결론 가정 가정 가정 3)△ABC 에서, 이면 이다.

  7. 예제2> 1) .이면 이다. 참 역) 이면 이다. 참 1) .이고 이면 이다. 참 거짓 역) 이면 이고 이다. 원래 명제가 참일 때, 역명제는 참일 때도, 거짓일 때도 있다.

  8. 문제4> 1) .이 짝수이면 은 홀수이다. 참 거짓 역) 이 홀수이면 이 짝수이다. 2) .이고 이면 이다. 참 거짓 역) 이면 이고 이다.

  9. 문제4> 3) .이면 이다. 거짓 역) 이면 이다. 거짓 4) .이고 이면 이다. 참 역) 이면 이고 이다. 거짓

  10. ⊙ 정의 :용어의 뜻을 한 가지로 명확히 정한 것. ▶정삼각형 : 세 변의 길이가 같은 삼각형 ▶ 이등변삼각형 : 두 변의 길이가 같은 삼각형 ▶ 사다리꼴 : 한 쌍의 대변이 서로 평행한 사각형 ▶ 평행사변형: 두 쌍의 대변이 평행한 사각형 ▶ 마름모 : 네 변의 길이가 같은 사각형 ▶ 직사각형 : 네 각의 크기가 같은 사각형 ▶ 정사각형 : 네 변의 길이와네 각의 크기가 같은 사각형 ▶ 등변사다리꼴:아랫변의 양 끝각의 크기가 같은 사다리꼴 ▶ 정다각형 : 모든 변의 길이와 모든 내각의 크기가 같은 다각형 ▶ 원:평면 위의 한 정점에서 같은 거리에 있는 점들의 모임

  11. 문제3> 정삼각형의 경우와 같이 정육각형을 ‘여섯 변의 길이가 같은 육각형’이라고 정의할 수 있는가?

  12. 1-2 정의와 정리 • ⊙ 증명 :명제의 결론이 참임을 밝히는 것 • 실험이나 관찰 측정으로 얻은 결과는 증명이라 할수 없다. • ⊙ 정리 :참이라고 증명된 명제 중 기본이 되는 중요한 것.

  13. ⊙ 두 직선이 한 점에서 만날 때, 그 맞꼭지각의 크기는 같다. A D O C B (가정) 과의교점이 O 증명) ∠AOB+∠BOC=180°(∵ 평각) (결론) ∠COD+∠BOC=180°(∵ 평각) ∴∠AOB=∠COD(∵ 등식의 성질) 맞꼭지각

  14. 예제) 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180°이다. A D B C E (가정) 삼각형의 세 꼭지점이 A, B, C (결론) ∠A + ∠B + ∠C =180° 점 C를 지나며 변 AB에 평행한 반직선 CD를 그은 후 BC의 연장선 위에 점 E를 잡는다. 증명) ∠A=∠BAC= ∠ ACD(∵ 엇각) ∠B=∠ABC= ∠DCE(∵ 동위각) ∴∠A + ∠B + ∠C = ∠ ACD+ ∠DCE+ ∠BCA= 180°

  15. 문제4> △ABO와 △CDO에서 이면 임을 증명하여라. A D (가정) O (결론) B C 증명) (∵ 가정)--① (∵ 가정)--② ∠AOB=∠COD(∵ 맞꼭지각) --③ ∴△AOB≡△COD (SAS합동) ∴

  16. 문제4> □ABCD에서 이면∠BAD=∠DCB임을 증명하여라. A D (가정) (결론) ∠BAD=∠DCD C B 증명) (∵ 가정)--① (∵ 가정)--② : 공통변--③ ∴ ∠BAD=∠DCB ∴△ABD≡△CDB (SSS합동)

  17. 2-1. 이등변 삼각형 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다. (가정) A 증명) (결론) ∠BAD=∠CAD--③ B C D (∵ 가정)--① : 공통--② ∴△ABD≡△ACD (SAS합동) ∴

  18. 2-1. 이등변 삼각형이 될 조건 두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형이다. (가정) A (결론) (∵ 가정)--① 증명) ∠ADB=∠ADC --② : 공통---③ B C D ∴△ABD≡△ACD (ASA합동) ∴

  19. 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다. 증명) (∵ 가정)--① A : 공통---② ∠BAD=∠CAD --③ ∴△ABD≡△ACD (SAS합동) B C D ∴

  20. D A B C E

  21. 2-2. 직각삼각형 직각 삼각형의 합동 조건 1. 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 같으면 합동( RHA합동 ) A D Right angle(직각) Hypotenus(빗변) B E F C 증명) (∵가정)--① ∴∠B=∠E(∵가정)--② ∴∠A=∠D--③ (∵ ∠C= ∠F, ∠B=∠E) ①, ② , ③에서∴▽ABC≡▽DEF(ASA합동)

  22. 2-2. 직각삼각형 직각 삼각형의 합동 조건 2. 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 같으면 합동( RHS합동 ) A D (D) A B B E F C 증명) ∠ACB+∠DFE=90°+90°=180° ∴B,C,E는 일직선 위의 점 E (F) C ▽ABE는 이등변삼각형(∵ ) ∴∠B=∠E ∴▽ABC≡▽DEF(ASA합동)

  23. 문제1) A A D 30° 30° 6cm 5cm 6cm 60° 60° B B C C F E 3cm 3cm 3cm E 5cm 문제2 4cm 4cm 3cm D F

  24. 문제1) 임을 증명하여라. A D P B O E ▽ODP≡▽OEP (RHA합동) ∴

  25. 직각 삼각형의 합동 조건 1. 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 같으면 합동( RHS합동 ) 2. 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 같으면 합동( RHA합동 )

  26. 문제3 이등변삼각형 ABC , D, E : 수선의 발 ▽DBC≡▽ECB임을 보여라. A E D B C

  27. 예제4 이면 는∠AOB를 이등분함을 증명하여라. A D P B O E ▽ODP≡▽OEP (RHS합동)

  28. 문제4 이고, 이면 ∠PBD=∠PBC임을 증명하여라. A D P C B ▽BDP≡▽BCP (RHS합동) ∴∠PBD=∠PBC

  29. 문제5 임을 증명하여라. A E C B D

  30. △ABD의 넓이를 구하여라. A 20cm B C D 6cm

  31. 2-3. 삼각형의 외심 삼각형의 세 변의 수직이등분선은 한 점에서 만나고, 이 점에서 세 꼭지점까지의 거리는 같다. A D F O B C E

  32. 2-3. 삼각형의 외심 A 외심(外心) D O 외접원 B C E

  33. 외심 : 삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점 • <외심의 성질> • 외심에서 세 꼭지점까지의 거리는 같다. • 외심을 예각삼각형의 세 꼭지점과 이으면 • 이등변삼각형이 3개가 생긴다. A O B C

  34. 문제1> = ? , ∠BAO=? A 3 30° O B C

  35. 삼각형의 외심의 위치는? ● ● (1) 예각삼각형 : 내부에 있다. (2) 직각삼각형 : 빗변의중점에 있다. (3) 둔각삼각형 : 외부에 있다.

  36. 문제3> A 7cm 6cm D F O 7cm 6cm 8cm B C E 8cm

  37. 2-4. 삼각형의 내심 삼각형의 세 내각의 이등분선은 한 점에서 만나고, 이 점에서 세 변까지의 거리는 같다. A D F I B C E

  38. 내심 : 삼각형의 세 내각의 이등분선의 교점 • <내심의 성질> • 내심에서 세 변까지의 거리는 같다. A 내접원 D F I 내심 B C E

  39. 외심과 내심의 차이점 I A A 외심(外心) O D C B F C B 내심 외심에서 세 꼭지점까지의 거리가 같다. 내심에서 세 변까지의 거리가 같다. E

  40. 외심의 성질 A c a 외심 a c b b C B 외심에서 세 꼭지점까지의 거리가 같다.

  41. 내심의 성질 I A a a D F C b B c 내심 b c 내심에서 세 변까지의 거리가 같다. E

  42. 삼각형의 넓이, 세변의 길이, 내접원의 반지름의 관계 A c b r I a B C

  43. △ABC의 내접원의 넓이를 구하여라. A 5cm 3cm C B 4cm

  44. 점 I가 △ABC의 내심일 때, △ADE의 둘레의 길이를 구하여라. A 10cm 8cm I D E B C 9cm

  45. 문제1 점 I가 △ABC의 내심일 때, 의 크기는? A x I b c c b B C 130°

  46. 그림의 △ABC에서 점 I는 이 삼각형의 내심이다. ∠A=a일 때, ∠BIC의 크기를 a를 사용하여 나타내면? A a I b c c b B C

  47. <문제2>그림에서 x, y의 값을 구하여라. A A 50° 70° I I 30° b c b c 30° B C B C

  48. 그림의 △ABC에서 점 I는 이 삼각형의 내심이다. 일 때, 의 크기는? A D I B C E

  49. 연습문제 1번 A 40° 110° 70° 70° B C

  50. 연습문제 2번 , 이면 △PBC는 이등변삼각형임을 보여라. A D P B C

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