Measures Of Central Tendency

1. مقاييس النزعة المركزية Measures Of Central Tendency

2. كل ظاهرة فى الحياة العامة لها ميل للتجمع حول نقطة معينة ؛ومن ثم إذا استطعنا تحديد هذه النقطة فإننا سنصل إلى قيمة متوسطة تتجمع حولها القيم . * يسمى ذلك الميل إلى التجمع حول هذه القيمةبالنزعة المركزية *وتسمى المقاييس المستخدمةمقاييس النزعة المركزية

3. شروط المقياس الجيد • يحسب بطريقة سهلة لا تؤثر على دقة البيانات . • يأخذ فى الاعتبار جميع المفردات المطلوب حساب المقياس لها . • يكون له معنى طبيعى مفهوم يستخدم فى الحياة العامة . • يعكس التغير فى الظاهرة ، ولا يتغير بتغير طرق حسابه . • يخضع للعمليات الجبرية خضوعا تاما . • لا يتأثر بالقيم الشاذة او المتطرفة . • لا يتأثر باختلاف العينات ذات الحجم الواحد .

4. مقاييس النزعة المركزية Measures Of Central Tendency المنوال Mode الوسيط Median الوسط التوافقى Harmonic Mean الوسط الهندسى Geometric Mean الوسط الحسابى Arithmetic Mean

5. Arithmetic Mean الوسط الحسابى أولا :فى حالة البيانات غير المبوبة :- يعد من أكثر المقاييس المستخدمة فى الاحصاء حيث انه بسيط وسهل الفهم و يصلح للمقارنة بين المجموعات. إذا كانت قيم المتغير (x) هـــى x1 , x2 , … , xnحيث(n) يمثل حجمالمجموعة ؛ فإن الوسط الحسابى يمكن التعبير عنه على النحو التالى :-

6. مثال احسب الوسط الحسابى للقيم 2، 4 ، 6 ، 1 الوسط الحسابى يتأثر بالطرح والجمع فالوسط الحسابى للقيم X1+a ,X2+a ,… ,Xn+aيكون :- احسب الوسط الحسابى للقيم 3،5،7،2 مثال الوسط الحسابى يتأثر بالضرب و القسمة فالوسط الحسابى للقيم X1*b ,X2*b ,… ,Xn*bيكون :- احسب الوسط الحسابى للقيم 6،10،14،4 مثال

7. ثانيا :فى حالة البيانات المبوبة :- مركز الفئة = الحد الأدنى للفئة + الحد الأعلى للفئة 2 هنا تواجهنا صعوبة من نوع جديد ؛ ذلك لأن البيانات فى جدول التوزيع التكرارى تكون غير معروفة بالتفصيل ، بل هى معروفة أجمالا نظرا لاختصارها فى فئات . لذلك سنفترض ان كل المفردات فى كل فئة موزعة توزيعا عادلا على مدى الفئة ؛ اى اننا لن نخطئ كثيرا اذا اعتبرنا المفردات فى كل فئة تكون متجمعة عند مركز الفئة . وعلى ذلك يعرف الوسط الحسابى للتوزيعات التكرارية بأ نة الوسط الحسابى المرجح بالتكرارات.

8. الوسط الحسابى لمراكز الفئاتX1, X2,… ,Xnوالمرجح بالتكرارات المناظرة F1,F2,…,Fnيكون مثال الجدول التالى يمثل الأجر الأسبوعى للعامل بالجنية فى مائتين محل بمنطقة شبرا الخيمة :- المطلوب حساب متوسط الأجر الأسبوعى للعامل يمكن الاستفادة من خصائص الوسط الحسابى فى حل المثال بثلاث طرق لتحسين ســـــــــرعة الحساب

9. الطريقة المطولة أى أن متوسط الأجر الأسبوعى للعامل هو 32.5 جنية

10. الطريقة المختصرة وهنا نطرح وسطا فرضيا ( مقدار ثابت ) من مراكز الفئات ثم نعيد إضافته إلى الوسط الحسابى بعد حسابه من مراكز الفئات (المعدلة) ‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‍‍. وذلك للتغلب على الصعوبات فى الحساب عندما تكون مراكز الفئات أرقام كبيرة أو كسرية .

11. الطريقة الأكثر اختصارا وهنا نقسم مراكز الفئات المعدلة (سابقا) على مقدار ثابت ثم نعيد ضربة فى الوسط الحسابى بعد حسابه من مراكز الفئات (النهائية( ‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‍‍. عموماإذا كان الجدول التكرارى منتظما (أطوال الفئات متساوية( فأنة يمكن وضع صفر أمام اى فئة، ووضع الارقام-1،-2،-3،...أمام الفئات السابقة لهذه الفئة ، ووضع الارقام 1،2،…أمام الفئات التالية لها . مقياس أخر

12. Geometric Mean الوسط الهندسى أولا :فى حالة البيانات غير المبوبة :- إذا كانت قيم المتغير (x) هـــى x1 , x2 , … , xnحيث(n) يمثل حجمالمجموعة ؛ فإن الوسط الهندسى يمكن التعبير عنه على النحو التالى :- بالاستعانة باللوغاريتمات

13. مثال احسب الوسط الهندسى و الوسط الحسابى للقيم 2،4،2،16 لاحظ أن الوسط الحسابى دائما أكبر من الوسط الهندسى (لنفس البيانات (

14. ثانيا :فى حالة البيانات المبوبة :- الوسط الهندسى لمراكز الفئاتX1, X2,… ,Xnوالمرجح بالتكرارات المناظرة F1,F2,…,Fnيكون

15. احسب الوسط الهندسى من الجدول التكرارى التالى :- مثال مقياس أخر

16. Harmonic Mean الوسط التوافقى أولا :فى حالة البيانات غير المبوبة :- الوسط التوافقى لمجموعه من القيم هو مقلوب الوسط الحسابى لمقلوبات هذه القيم. إذا كانت قيم المتغير (x) هـــى x1 , x2 , … , xnحيث(n) يمثل حجمالمجموعة ؛ فإن الوسط التوافقى يمكن التعبير عنه على النحو التالى :-

17. احسب الوسط التوافقى و الوسط الهندسى و الوسط الحسابى للقيم 10،20،40،50 مثال لاحظ أن دائماالوسط الحسابى أكبر من الوسط الهندسى أكبر من الوسط التوافقى (لنفس البيانات(

18. ثانيا :فى حالة البيانات المبوبة :- الوسط التوافقى لمراكز الفئاتX1, X2,… ,Xnوالمرجح بالتكرارات المناظرة F1,F2,…,Fnيكون يفضل استخدام الوسط التوافقى فى حالة التعامل مع الأسعار القياسية أو معدلات السر عات أو معدلات التغير

19. احسب الوسط التوافقى من الجدول التالى والذى يوضح التوزيع التكرارى لسر عات 100 متسابق :- مثال مقياس أخر

20. الوسيط Median أولا :فى حالة البيانات غير المبوبة :- رتبة الوسيط = n + 1 2 الوسيط له رتبتان هما n & n + 1 2 2 الوسيطهو القيمة الموجودة فى منتصف البيانات بعد ترتيبها (تصاعديا أو تنازليا) . إذا كانت قيم المتغير (x) هـــى x1 , x2 , … , xnحيث(n) يمثل حجمالمجموعة ؛ فإن الوسيط يكون هو المفردة التى رتبتها (بعد الترتيب( عدد القيم فردى عدد القيم زوجى

21. مثال احسب الوسيط للقيم 112،3،4،5،6 الترتيب التصاعدى للقيم الوسيط لم يتأثر بالقيمة الشاذة 112 مثال احسب الوسيط للقيم -3،-1،3،6،7،8 (-3)1& (-1)2& (3)3& (6)4& (7)5& (8)6

22. ثانيا :فى حالة البيانات المبوبة :- رتبة الوسيط = الوسيط = الحد الأدنى لفئة الوسيط + طول فئة الوسيط ( رتبة الوسيط - التكرار المتجمع الصاعد السابق لفئة الوسيط( التكرار الأصلى لفئة الوسيط الوسيطهو القيمة المقابلة لنصف مجموع التكرارات. لذلك يجب حساب الوسيط من أحد الجدولين التكراريين المتجمعين الصاعد أو الهابط *فى حالة الحساب من الجدول التكرارى المتجمع الصاعد (بعد تكوينه)

23. رتبة الوسيط مثال الجدول التالى يمثل الأجر الأسبوعى للعامل بالجنية فى مائتين محل بمنطقة شبرا الخيمة :- المطلوب حساب متوسط الأجر الأسبوعى للعامل باستخدام الوسيط .

24. 33.33 Median

25. يفضل استخدام الوسيط فى حالة التعامل مع • البيانات التى تكثر بها القيم الشاذة . • الجداول التكرارية المفتوحة من أحد طرفيها أو من كليهما . • التوزيعات التكرارية غير المتساوية فى طول الفئات . مقياس أخر

26. المنوال Mode أولا :فى حالة البيانات غير المبوبة :- المنوالهو القيمة الأكثر شيوعا بين البيانات. احسب المنوال للقيم2،3،4،2،11،2 مثال أكثر القيم تكرارا هى القيمة 2 المنوال أقل مقاييس النزعة المركزية تأثر بالقيم الشاذة

27. لا يمكن اعتبار المنوال مقياسا للنزعة المركزية • إن لم يكن هناك قيم مكررة . 3،4،5،6،7 مثال • إن كان هناك أكثر من قيمة لها نفس الشيوع . 2،3،2،5،3،4 مثال

28. ثانيا :فى حالة البيانات المبوبة :- المنوالهو القيمة المقابلة لأكبر تكرار؛ والتى تنتمى للفئة التى لها أكبر تكرار (الفئة المنوالية( وعلى ذلك فأنالمنواليقع فى الفئة المنوالية تحت تأثير التكراريين السابق واللاحق للفئة المنوالية . يحدد المنوال باستخدام قانون الرافعة : القوة x ذراعها = المقاومة x ذراعها

29. مثال الجدول التالى يمثل الأجر الأسبوعى للعامل بالجنية فى مائتين محل بمنطقة شبرا الخيمة :- المطلوب حساب منوال الأجر الأسبوعى للعامل . الفئة المنوالية = 25-35 لها أكبر تكرار (60( س 10 - س نهاية الفئة المنوالية بداية الفئة المنوالية 35 25 المنوال 50 20 التكرار اللاحق التكرار السابق

30. المنوال = 25 + 7.14 = 32.4جنية يمكن تحديد المنوال بيانيا من رسم المدرج التكرارى

31. 32.14 Mode مقياس أخر