江户时代的算额与中学数学教育

1. -----日本中学教师的数学史研究 报告人：徐泽林 江户时代的算额与中学数学教育 网址：http://tjnuihs.nease.net/index.htm/ 信箱：zelinxu@sohu.com 天津师范大学数学科学学院

2. 日本江户时代算额与数学教育 一、绘马的诞生与演变 二、江户时代的算额 三、算额中的问题与解法 四、算额与地方和算史研究 五、算额与日本中学数学教育 六、几点启示与感想

3. 一、绘马的诞生与演变 “绘马”，日语念“えま”（Ema），是悬挂在神社、庙宇廊檐下，或专供悬挂的“绘马堂”内的木制彩色匾额，也就是向神或佛祈愿或者感谢神佛使自己祈愿实现，作为证据有关书写愿望的木板画，供奉在神社或庙宇中。这一活动叫“奉揭绘马”，或者叫“奉纳绘马”。 作为宗教信仰活动的奉纳绘马风俗，起源较早。民间信仰与人类现实生活密切相关，它作为一种习俗而产生。无论什么时代，人们都会遇到来自自然的或人类社会的各种灾难、危机和挫折，因此会幻想超自然的神灵给予解救。相对于宗教祭祀中大规模、有组织的祭礼和修法，民间个人随意地去拜神拜佛，变得简单，因此这样信仰活动容易得到普及而习俗化。

4. 在古代日本，人们认为神降临人间时所乘的神舆是马，所以就把马视为神圣的动物，最初是向神社供奉活马。这种在祭祀中供奉活马的风俗在《常陆国风土记》就有记载，所记为崇神天皇时代的事。《续日本纪》等古文献中，这方面的记载不绝。在古代日本，人们认为神降临人间时所乘的神舆是马，所以就把马视为神圣的动物，最初是向神社供奉活马。这种在祭祀中供奉活马的风俗在《常陆国风土记》就有记载，所记为崇神天皇时代的事。《续日本纪》等古文献中，这方面的记载不绝。 后来可能由于经济上的考虑,出现用土制或木制的马偶代替活马来进行祭祀.《续日本纪》中除有用活马祭祀的记载外，也有关于用马偶进行祭祀的记录，如神护景云三年二月乙卯条中,就有以“马形”和鞍奉献太神宫的记载。 京都市戒坛院绘马 关于绘马是如何出现的，《神道名目类聚抄》有所说明： 造リ馬モ及バザルモノ、馬ヲ画テ奉ルナリ、今世俗、馬ニアラデ、種々ノ絵ヲ図シテ献上事ニナリヌ 意思是说，“不及造马偶，只好画马奉献。当时的世俗，不止画马，还画各种图画奉献到社、寺中。” 自此，文献中这样的记述有很多，如《神社启蒙》中，也有关于“何为绘马”的叙述：“答：此盖奉贽之义也。不能引进神马者，画之献也”。 也就是，后来人们不仅不再向神社、寺庙奉献活马，而且还画马代替马偶奉献于其中。至于绘马最初是何时出现的，今不可考，其普及、大众化是鎌倉时代以后的事。从古代遗留的实物遗存来看，大概在室町时代末期就已经流行了。

5. 从这时起，除了绘画马的图画外，还绘其他各种动物的画，因为祭祀活动中常常用牲畜供奉神佛。随着时代推移，绘画形式、图案式样、画板式样都不断发生变化，人们祈求的願望也多样化，有祈求病癒的绘马（例如，若祈求眼病痊愈者，奉揭画有眼睛的绘马），有祈求平安生产、有祈求生儿育女的绘马。从这时起，除了绘画马的图画外，还绘其他各种动物的画，因为祭祀活动中常常用牲畜供奉神佛。随着时代推移，绘画形式、图案式样、画板式样都不断发生变化，人们祈求的願望也多样化，有祈求病癒的绘马（例如，若祈求眼病痊愈者，奉揭画有眼睛的绘马），有祈求平安生产、有祈求生儿育女的绘马。 大约至室町时代末期，进入绘马发展的转形期。绘马图案内容除多样化外，还有大型化的趋势，并主要是扁额形式。而且在桃山时代，开始出现豪华化。出现大型的豪华的绘马，与当时的社会风俗有密切的关系。从中世乃至整个近世，各种艺能已经普及到一般社会阶层，歌仙绘、浮世绘、和歌、和算等学艺发达起来，剑道、柔道、武道等等艺道也流行起来，于是出现学问性的特殊绘马，如歌仙绘、艺能绘等。和算绘马就是这种特殊的学问绘马，称做“算额”。 京都市戒坛院绘马

6. 到了江户时代，随着奉纳绘马风俗的盛行，在市井上出现了专门从事为人绘画绘马的画师，以及专门出售绘马的绘马屋。这些以经营绘马为生计的职业人，一直存续到现代。到了江户时代，随着奉纳绘马风俗的盛行，在市井上出现了专门从事为人绘画绘马的画师，以及专门出售绘马的绘马屋。这些以经营绘马为生计的职业人，一直存续到现代。 大正至昭和时期，由于日本文化西方化比较盛行，而且军国主义泛滥，所以在“年中行事”中奉纳绘马的习俗也就慢慢衰落了，神社、寺中绘马锐减。而在中日战争、日俄战争、侵华战争及太平洋战争期间，神社中的出现大量的祈愿战争胜利、武运长久的绘马。 现代的绘马都是小型化的，但绘画题材也丰富多样化，主要是来祈求家庭平安、身体健康、顺利升学、考试合格、顺利就职或升迁、爱情永恒、喜结良縁的绘马。 神社、寺庙中悬挂绘马的架子 京都清水寺地主神社里的绘马

7. 京都市清水寺绘马

8. 绘制绘马 绘马屋中的绘马师

9. 二、江户时代的算额 算額，即数学絵馬。算額这一名称，大概最早出现于幕末和算家山口和的日記《道中日記》中。日本学士院蔵书目録《和算図書目録》中虽有《奥州堺明神算額写》、《大坂算額》、《厳島算額写》、《羽州久保田算額改訂》之类的书名，但它们都是关于“算額”问题的抄本，今人所拟的題名。 《和算図書目録》中的《相川天神社神壁》、《愛宕山円満寺額解》、《愛宕山額二術》、《愛宕山額算法》、《愛宕山額面解義》等书名看，“奉納術解”、“標額”、“奉納算題”、“懸額”、“額算題”、“匾掲解義”、“奉納算法”等称法，也是指算额。有时也叫“絵馬算”或“数術之額”。到了幕末，利用“算額問題”进行学习的增加，于是把算额中的問題叫“額題”或“額面題”。 渡边一的算额

10. 椙尾神社算额

11. 真福寺算额 和算与歌舞伎、浮世絵等一样，是在江戸時代时期的庶民和低级武士中产生的，主要是在私塾中进行教育的。对和算感兴趣进行学习研究的主要是低等武士和一些较富裕殷实的农民、町人，它是江户町人文化的一种。江户时代的这些社会阶层把数学当成一种艺能，加以研习与承传，而算额正是这一艺能活动的表现。 学习、研究和算的人，最初是为了自己能够顺利地进行数学研究、数学能力不断提高而向神佛祈愿，于是向神社佛阁奉纳绘马，当然也包含为使自己会解数学問題因而感謝神佛恩赐，这样勉学的意思。以后演变成各种愿望都有，有祈愿家庭安全的、有祈愿学术私塾繁栄的、有祈愿子孙出生的，恐怕最多的是祈愿自己能够解难题、能够构造好的数学问题，或者是为炫耀自己数学能力的优秀。

12. 一般都是在绘马板上写出数学问题，要求读者给予解答，也有奉纳者自己给出解答的。例如，京都市八坂神社的算额，1683年奉纳的伏见御香宮算额之解答算额，很似早期和算书中的遗题继承。以算额作問答的不少，以至发展到和算学派最上流与关流的争论，会田安明的《芝愛宕山（江戸）奉纳算额》就是典型的例子。一般都是在绘马板上写出数学问题，要求读者给予解答，也有奉纳者自己给出解答的。例如，京都市八坂神社的算额，1683年奉纳的伏见御香宮算额之解答算额，很似早期和算书中的遗题继承。以算额作問答的不少，以至发展到和算学派最上流与关流的争论，会田安明的《芝愛宕山（江戸）奉纳算额》就是典型的例子。 京都市東山区八坂神社 算额元禄四年

13. 爱宕山算额

14. 算额最早何时出现，今不可考。从村瀬義益的《算学淵底記》（1681）中，可以窥知江戸时代中期的寛文年間就已经开始形成这种风习，江戸（今东京）各地就存有算额問題。在《算学淵底記》中，介绍悬挂于“武州目黒不动尊”的算额中問題。可以推测，京都、大阪等地或许更早就有许多算额了。这一风习一直保存到明治时期，所以今天在神社、寺庙中发现的算额也有一部分是明治时期的算额。算额最早何时出现，今不可考。从村瀬義益的《算学淵底記》（1681）中，可以窥知江戸时代中期的寛文年間就已经开始形成这种风习，江戸（今东京）各地就存有算额問題。在《算学淵底記》中，介绍悬挂于“武州目黒不动尊”的算额中問題。可以推测，京都、大阪等地或许更早就有许多算额了。这一风习一直保存到明治时期，所以今天在神社、寺庙中发现的算额也有一部分是明治时期的算额。 最上徳内記念館算额

15. 大聖寺文珠堂算额 羽黒山神社算额

16. 栃木县佐野市星宮神社天和三年（1683）奉纳的算额栃木县佐野市星宮神社天和三年（1683）奉纳的算额 現存最早的算额是栃木县佐野市星宮神社天和三年（1683）奉纳的算额，其次分别是京都市北野天満宮（1686）、京都市八坂神社（1691）、福井县武生市大塩八幡宮（1701）、埼玉县本庄市都島正观音（1726）等地的算额。除北海道地区没有发现算额外，日本全国几乎所有地区都出现过算额，到1997年为止，全国范围内共发现现存算额约884面，最近这几年又新发现一些算額，現存算额总数大约达到900余面。这些算额现都逐步被电子化，在网上公布，网址为：和算の馆http://www.wasan.jp/

17. 江户时代中后期，随着奉纳算额风习的流行，也出现了通过解答算額中的问题而进行数学学习的现象，所以到18世纪后半叶，出现了“算额问题集”之类数学书。最早的“算額问题集”是藤田貞助的《神壁算法》（1789），此后，倣此的算額集陆续出版。比较著名的有以下诸书：江户时代中后期，随着奉纳算额风习的流行，也出现了通过解答算額中的问题而进行数学学习的现象，所以到18世纪后半叶，出现了“算额问题集”之类数学书。最早的“算額问题集”是藤田貞助的《神壁算法》（1789），此后，倣此的算額集陆续出版。比较著名的有以下诸书： （1）増刻神壁算法，上下，藤田嘉言編，藤田貞資閲，水玉堂，寛政元年初版 （2）続神壁算法，藤田嘉言編，藤田貞資閲，水玉堂文化3年版 （3）精要算法，巻之上中下，藤田定資著，安島直円訂，天明元年 （4）京都祇園額解術，安島直円，抄本 （5）改補算額備要大成，佐々木其争，安政4 （6）算額級聚抜，藤田吉膀 （7）算額三除開立方，抄本　 （8）算額用字和解，抄本，嘉永6年 小野川薬師堂算额

18. 八幡神社算额（1838，一关千叶胤秀门人奉纳）八幡神社算额（1838，一关千叶胤秀门人奉纳） 做算额几乎不花什么钱，数学爱好者将其作为一种遊艺，而没有资产的人还可以通过游历以数学为生计，这样在江户时代就出现了所谓的“游历算家”，代表人物有幕末的山口和（？-1850）与佐久間纉（1819-1896）等人。他们做到处指导数学的旅行，首先去神社佛阁调查有无算额，如果有就再去拜访奉纳者，找不到这些奉纳者，就去找一些庄主、名主和富裕的农民，说自己是数学家，如果这个村庄有对数学感兴趣的年轻人，自己就可以教他们，于是在这里开办数学私塾。这样的游历算家，对日本江户时代的数学教育与数学普及起了很大的作用。

19. 三、算额中的问题与解法 算额的数学问题大都以几何问题为主，而且多是讨论圆、椭圆、各种多边形之间的相容、相切关系的几何问题。这些问题不仅数量关系复杂、难度高，而且以不同色彩绘出几何图形也显得十分美观，具有艺术效果。以下我们列举若干算额问题，由此我们可窥算额问题之一斑： 問題１　1788年的算額问题。 最大的緑色圆半径为ｒ，求图中第ｎ个蓝圆半径。

20. 問題２1824年群馬県的算額問題。相互外切的橙色圆和蓝色圆，同外切于同一直線上。小的红色圆与这两个大圆外切，并也与直線相切。求此时三个個圆的半径之间的关系。問題２1824年群馬県的算額問題。相互外切的橙色圆和蓝色圆，同外切于同一直線上。小的红色圆与这两个大圆外切，并也与直線相切。求此时三个個圆的半径之间的关系。 P 問題３　宮城県1912年所悬挂之算額。从楕圆上一点P，引交于楕圆上另一点Q的法線PQ，求此时PQ长度的最小値。 Q

21. 問題４1913年宮城県悬挂的算額。大的緑色直角三角形中，有如図的３個橙色正方形。在两个正方形和直角三角形之间置外切的三個蓝色的圆，问三個蓝色圆的半径之间存在怎样的関係？問題４1913年宮城県悬挂的算額。大的緑色直角三角形中，有如図的３個橙色正方形。在两个正方形和直角三角形之间置外切的三個蓝色的圆，问三個蓝色圆的半径之间存在怎样的関係？ 問題５1803年群馬県悬挂的算額問題。如图，大的緑圆直径上接一等腰三角形，并与该圆内接与两点。红圆过等腰三角形的一个頂点而与緑圆内切。在这个红圆与三角形之间有一蓝圆，同时与红圆、绿圆及三角形相切。设法使蓝圆中心向大绿圆直径所作垂线的垂足点在红圆円与三角形外接点处。

22. 問題６　1874年群馬県算額问题。正方形中有一大蓝圆，在正方形四角有４個半径各異的小橙色圆，每个小橙色圆与正方形的邻边及蓝圆都外切，求这４個橙色小圆的半径与正方形边长之间的关系。問題６　1874年群馬県算額问题。正方形中有一大蓝圆，在正方形四角有４個半径各異的小橙色圆，每个小橙色圆与正方形的邻边及蓝圆都外切，求这４個橙色小圆的半径与正方形边长之间的关系。 問題７　1825年所挂的算額问题。利用和算圆理来解的几何問題。圆柱与球在一点内切地相交，求此时球内部的圆柱表面积。

23. 問題８相互外切的两红球，内切于大緑球，并且半径各異的小蓝球环链，环绕红球，项链状的蓝球同時外切于緑球和赤球。在这样的条件下，问蓝球数最多是多少？蓝球半径之间存在怎样的関係？問題８相互外切的两红球，内切于大緑球，并且半径各異的小蓝球环链，环绕红球，项链状的蓝球同時外切于緑球和赤球。在这样的条件下，问蓝球数最多是多少？蓝球半径之间存在怎样的関係？ 問題９　1798年的算额問題。用半径相等的30個小围着大球，小球与大球相切，同時，分别也与其他４個小球相切。问：此时大球半径与小球半径有怎样的関係？

24. 算额中的问题难度不等，有相当于初中年级的，有相当于高中年级的，还有很多问题相当于大学一、二年级学生做的数学问题。算额中的问题难度不等，有相当于初中年级的，有相当于高中年级的，还有很多问题相当于大学一、二年级学生做的数学问题。 算额中的几何问题，主要是利用天元术、点窜术的代数方法布列方程或方程组求解，也有需要“圆理”来求解的。中国的宋元时期的代数学于17世纪传播日本，和算家在其基础上发展成为“傍书法”与“点窜术”的文字代数方法，与Viete符号体系相比，和算傍书法除在关系符号上的欠缺外，代数作用是一样的。傍书法与点窜术的使用，促进了和算代数学进步，也使和算家的数学研究不再热中于数值计算，而注重形式化和技艺性的演算，同时，中国代数化的几何传统也被和算所继承，在艺能绘马流行的氛围中，自然形成了这类十分美观且关系复杂的几何学风格。人们常常称之为“和式几何”。 众所周知，西方古希腊欧几里得几何产生以来，一直到十九世纪非欧几何的诞生，欧式几何学并没有什么发展，连新定理的发现也比较少。而中国传统数学中的几何问题相对于代数问题，一直显得比较薄弱。相对于此，十八、十九世纪日本和算中几何显得十分发达，这些算额几何问题中包含大量的新定理，例如，悬挂于福井县鲭江市舟津神社的算额中的几何问题，本质是Descartes圆定理和Soddy六球定理。。现代日本数学史研究者在研究算额时经常发现，算额中很多问题西方数学家后来才发现的几何定理。 江户时代的和算家在解答算额问题时，使用的是传统方法，而且为了处理特别复杂的几何图形计算，还发明了如“变形术”、“极形术”、“算变法”之类的几何变换方法。对于没有学习过和算的今天的数学教师和学生来说，很难读懂和算家的解法。

25. 现代日本数学爱好者在解答算额问题时，基本采用现代的解析方法（特别是解析几何法），也有用现代数学语言和符号，再现和算家的解法过程。这方面的著述颇多，其中比较有影响的是爱知县春日井高等学校的数学教师深川英俊与美国加利福利亚大学数学教授Dan Sokolowsky共同撰著的《Japanese Temple Geometry Problems》（1989年在加拿大出版），该书又于1994年以书名《日本の数学---何題解けますか？（上、下）》（深川英俊，ダン・ソコロフスキー）在日本森北出版社出版。另外有長野県和算研究会编辑出版的英文著作《Japanese Temple Mathematical problems》。

26. 四、算额与地方和算史研究 和算属于民间性学术，数学研究与教育活动基本上是在民间私塾、寺庙中进行的，和算家一般都是下层武士或比较富裕的农民。和算家生平事迹鲜见史籍，和算著作也多以抄本流传，和算流派门禁之术不外泄陋习，使和算史并不清晰。于是地域和算史料调查显得十分重要。地方和算史料调查工作始于三上义夫，他在受聘学士院专事和算史料调查工作期间，走遍日本全国农村，追寻和算家后代子孙，调查各地和算家师承关系、藏书与活动等情况，并且调查广布各地神社寺庙的算额。]，其后，以日本数学史学会为中心开展算额调查活动，1964年出版了赤羽千鹤等人的《长野县の算额》，萩野公刚发掘整理出版了《乡土数学文献》，1966年松冈元久调查出版了《山形の算额》，此后，地方和算史研究与算额研究十分活跃，很多县都成立了地方和算史研究会（日本共有一都二府四十三县，而地方和算研究会就有十五个），开展地方和算史资料调查与研究，尤其是对算额的调查与研究，并且开展和算普及工作。 这些地方和算史研究会基本都是由中学数学教师组织的，主要有以下各研究会：

27. 全国和算研究会一覧表 名称 事務局通讯地址 联系人 愛媛和算研究会 愛媛県宇摩郡土居町藤原1-8 渡辺雅道 岡山県和算研究会 岡山市島田本町2-8-8 河本知徳 近畿数学史学会 滋賀県甲賀市水口町名坂1129-23 吉田柳二 近畿和算Seminar 奈良市東九条町1014-4 小寺　裕 長野県和算研究会 長野市松代町西条4065長野県松代高等学校内　 小林博隆 神奈川県和算研究会 藤沢市本鵠沼2-8-18 川瀬正臣 群馬県和算研究会 藤岡市岡之郷631-3 中村幸夫 山梨県郷土数学研究会 甲府市大手1-1-34 中山政三 日本数学史学会 奈良市東九条町1014-4 小寺　裕 和算研究所 東京都北区栄町48－23　東書文庫大楼１层 佐藤健一 福島県和算研究会 郡山市台新2-20-4 柴　昌明 岩手県和算研究会 一関市山目字大槻126-5 安富有恒 山形県和算研究会 山形市双月新町4-2 板垣貞英 関東甲信越静和算研究会 東京・神奈川・群馬・山梨・長野五県轮流每年召开一次 東北和算研究会 福島・岩手・山形三県轮流每年召开一次 南部和算研究会 岩手県盛岡市東松園3-25-8 柳本浩 日本全国和算研究会一覧

28. 日本数学会、日本数学史学会从其产生开始，就与中学教师都有很深的渊源。日本数学会的前身东京数学会社于明治10年成立，因为东京大学也还在建立中，所以会员大都是中学数学教师们，其中和算出身者占70%，洋算出身者占30%。等大学纷纷建立之后，才逐渐改变成大学数学教师的数学学术组织。日本数学史学会在下平和夫之后，也慢慢演变中学数学教师的学术组织，学会受出版商研成社、东京书籍的资助，中心工作主要是编辑出版学会杂志《数学史研究》，并经营“和算研究所”以收集整理和算资料。当然，学会也经常组织一些研讨会，做一些和算普及工作。学会运营机关目前在东京都港区庆应义塾中等部（中学）内。日本数学会、日本数学史学会从其产生开始，就与中学教师都有很深的渊源。日本数学会的前身东京数学会社于明治10年成立，因为东京大学也还在建立中，所以会员大都是中学数学教师们，其中和算出身者占70%，洋算出身者占30%。等大学纷纷建立之后，才逐渐改变成大学数学教师的数学学术组织。日本数学史学会在下平和夫之后，也慢慢演变中学数学教师的学术组织，学会受出版商研成社、东京书籍的资助，中心工作主要是编辑出版学会杂志《数学史研究》，并经营“和算研究所”以收集整理和算资料。当然，学会也经常组织一些研讨会，做一些和算普及工作。学会运营机关目前在东京都港区庆应义塾中等部（中学）内。 关于算额调查与地方和算史料调查活动，自赤羽千鹤、萩野公刚、松冈元久等人工作发表之后，这方面的成果一直非常丰富，不完全统计，有以下100余种： 地方和算史及算额研究文献目录 （1）嗚呼算仙ナルカナ，作州の和算家中村一族，芦田護，岸正儀，中村照夜編，美作出版社，昭和62 （2）上毛の和算，丸山清康，みやま文庫，昭和47 （3）沖縄の数学，須藤利一，富士短期大学出版部，昭和47 （4）郷土の数学者ものがたり，長野県の和算家，赤羽千鶴，暁教育図書，昭和28 （5）南部の算学，平山諦・長瀬義本編，昭和42 （6）福島県和算家碑文集，福島県和算研究保存会編，昭和49 （7）郷土数学，田中鉄吉編，池善書店，昭和12 （8）甲相駿遠三及び尾濃勢ノ和算家ニ就テ,林鶴一, TOHOKU MATH JOURNAL，昭和11

29. （9）静岡の数学１，－小笠・榛原を中心として－，楽しくわかる算数・数学の会，昭和57（9）静岡の数学１，－小笠・榛原を中心として－，楽しくわかる算数・数学の会，昭和57 （10）千葉雄七胤秀二男千葉織之進胤英の「一宮（塩釜神社）奉納算題」遺文，和算への招待（三），柳本浩編著，自費出版，1991 （11）算学の祖中田高寛先生，瀬川安信，中田高寛先生顕彰会，昭和29 （12）「和算の話（相模の和算）」，天野宏，小田原城内高等学校図書館紀要第6号抜き刷り，1983 （13）庶民の和算家と藩士の和算家，赤羽千鶴，科学史研究第34号，岩波書店，1955 （14）弘前藩の和算家について，第四代信政公時代，羽賀興七郎，科学史研究第31号，岩波書店，1954 （15）地方和算家の生活と活動，黒田孝郎，科学史研究第II期第27巻(No.166)，岩波書店，1988 （16）上毛の偉人，桐生市五小学校，昭和7 （17）加越能に於ける数学，田中鉄吉，第18回日本中等教育数学会総会準備委員会，昭和11 （18）会田安明翁事跡並山形県の和算家，大木善太郎，昭和8

30. （19）相馬中村藩と荒至重，熊耳敏，自費出版，1994（19）相馬中村藩と荒至重，熊耳敏，自費出版，1994 （20）山形の和算，「山形の和算」編集委員会，山形県和算研究会，平成8 （21）服部天神社の洋算算額と井村剛治先生の生涯，桑原秀夫，富士短期大学出版部，昭和42 （22）岐阜県下における和算家と浅野五藤治の思想について，高木重之，科学史研究第52号，岩波書店，1959 （23）越後の和算家の系統，道脇義正，科学史研究第・期第8巻No.91，岩波書店，1969 （24）和算家寺島宗伴,鬼無里が生んだ偉大な師匠,赤羽千鶴,鬼無里村教育委員会,平成4 （25）福島の天文．和算，平山諦，自費出版，昭和42 （26）宮城の和算，八巻寿亮，けやきの街，昭和60 （27）数学師佐久間庸軒先生略伝，田村教育部会，田村教育部会，昭和9 （28）姫路地方和算家系譜，山本一郎，1970 （29）新庄の和算，伊藤幸男，安嶋直円顕彰会，平成10 （30）福岡県の算学者と算額，全国珠算教育連盟，福岡県支部，初版昭和45，再平成元 （31）秋田郷土史資料第四集,久保田藩と塵却記,草武雄编,秋田市民郷土史懇話会,昭和56 （32）久留米郷土研究会誌第4号，久留米藩における洋算受容の系譜（深谷真三郎），久（33）留米郷土史研究会，昭和50 （34）算額研究史，上下，萩野公剛，富士短期大学出版部，昭和41

31. （35）改訂増補算額研究史，上下続(1)，萩野公剛，富士短期大学出版部，昭和41-43（35）改訂増補算額研究史，上下続(1)，萩野公剛，富士短期大学出版部，昭和41-43 （36）神壁算法の初版本，萩野公剛，富士短期大学出版部，昭和42 （37）奉納算額の形成過程について，－弘誓院華蔵山清水寺の算額を中心として－，道脇義正、大山誠、浜田敏男、小林龍彦、大竹茂雄、田中充、田中薫，科学史研究第II期第16巻(No.121)，岩波書店，1977 （38）智恩寺の絵馬（図録），京都府立丹後郷土資料館，1998 （39）樹林寺奉額算題，観山法道寺和十郎善，昭和45復刻 新長野県の算額，赤羽千鶴編，昭和60 （40）福島の算額，1-5，平山諦，法井八夫編(1-4)，福島県和算研究保存会編(5)，昭和42～54 （41）宮城の算額，続・南部・北部，平山諦・八巻寿亮編，昭和42～46 （42）山形の算額，正続，平山諦，松岡元久編，昭和41.43 （43）静岡の算額（付追遠発矇），平山諦編著，静岡県珠算協会，昭和63 （44）九州の算額，米光丁編著，自費出版，平成１ （45）新潟の算額・同解説，道脇義正・八田健二，昭和42 （46）岐阜県の算額の解説，高木重之，昭和61 （47）近畿の算額，近畿数学史学会編著，大阪教育図書，1992 （48）福島の算額，福島県和算研究保存会，蒼樹出版，平成1 （49）新福島の和算，福島県和算研究保存会，昭和57 （50）崇禅寺算額縁起とその解説，道脇義正，平成2 （51）筑前高見神社算額と和算史概説，本田益夫，濱田重工株式会社，1986 （52）一宮奉納算題，柳本浩，原本宮城県立図書館藏のコピー，1991 （53）盛岡八幡宮奉納算題（上の巻），柳本浩編著，自費出版，平成3

32. （54）八幡宮奉納額算題,六箇条術解,志賀吉倫訂,柳本浩編，盛岡市中央公民館蔵のコピー，1991（54）八幡宮奉納額算題,六箇条術解,志賀吉倫訂,柳本浩編，盛岡市中央公民館蔵のコピー，1991 （55）神奈川県算額集，天野宏，平成4 （56）野崎五郎作国郷の算額，天野宏，昭和62 （57）田辺浅左衛門清之の算額，天野宏，昭和62 （58）水田良温の算額，天野宏，平成3 （59）神奈川県の算額（二），天野宏，「相洋学窓」第7号抜き刷り，1989 （60）比々多神社算額について，天野宏，「相洋学窓」第6号抜き刷り，1988 （61）「神奈川県の算額」，天野宏，小田原城内高等学校図書館紀要第10号抜き刷り，1987 （62）「松原神社算額について」，天野宏，小田原城内高等学校図書館紀要第5号抜き刷り，1982 （63）奥州相馬妙見堂荒氏額題解，氏家義之，相馬和算研究保存会，昭和57 （64）野州芳賀郡東郷大崎権現社額題解，氏家義之，相馬和算研究保存会，昭和57 （65）畿内の算額，桑原秀夫，富士短期大学出版部，昭和42 （66）千葉県の算額，大野政治、三橋愛子著，平山諦監修，成田山史料館，昭和45 （67）福島県の算額一覧表，阿部信，福島県和算研究保存会，昭和45 （68）新町稲荷神社、諏訪神社の復元算額,大竹茂雄、大山誠,新町郷土史研究会,昭和53 （69）奈良弘仁寺算額について，桑原秀夫，日本数学史学会近畿支部，昭和47 （70）天橋の算額，桑原秀夫，昭和46 （71）越前の算額，桑原秀夫，日本数学史学会近畿支部，昭和51 （72）羽黒山奉納算題起原，後編下，抄本，文政6

33. （73）福岡県下に現存する算額について，岸川政道，科学史研究第42号，岩波書店，1957（73）福岡県下に現存する算額について，岸川政道，科学史研究第42号，岩波書店，1957 （74）和算における一問題の解について，道脇義正、浜田敏男、大山誠，科学史研究第・（75）期第12巻No.108，岩波書店，1973 （76）京都祇園八坂神社の算額，桑原秀夫，昭和41 （77）塩釜神社算額の現代的解説，八巻寿亮，塩釜神社博物館，平成3 （78）愛媛の算額，浅山秀博,武田三千雄，自費出版，昭和57 （79）例題で知る日本の数学と算額，深川英俊，森北出版，1998 （80）算額級聚抜，江戸初期和算撰書第5巻，藤田吉膀，研成社，1997 （81）茨城の算額，松崎利雄，筑波書林，1997 （82）絵馬，岩井宏実，法政大学出版局。初1974,1995 （83）佐渡の算額，金子勉，昭和54 （84）福島県の算額一覧表，福島県和算研究保存会，非売品，昭和45 （85）算額の分布についての統計的考察，松岡元久，日本数学史学会発表論文，昭和54 （86）山形大学佐久間文庫に見られる算額関係資料の統計的分析，松岡元久，日本数学史学会発表論文，昭和54 （87）八幡神社の算額と解説，付録．小村松庵著「漢術和変」，中村信弥，教育書館，平成11 （88）続，江戸時代の算額，「絵本工夫之編」と算額，中村信弥等，教育書館，平成10 （89）増補長野県の算額，赤羽千鶴等，教育書館，平成10

34. （90）岡山県の算額，山川芳一，自費出版，1997（90）岡山県の算額，山川芳一，自費出版，1997 （91）久麻加夫都阿良加志比古神社の算額聞書，吉住雅佳，自費出版，平成11 （92）松巌寺奉納算題の現代数学解法，中村信弥，小林博隆，教育書館，平成11 （93）伊澤八幡宮神壁解，付録上伊澤八幡宮神壁解，和算への招待（6），柳本浩，自家版，1999 （94）松巌寺縁起，算額，松巌寺，平成3 （95）岩木の絵馬，岩木町教育委員会，平成1 （96）八戸の総馬，算額，八戸市博物館，昭和62 （97）船引町の和算，船引町教育委員会編，船引町教育委員会，昭和49 （98）絵馬算額への招待，長野県現存算額集大成全1巻，中村信弥等,教育書館，平成11 （99）兵庫の算額，山本一郎，非売品，昭和42 （100）金ヶ崎算額，平山諦，ガリ版，昭和38 （101）埼玉の算額，埼玉県立図書館，昭和44 （102）長崎県の算額集，米光丁，自家版，平成6 （103）九州･四国の現存算額探訪必携，米光丁，自家版，平成2 （104）栃木の算額，松崎利雄，筑波書林，2000 （105）算額道場，佐藤健一著, 研成社，2002 （106）日本の数学---何題解けますか？上、下，深川英俊，ダン・ソコロフスキー，森北出版，1994

35. 现在日本的地方和算研究会、日本数学史学会以及和算研究所的工作，除上述和算史调查活动外，还经常举办一些数学史料展示会、研讨班、和算读书会等，开展和算史的普及工作。这些活动的组织者与参与者，主要数学中学在职教师或退休的中学教师，也有部分退休的大学数学教师，他们都是自费参与这些学术活动的。现在日本的地方和算研究会、日本数学史学会以及和算研究所的工作，除上述和算史调查活动外，还经常举办一些数学史料展示会、研讨班、和算读书会等，开展和算史的普及工作。这些活动的组织者与参与者，主要数学中学在职教师或退休的中学教师，也有部分退休的大学数学教师，他们都是自费参与这些学术活动的。

36. 五、算额与日本中学数学教育 日本各地的中学教师在对本地算额调查研究的同时，也注意在中学数学教学中充分利用这些历史材料，发挥它们的教育价值。这是基于对数学教育中采用数学史的意义和作用，有以下几方面的认识： （1）学生对数学史事实的关心，会对所学习的内容有更深的理解。 （2）学生了解数学史上的事实，提高学生一般性的文化修养，更深地理解数学在現代社会中的作用。 （3）学生学习数学史，从而了解数学是如何发展的，这样有助于对人类历史发展形成科学的认识。 在这样的认识指导下，一些中学数学教师在数学教学中有计划地组织学生到当地的神社、寺庙中探询遗存的算额，并进行解读。同时也指导学生自己制作新的算额奉纳于神社、寺庙中。认为这样的探询、制作算额的实践回答，对于基础教育又有以下特殊的作用： （1）在通常的学习中，问题都是教师布置给学生，学生对问题进行求解。这样的造成的结果必然使学生养成被动接受问题的习惯，从而缺乏自己发现问题、提出问题的意识和能力。所以通过学生自己制作算额，可以培养学生自己发现问题、提出问题的意识和能力。 （2）问题设制是学生将自己发现的一些数学性质和关系通过分析、再加以组织的过程，它将要求学生掌握许多数学知识和思考方法，这对于知识与思考方法的整合非常有用。同时，通过问题的设制，可以培养学生具有关心事物、主动地处理它们的意欲和态度。

37. （3）这是一项数学活动，通过这一形式来进行数学史的学习，学会如何构造数学问题；同时有助于对学生进行数学思维方法的培养，学会自己做数学，并且学会自己去感悟和欣赏数学。（3）这是一项数学活动，通过这一形式来进行数学史的学习，学会如何构造数学问题；同时有助于对学生进行数学思维方法的培养，学会自己做数学，并且学会自己去感悟和欣赏数学。 （4）从综合学习的观点上说，制作算额，除数学学习与实践活动外，还有助于其他学科的学习： ①语文---学习古文，认识一些古文字； ②手工技术的学习---学习一些简单的木工技术，获得一些手工制作的技能； ③美术学习---掌握一些绘画技能和色彩、颜料方面的知识，书法方面也得到练习。 ④社会---了解日本江户时代的历史文化，特别是了解当地的乡土历史文化。而且实地去神社、寺庙奉纳算额也是社会实践活动。

38. 数学（数学活动）、数学史学习、构造数学问题数学（数学活动）、数学史学习、构造数学问题 数学思维方法的培养、自己做数学、感悟欣赏数学 社会实践活动 实地奉纳 美术 图画与色彩 社会 历史 当时的文化 技术 木工 算额制作 国语 古典文献的阅读 古文字的识别

39. 兵庫県美方郡村岡町立村岡中学校学生制作算额的数学活动

40. 六、余论 算额作为一种特殊艺能的绘马，在江户町人文化与和算发达的背景下流行起来。大量算额的出现，以及从奉纳算额者的身份来看，表明日本江户时代的一般民众对数学学习和研究的浓厚兴趣，这些民众不仅包括闲逸阶层的低级武士，还包括普通的农民和商人，由此可见，江户时代日本的数学普及率非常之高。数学传播的场所、途径是多方面的，主要有寺子屋、私塾性的数学道场或地方藩属的数学道场，再就是算额了。 算额作为日本江户时代的民族历史文化遗产，得到了很好的保护，使日本传统数学史料更为丰富。和算发达史不足300年，但现在馆藏和算史料十分丰富，仅和算资料最为集中的东北大学图书馆与学士院图书馆就收藏了几万余册和算书籍，前者收藏达30000册，后者也达25000册。这些和算资料是在政府的鼓励下，从民间调查收集或由民间自发寄赠的，除二战即将结束的短暂期间外，日本一直没有间断对和算资料调查收集。在和算史料的调查与收集过程中，地方和算研究会以及中学数学教师也发挥了重要作用。相对日本来说，中国传统数学发达史有两千五百余年，但现在保存下来的中算书籍仅有3000余种。造成这一结果除清末以来中国一直处于战乱或政治动乱外，恐怕还与国民对保护文化遗产的意识比较淡漠有关。 今天日本以地方和算研究会为中心的数学史普及活动，以及将数学教育与数学史紧密结合的一系列工作，使传统的数学文化在今天的教育发挥积极作用。他们把和算及算额作为乡土文化和不同于现代数学的另类数学文化加以介绍，而不是仅仅当做爱国主义教育的材料.这样有助于学生对数学文化多样性的理解和认识。 日本这些经验，值得中国数学史界、数学教育界借鉴。

41. 谢谢！