§4 泰勒公式与极值问题

1. §4 泰勒公式与极值问题 一、高阶偏导数 二、中值定理和泰勒公式

2. 一、高阶偏导数 纯偏导 混合偏导 定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.

3. 解

4. 观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系： 偏导函数图形 原函数图形 偏导函数图形 二阶混合偏导函数图形

5. 解

6. 问题： 混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？

7. 解

8. 二  中值定理和泰勒公式 .

9. Taylor公式

10. 二、多元函数的极值和最值 1、二元函数极值的定义

11. (1) (2) (3) 例1 例２ 例３

12. 2、多元函数取得极值的条件 证

14. 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点， 均称为函数的驻点. 注意： 驻点 偏导数存在的极值点 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？

17. 的极值。 例3 求函数 解 求解方程组： 得驻点 因此，驻点

18. 因此，驻点 因此，驻点

19. 与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外， 偏导数不存在的点也可能是极值点。 例如，显然函数 不存在。

20. 3、多元函数的最值 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值 来求函数的最大值和最小值. 求最值的一般方法： 将函数在D 内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中 最大者即为最大值，最小者即为最小值.

21. 解 令

22. 无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外， 并无其他条件.

23. 问题的实质：求 在条件 下的极值点． 2 条件极值拉格朗日乘数法 实例：小王有200 元钱，他决定用来购买两种急 需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购 买 x 张磁盘，y 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为U(x, y) = lnx+lny．设每张磁 盘8 元，每盒磁带10 元，问他如何分配这 200 元以达到最佳效果．

24. 条件极值：对自变量有附加条件的极值．

25. 求解方程组 解出 x, y, z, t即得 可能极值点的坐标.

26. 下， 例5 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积. 解 设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V . 则问题就是条件 求函数 的最大值. 令 则

27. 令 则 即 由(2), (1)及(3), (2)得

28. 由(2), (1)及(3), (2)得 于是， 代入条件，得 解得 这是唯一可能的极值点。 因为由问题本身可知， 最大值一定存在， 所以， 最大值就在此点处取得。 故，最大值

29. 解 则 由 (1)，(2) 得 由 (1)，(3) 得

30. 将 (5)，(6) 代入 (4)： 于是，得 这是唯一可能的极值点。 因为由问题本身可知，最大值一定存在， 所以， 最大值就在这个可能的极值点处取得。 故，最大值

31. 解 则

33. 解

36. 可得 即

37. 小结 纯偏导 高阶偏导数 （相等的条件） 混合偏导 中值定理和泰勒公式 多元函数的极值 （取得极值的必要条件、充分条件） 多元函数的最值 拉格朗日乘数法