8.2 　网络最大流

8.2　网络最大流 • 运输网络问题是很大一类网络问题，通过介绍有些运输网络问题，可以使我们建立起一些处理网络问题的基本概念和方法。 • 这里涉及的运输网络问题只是考虑简单情况。

一、运输网络 • 1.运输网络的定义 • 定义 8.7：一个带权有向图G=(V,E)若满足如下条件： • (1)G是连通无自环的； • (2)每条弧(i,j)的权cij为非负整数，称为弧的容量，cij全体所构成的集合记为C； • (3)存在2个不同的顶点s和t。 • 则称该有向图为运输网络, 简称网络，记为N(V,E,C)。称s为发点, t为收点, 除s和t以外其它顶点称为中间点。C称为容量函数。

2.运输网络N中的流 • 定义 8.8：在网络N(V,E,C)的弧集E上定义了一个非负整值函数f={fij}, 称f为网络N上的流, fij称为弧(i,j)上的流量。若无弧(i,j), 则fij定义为0。设流f满足下列条件: • (1)容量限制条件：对每一条弧(i,j), 有fij≤cij。 • (2)平衡条件：除s和t外的每个中间点k, 有 • 即流出和等于流入和。 • 对于s和t有 • 则称f为网络N的一个可行流, Vf为流f的值, 或称f的流量。 • 若N中无可行流f', 使Vf'>Vf, 则称f为最大流。

定义 8.9：若fij=cij, 则称弧(i,j)是饱和的; 若fij<cij, 则称弧(i,j)是未饱和的。若fij=0, 则称弧(i,j)是f-0的; 若fij>0, 则称弧(i,j)是f-正的. • 现在的关键是如何求最大流的值。

二、最大流最小割定理 • 引理：对于给定的网络N=(V,E,C), 若可行流f和割(P,V-P), 成立Vf=C(P,V-P)，则Vfmax=Vf，Cmin(P,V-P)=C(P,V-P)。 • 因此求最大流的一个想法就是构造流和割，使得流量和割容量相等。

福特,富克逊(Frod,Falkerson)于1956 年给出的最大流最小割定理 • 基本思想： • 1）对任意网络构造初始流。 • 零流,或其他可行流。 • 2）在初始流基础上寻找可增加流的路，这样的路称为增广路。并在寻找增广路的同时，计算在该路上可增加多少流。 • 3）若找到了从s到t的可增加流的路，则修改流，得到新的可行流。然后转回2）

(1)怎样找增广路 • (2)如果找不到这样的增广路，是否此时的流就是最大流？

1.寻找增广路的方法 • 设u为s到t的路（不考虑弧的方向） • (1)先考察该路上与路方向一致的弧(称为向前弧)。 • 若路上所有弧均为向前弧，且每条弧的流量<相应弧的容量，则可增加流的路。 • 对于向前弧(i,j)，fij是否<cij。 • 可增加流的通路，采用标号法。

1)对源点s标号(-) • 2)设点i已经标号，j点没有标，对于向前弧(i,j)，若fij<cij，则点j标号i+；若fij=cij，则点j不标号。 • 3)若收点t最后被标号，如t点被标号c+，则找到了从s到t的增广路。 • 还需要知道这条路可增加多少流量，以便修改流。

1)对源点s标号(-),令Δs=+∞。 • 2)设点i已经标号，增量为Δi，j点没有标，对于向前弧(i,j)，若fij<cij，则点j标号i+， • Δj=min{Δi，cij- fij} • 若fij=cij，则点j不标号。 • 3)若收点t最后被标号，如t点被标号c+，Δt=min{Δc，cct- fct}，这就找到了从s到t的增广路，可增加的流量是Δt。 • 修改流时，为满足平衡条件，对该路上所有弧流量+Δt。

如果在这路上的向前弧(s,b)，(c,t)都已经饱和，则显然该路不可能是增广路。如果在这路上的向前弧(s,b)，(c,t)都已经饱和，则显然该路不可能是增广路。如果(s,b)，(c,t)没有饱和，且在前面的的标号过程中，b点已经标号，s+，Δb. 是否有增广路，取决于向后弧(c,b)的流fcb， • 若按此方法找不到增广路，是否就结束？ • 否 • 还可采用下面的方法 • (2)如果u中部分弧的方向与路的方向相反(称这样的弧为向后弧)。 • 如下图所示。如果b点已经标号，(s+,Δb)，且fcb>0，则c点标号(b-,Δc)，这里Δc=min{Δb, fcb}。 s到t的路s,b,c,t，这里弧(c,b)与路的方向相反。按前面的方法无法解决，对于这类情况需要新的方法

0)对任意网络构造初始流。 • 1)对源点s标号(-，+∞)。 • 2)设点i已经标号，增量为Δi，j点没有标， • i)对于向前弧(i,j)，若fij<cij，则点j标号(i+,Δj)， • 这里Δj= min{Δi，cij- fij} • 若fij=cij，则点j不标号。 • ii)对于向后弧(i,j)，若fji>0，则j点标号(i-,Δj)， • 这里Δj=min{Δi, fji}。 • 若fij=0，则点j不标号。 • (3)重复第2步，直到 • i)若收点t最后被标号(x+,Δt)，这就找到了从s到t的增广路，可增加的流量是Δt。 • 修改流时，对该路上所有向前弧流量+Δt，向后弧上的流量减少Δt，并以此结果作为新的流，转向1)。 • ii)若不再有新的顶点被标号，且t仍没有被标号，则说明网络中的流为最大流

定理：用上述标号法在算法停止时得到的一定是最大流。定理：用上述标号法在算法停止时得到的一定是最大流。 • 证明：算法停止时,已经标号的点构成集合P，没有标号的构成V-P，则(P,V-P)构成割。然后证明网络中的流的值就等于该割的容量。 • 关于算法有2点要说明： • 1)在某点有多种标号选择时，可任意选择1种进行标号。 • 2)初始流不一定是零流，只要是可行流即可。

8.3图与二分图的匹配 定义:若G中每一个顶点是关于M 饱和的, 则称M为G的完美匹配。一个图不一定存在完美匹配 • 一、匹配的概念 • 定义 8.11：在图 G=(V,E)中, M是边集E的子集,并且M中没有两条边相邻, 称M是G的一个匹配。定义:若M中的一边关联于顶点v, 则称v为关于M饱和的。 M中的边的两端点称为在M下配对。

图可能有许多不同的最大匹配。 完美匹配必是最大匹配, 反之不一定。如果G有完美匹配,则它的任一最大匹配是否一定为完美匹配? • 完美匹配不一定唯一. • 定理:无自环的图G,若它有完美匹配,则|V(G)|为偶数. • 定义：若G中不存在匹配M',使|M'|>|M|, 则称M为G的最大匹配。

二、匹配的基本定理 • 首先引进2个定义。 • 定义 8.12：设M是G的一个匹配, (1)若在G中有一条路,它的边在E-M和M中交错地出现, 则称该路为关于M的交错路。 (2)若关于M的交错路的起点和终点不是关于M饱和的, 则称该路为关于M的增广路。

定理：关于M的增广路中属于E-M的边数比属于M的边数多 1。 • 定理 8.8：在图G中,M是最大匹配当且仅当G中不包含关于 M的增广路。 • 证明：用反证法。假设G中存在关于 M的增广路p, • 构造M’=Mp • 证明（1）M’是匹配 (2)|M’|=|M|+1 • 假设M不是最大匹配, 则存在匹配 M',使|M'|>|M|。设由 MM’导出的图G(MM’)记为H, 它的每个分支或者是交错路, 或者是交错回路。由此证明H中存在关于M的增广路

作业:P188 • 12,14,15,16

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