CSTR, Plug Flow, Dispersive Flow Reactor 모형의 원리에 대하여 설명하라

CSTR, Plug Flow, Dispersive Flow Reactor 모형의 원리에 대하여 설명하라

CSTR • 이상적인 완전 혼합 시스템은 그림 2.9에 예제와 같은 호수를 이용하여 설명 • 모형에 포함된 주 가정은 호수에서 화학물의 농도는 일정하고(완전혼합) 배출구의 농도는 C이며, 이 농도는 호수 내의 어느 곳에서도 같고 물질수지는 다음과 같음 그림 2.9 유입 및 유출 응답을 가진 완전 혼합 호수의 체계

CSTR • 호수내 질량 변화=유입 질량-유출 질량±호수내 질량 반응 • 이것은 수학적으로 다음과 같이 표현됨 • 여기서 = 유입류의 화학물 농도, ML-3 • = 호수와 유출류의 화학물 농도, ML-3 • = 유입유량, L3T-1 • = 유출유량, L3T-1 • = 호수의 체적, L3 • = 반응율, ML-3L-1; 양성(+)과 음성(-)은 • 각각 형성반응과 감소반응을 지칭한다. • = 시간, T

CSTR • 가 0로 수렴할 때의 상미분 방정식은 아래와 같음 (62) • 호수의 체적 , 유량 및 , 그리고 유입농도 는 시간에 따라 변하는 변수가 될 수 있으며 완전혼합 가정에 덧붙여, 방정식을 더욱 단순화하기 위하여 가정들을 만들 수 있을 것임

CSTR • 유입농도 는 일정하다. • 호수의 유입 유출 유량은 일정하고(( )=( )=( )=상수), 호수의 체적도 일정 ( ) • 호수내에서 일어나는 농도 C의 변화율은 1차반응에 의해 지배되며(( )음성(-)기호는 감소반응을 표시함)

CSTR • 이 모든 가정들을 종합하면 식 (62)는 다음과 같이 쓰여질 수 있음 (63) • 식 (63)는 완전 혼합계에 대한 일반적인 1차 감소반응 방정식

CSTR • 예를 들면, 화학물의 배출이 비교적 짧은 기간동안 일어났다면, 호수내 화학물 누출에 의한 변화는 충격(또는 델타) 함수를 이용하여 수식화될 수 있을 것임 • 충격 유입에서와 같이 보존성 추적자가 순간적으로 주입되는 단순한 경우, 식(63)은 다음과 같이 줄어듬

CSTR (64) • V로 나누면 (65) • 여기서, ( )= 평균 수리학적 체류 시간( ).( ) 에서 초기조건( )으로 식(65)는 다음과 같이 적분될 수 있음

CSTR (66) • 시간간격 0에서 t까지 방정식(66)을 적분하면 다음과 같다. (67) • 식 (67)은 보존성 추적자의 충격 유입에 대한 해석해(정확해)임

CSTR • 반응성 화학물이 호수로 누출된 경우, 식(63)은 다음과 같이 줄어들 수 있음 (68) • 위 식은 유사하게 풀릴 수 있음 (69) • 식(69)는 반응성 물질의 충격 유입의 해석해이며 반응성 및 비반응성 화학물의 충격 유입에 대한 반응의 도시적 그림을 그림 2.9에 나타냄

CSTR • 도시 또는 산업시설에서 호수로의 폐수 방류 같은 연속 부하에 대한 변화 역시 식(63)에 의해 표현. 이 식은 다음과 같이 다시 기술됨 (70)

CSTR • 식 (70)은 1차 선형 비제차 미분 방정식의 형태 • 정상상태 농도만을 원한다면, 농도의 변화가 0( )라는 것을 기술하면서 식(70)의 해를 구할 수 있으며 식 (70)의 정상상태 해는 다음과 같음 (71)

CSTR • 시간에 대한 농도의 변화를 보고자 한다면, 일반적인 형태를 가지는 1차 선형 미분 방정식 식 (70)의 비정상상태 해를 얻을 수 있음 (72) 일반해로서 (73)

CSTR • 여기서, • 이 해법은 적분계수법의 형태이며 식 (70)의 해는 적분식으로 얻어질 수 있음 (74) • 0에서 t 까지 이식을 적분하면 다음과 같음 (75)

CSTR • 이 해는 두 가지 농도변화로 구성되어 있다는 것을 주목하고, 우변의 첫째 항은 초기농도의 감소를 나타내고, 둘째 항은 연속적인 유입에 기인한 농도의 증가를 나타냄 • t가 무한대로 접근할 때, 식 (75)는 정상상태 방정식인 식(71)로 정리 • 다수의 호수가 연속적으로 존재한다면, 이러한 수체는 총괄적으로 분석될 수 있고 그림 2.10은 n개의 같은 부피의 완전혼합 호수들로 구성된 일련의 호수를 나타냄 Figure 2.10 연속된 완전 혼합 호수 및 반응 감소에 의한 유출 반응의 구조도

CSTR • 단일 호수에 대해서 했던 것처럼, 해석 방법은 연속된 각각의 호수 주의의 물질수지에 기초하며 시간에 따라 변하는 해를 유도하기 이전에, 정상상태 해를 유도 • 첫 번째 호수에 대한 물질수지는 다음과 같이 주어짐

CSTR • 해는 (76) • 두 번째 호수의 경우 • 풀이하면 (77)

CSTR • 식(76)을 식(77)에 대입하면 다음의 식이 산출된다. (78) • 여기서 은 각각의 단일 호수의 체류시간이고, 전체 체류시간은 아님

CSTR • n번째 호수에 대한 물질수지는 • 풀이하면 (79) • 여기서 n은 문제의 호수의 번호이고 n-1은 상류 호수를 가리키며 n번째 호수에 대한 해석해는 다음과 같음 (80)

CSTR • 보존성 물질의 충격 유입에 대한 시간 변동 해를 구할 수 있다. 첫 번째 호수에 대한 물질수지는 다음과 같이 주어진다. (81) • 식 (81)을 시간 t=0일 때 초기조건 ( )으로 시간간격 0에서 t까지에 적분하면 다음과 같은 식이 산출 (82)

CSTR • 두번째 호수에 대한 물질수지는 다음과 같다. (83) • 식 (82)를 식 (83)에 대입하여 정리하면 다음과 같은 식이 산출된다 (84)

CSTR • 식 (84)를 적분계수법을 이용하여 풀면 (85) • 3번째 호수에 대해 물질 수지는 다음과 같은 식이 산출 (86) • 식 (85)를 식 (86)에 대입하여 적분계수를 이용하여 풀면 다음과 같은 식이 산출 (87)

CSTR • 따라서 보존성 추적자의 충격입력을 받는 일련의 호수에서 n번 호수에 대한 일반식은 다음과 같이 주어짐 (88) • 여기서, 는 단일 호수의 체류시간 • 그림 2.11에 나타난 바와 같이 호수나 반응조가 n개의 구획으로 구분되는 경우에, 비반응성 화학물의 충격유입에 대한 유출반응은 다음과 같을 것임

CSTR (89) • 여기서, 는 전체 반응조의 체류시간( )을 나타내고, 는 충격입력이 전체 반응조로 전달될 때 초기농도( )임 • 구획수와 관련된 유출반응을 그림 2.11에 기술하였고 구획수가 많아질수록, 플러그 유동 조건으로 가려는 경향이 커짐 Figure 2.11 구획된 호수와 보존성물질의 충격유입에 대한 유출반응

CSTR • 식 (89)는 이상적인 플러그 유동 모형과 이상적 완전혼합모형의 중간상태에서의 유출반응을 제공하기 때문에 유력(그림 2.11에서 ( )and( ) ) • 플러그 유동과 확산이 있는 호수와 저수지의 경우, 식 (89)는 가정된 구획수(n)에 대하여 추적자의 충격주입의 최적조건을 얻는데 이용될 수 있으며, 따라서 다른 오염물의 모델링에 대한 시스템의 혼합특성을 얻을 수 있음

플러그 유동 시스템 • 이상적인 플러그 유동 시스템을 그림 2.12에 예제로서 강을 사용하여 나타내었으며 본 모형에 포함된 주 가정은 물의 대부분은 종방향 혼합이 없이 하류로 흐르고(플러그처럼), 측면과 수직방향에서는 순간적인 혼합이 일어난다는 것인대 이것은 일차원 모형임 • 물질수지는 증가 체적 V를 중심으로 다음과 같이 주어짐

플러그 유동 시스템 (90) • 여기서, • = 단면적, • = 하천의 유한 증가 두께, • = 시간간격, • = 1차 감소율,

플러그 유동 시스템 Figure 2.12 유입과 반응의 변화도에 대한 플러그 유동 시스템의 체계도

플러그 유동 시스템 • 식 (90)을 V로 나누어 단순화하면 다음과 같다. (91) • ( )일 때, 식 (91)의 극한값은 (92) • 여기서,( ) = 평균유속임, 이것은 플러그 유동 시스템에 대한 일반식

플러그 유동 시스템 • 정상상태에서( ), 식 (92)는 다음과 같이 정리됨 (93) • ( )에서 ( )인 경계조건으로, 식(93)을 변수분리법으로 적분하면 다음과 같은 식이 산출된다. (94) • 이것이 플러그 유동 방정식의 정상상태 해

Dispersive Flow Reactor • 하구의 예를 이용하여 이상적인 플러그 유동 시스템을 그림 2.13에 나타내고 플러그 유동 모형에서 기술했던 것처럼, 물질수지는 유한 체적이 아닌 기본적 검사 체적에 대해서 기술되었음 Figure 2.13 이류 확산 시스템의 체계도 및 반응성 화학물의 유입 및 정상상태 변화도.

Dispersive Flow Reactor • 축 적=이류 이동유입+확산 이동유입-이 류 이동유출-확산 이동유출±반응 • 무한한 시간 간격에 대한 물질수지는 다음과 같이 미분체적 에 대해 다시 기술될 수 있음 (95)

Dispersive Flow Reactor • 여기서, = 확산 계수, k = 일차 반응 계수, • 식 (95)을 간단히 정리하면 (96) • 로 나누면,

Dispersive Flow Reactor • 또는 (97) • 식 (97)은 일정한 계수( Q, Z, E 및 k)를 사용한 이류확산 시스템에 대한 시간 변동 방정식임 • 하구 시스템에 대한 정상상태의 방정식은 식 (97)의 좌변을 0으로 놓으면( ) 얻을 수 있다. (98)

Dispersive Flow Reactor • 식 (98)은 2차 선형제차상 미분방정식이고 일반형은 다음과 같음 • 여기서, ( )이고, 해의 일반적 형태는 다음과 같이 주어짐

Dispersive Flow Reactor • 여기서, • 2차 계수방정식의 근은 ( )와 ( )를 나타냄 • 그리고 ( )와 ( )는 경계조건으로부터 얻어지는 적분상수이고 식 (98)의 해는 다음과 같이 얻어짐 (99)

Dispersive Flow Reactor • 여기서 • 식 (99)을 풀기 위해서는 경계조건이 사용되어야 하며 경계조건을 정하기 위해서, 문제의 하구 시스템을 화학물 방류지점의 상류와 하류 구획으로 나눌 수 있음(그림 2.13)

Dispersive Flow Reactor • 상류 구획에서, 다음과 같은 두 가지 경계조건을 정할 수 있다(BC 1 및 BC 2) • BC 1: 방류지점의 상류 구획에서, 농도는 0으로 접근한다. 즉, ( )에서 ( )이며 이 조건하에서 다음과 같은 식을 구할수 있음 • And (100)

Dispersive Flow Reactor • BC 2: 방류지점의 농도는 ( ), 즉, ( )에서 ( )이고 이 조건하에서 다음과 같은 식을 구함 • 따라서 상류 구획의 농도는 다음과 같이 주어짐 (101)

Dispersive Flow Reactor • 하류 구획에서, 2개의 추가적인 경계조건을 정할 수 있음 • BC 1: 방류지점 하류에서의 농도는 0에 접근한다. 즉, ( )일 때 ( ). 이 조건하에서 다음과 같은 식을 구할 수 있음 • and (102)

Dispersive Flow Reactor • BC 2: 방류지점에서 농도는 즉, ( )이고 이 조건으로 다음과 같은 식을 구할 수 있음 • 따라서 하류구획의 농도는 다음과 같이 주어짐 (103)

Dispersive Flow Reactor • 방류지점에서 경계농도( )는 일 때 물질수지를 세워 구할 수 있다(그림 2.13) • 질량유입 = 질량유출 (104) • 각 극소하게 작기 때문에 반응은 무시할 수 있다. 식 (100)으로부터 (105)

Dispersive Flow Reactor • 식 (102)으로부터, (106) • 식 (105) 및 식 (101)을 식(104)에 대입하면 다음과 같은 식이 산출 • 이므로, 다음을 구할 수 있다. (107)

Dispersive Flow Reactor • 식 (99)의 g•j을 식 (107)에 대입하여 간단히 정리하면 (108) • 최종적인 해는 다음과 같이 요약된다 • at • at

CSTR, Plug Flow, Dispersive Flow Reactor 모형의 원리에 대하여 설명하라