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第 三 章 概率分布

第 三 章 概率分布. 3.1 离散型概率分布 3.2 连续型概率分布. 3. 1 离散型概率分布. 3.1.1 随机变量 3.1.2 离散型随机变量的概率分布 3.1.3 离散型随机变量的数学期望和方差 3.1.4 几种常用的离散型概率分布. 随机变量 (random variables). 一次试验的结果的数值性描述 一般 用 X ， Y ， Z 来表示 例如： 投掷两枚硬币出现正面的数量 根据取值情况的不同分为离散型随机变量和连续型随机变量. 离散型随机变量 (discrete random variables).

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第 三 章 概率分布

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Presentation Transcript

  1. 第 三 章 概率分布 • 3.1离散型概率分布 • 3.2连续型概率分布

  2. 3.1离散型概率分布 3.1.1 随机变量 3.1.2 离散型随机变量的概率分布 3.1.3 离散型随机变量的数学期望和方差 3.1.4 几种常用的离散型概率分布

  3. 随机变量(random variables) • 一次试验的结果的数值性描述 • 一般用 X，Y，Z 来表示 • 例如： 投掷两枚硬币出现正面的数量 • 根据取值情况的不同分为离散型随机变量和连续型随机变量

  4. 离散型随机变量(discrete random variables) • 随机变量 X取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来 x1 , x2，… • 以确定的概率取这些不同的值 • 离散型随机变量的一些例子

  5. 连续型随机变量(continuous random variables) • 可以取一个或多个区间中任何值 • 所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任意点 • 连续型随机变量的一些例子

  6. 离散型随机变量的概率分布 • 列出离散型随机变量X的所有可能取值 • 列出随机变量取这些值的概率 • 通常用下面的表格来表示 • P(X =xi)=pi称为离散型随机变量的概率函数 • pi0 ；

  7. 离散型随机变量的概率分布(例题分析) 【例】投掷一颗骰子后出现的点数是一个离散型随机变量。写出掷一枚骰子出现点数的概率分布 概率分布

  8. 离散型随机变量的概率分布(例题分析) 【例】一部电梯在一周内发生故障的次数X及相应的概率如下表 一部电梯一周发生故障的次数及概率分布 (1) 确定的值 (2) 求正好发生两次故障的概率 (3) 求故障次数不超过2次的概率 (4) 至少发生两次故障的概率

  9. 离散型随机变量的概率分布(例题分析) 解：(1) 由于0.10+0.25+0.35+ =1 所以，=0.30 (2) P(X=2)=0.35 (3) P(X 2)=0.10+0.25+0.35=0.70 (4) P(X2)=0.35+0.30=0.65

  10. 离散型随机变量的数学期望(expected value) • 离散型随机变量X的所有可能取值xi与其取相对应的概率pi乘积之和 • 描述离散型随机变量取值的集中程度 • 记为 或E(X) • 计算公式为

  11. 离散型随机变量的方差(variance) • 随机变量X的每一个取值与期望值的离差平方和的数学期望，记为 2或D(X) • 描述离散型随机变量取值的分散程度 • 计算公式为 • 方差的平方根称为标准差，记为 或D(X)

  12. 离散型数学期望和方差(例题分析) 【例】一家电脑配件供应商声称，他所提供的配件100个中拥有次品的个数及概率如下表 每100个配件中的次品数及概率分布 求该供应商次品数的数学期望和标准差

  13. 常用离散型概率分布

  14. 两点分布 • 一个离散型随机变量X只取0和1两个可能的值 • 它们的概率分布为 或 也称0-1分布

  15. P(x) 1 0.5 0 1 x 两点分布(例题分析) 【例】已知一批产品的次品率为p＝0.05，合格率为q=1-p=1-0.05=0.95。并指定废品用1表示，合格品用0表示。则任取一件为废品或合格品这一离散型随机变量，其概率分布为

  16. 二项分布 • 二项分布与伯努利试验有关 • 二项分布满足下列条件 • 一次试验只有两个可能结果，即“成功”和“失败” • “成功”是指我们感兴趣的某种特征 • 一次试验“成功”的概率为p ，失败的概率为q =1- p，且概率p对每次试验都是相同的 • 试验是相互独立的，并可以重复进行n次 • 在n次试验中，“成功”的次数对应一个离散型随机变量X

  17. 二项分布(Binomial distribution) • 重复进行n次试验，出现“成功”的次数的概率分布称为二项分布，记为X~B(n，p) • 设X为 n 次重复试验中出现成功的次数，X 取 x的概率为

  18. 二项分布 • 对于P(X=x) 0， x =1,2,…,n，有 • 同样有 • 当n = 1 时，二项分布化简为

  19. n = 5 p = 0.1 P(X) 0.6 0.4 0.2 X 0 1 2 3 4 5 n = 5 p = 0.5 P(X) 0.6 0.4 0.2 0.0 X 0 1 2 3 4 5 二项分布(数学期望和方差) 1、数学期望 =E(X) = np 2、 方差 •  2=D(X) = npq

  20. 二项分布(例题分析) 【例】已知一批产品的次品率为4%，从中任意有放回地抽 取5个。求5个产品中： (1) 没有次品的概率是多少？ (2) 恰好有1个次品的概率是多少？ (3) 有3个以下次品的概率是多少？

  21. 泊松分布(Poisson distribution) • 1837年法国数学家泊松(D.Poisson，1781—1840)首次提出 • 用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度、面积、体积之内每一事件出现次数的分布 • 泊松分布的例子 • 一定时间段内，某航空公司接到的订票电话数 • 一定时间内，到车站等候公共汽车的人数 • 一匹布上发现的疵点个数 • 一定页数的书刊上出现的错别字个数

  22. 泊松分布(概率分布函数) — 给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的平均数 e = 2.71828 x —给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的次数

  23. l= 0.5 P(X) 0.6 0.4 0.2 0.0 X 0 1 2 3 4 5 l= 6 P(X) 0.6 0.4 0.2 0.0 X 0 2 4 6 8 10 泊松分布(数学期望和方差) • 数学期望 E ( X ) =  • 方差 D ( X ) = 

  24. 泊松分布(例题分析) 【例】假定某航空公司预订票处平均每小时接到42次订票电话，那么10分钟内恰好接到6次电话的概率是多少？ 解：设X=10分钟内航空公司预订票处接到的电话次数

  25. 依据过去一年的统计资料显示某电话公司市内电话交换机于周日晚间8：00～8：05时段内转接电话的平均数为10通，今日又恰逢周日。依据过去一年的统计资料显示某电话公司市内电话交换机于周日晚间8：00～8：05时段内转接电话的平均数为10通，今日又恰逢周日。 1）若以X表示今天晚上8：00～8：05时段内交换机转接电话的通数，则X的概率函数为？ 2）以上时段内电话少于3通的概率（包括3通）？ 3）若以Y表示今晚8：00～8：01时间段内交换机转接电话的通数，则Y的概率函数为？ 4）以上的时间段，电话通数多于4通的概率为？ 作业

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