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浙江财经学院 专升本函授线性代数

浙江财经学院 专升本函授线性代数. 制作：数学与统计学院　林振洪. 第一章　　行列式. [ 教学内容 ] §1.1 二阶、三阶行列式 二阶、三阶行列式的定义及基本计算 §1.2 n 阶行列式　 逆序数的概念， n 阶行列式的定义 §1.3 行列式的性质 行列式的基本性质，利用基本性质计算行列式的值 §1.4 行列式按行（列）展开 代数余子式概念及计算，行列式按行（列）展开定理，利用展开定理计算行列式值 §1.5 克莱姆法则 克莱姆法则，齐次线性方程组仅有零解的判定。. [ 基本要求 ] 1 、理解 n 阶行列式的定义及其性质。

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  1. 浙江财经学院专升本函授线性代数 制作：数学与统计学院　林振洪

  2. 第一章　　行列式 • [教学内容] • §1.1 二阶、三阶行列式 • 二阶、三阶行列式的定义及基本计算 • §1.2 n阶行列式　 • 逆序数的概念，n阶行列式的定义 • §1.3 行列式的性质 • 行列式的基本性质，利用基本性质计算行列式的值 • §1.4 行列式按行（列）展开 • 代数余子式概念及计算，行列式按行（列）展开定理，利用展开定理计算行列式值 • §1.5 克莱姆法则 • 克莱姆法则，齐次线性方程组仅有零解的判定。

  3. [基本要求] • 1、理解n阶行列式的定义及其性质。 • 2、掌握用行列式的定义，性质和有关定理计算简单n阶行列式的方法， • 熟练掌握二阶至四阶行列式的计算。 • 3、熟练掌握克莱姆法则。 • [教学重点] • 行列式值的计算和克莱姆法则。

  4. 二阶行列式 • 定义：设有四个数排成二行二列(横排称行、竖排称列)的数表 即

  5. 二阶行列式的计算--对角线法则 主对角线 副对角线 对于二元线性方程组 若记 系数行列式

  6. 三阶行列式 • 定义： 记 （6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.

  7. 三阶行列式的对角线法则 注意：红线上三元素的乘积冠以正号，黄线上三元素的乘积冠以负号． 说明 1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.

  8. 补充：沙路法展开计算

  9. 三阶行列式与三元线性方程组 经加、减消元后可得： 其中：

  10. 例：计算三阶行列式： • 解： 按对角线法则，有

  11. 特殊行列式 • 下三角行列式 • 对角行列式 • 上三角行列式 • 左三角行列式 • 右三角行列式

  12. 行列式的性质 • 如何有效地计算一般行列式？ • 两条基本思路： • ⒈经恒等变形先将一般行列式化为(含大量零元素的)特殊行列式,再按定义计算。 • ⒉经恒等变形先将一般行列式化为二、三阶行列式,再用对角线法则展开计算。 • 要达到上述目的,我们先对行列式所具有的基本性质进行研究。

  13. 为D的转置行列式 称 转置行列式 • 转置行列式定义： 对行列式 把D中的行变为列，列变为行，可得一个新行列式

  14. 此时 行列式性质 • 性质1：行列式D与其转置行列式D'相等,即D=D'。 • 证明： 设 则 (根据行列式等价定义) =D 行列的地位是相同的

  15. D D1 • 性质2：互换行列式的某两行(列),行列式的值变号。即 第k行 第t行

  16. 第k行 第k行 证： D1= 第t行 第t行 D1的一般项为 因此

  17. 推论：行列式中有两行(列)完全相同,则其值为零。即推论：行列式中有两行(列)完全相同,则其值为零。即 第k行 =0 D= 第t行 • 因为将第k行与第t行互换可得 即

  18. 性质3：行列式中某一行(列)的公因子可提到行列式符号的前面。即性质3：行列式中某一行(列)的公因子可提到行列式符号的前面。即 • 证：右边= =左边

  19. 推论1：若行列式的某一行(列)中所有元素全为零,则此行列式的值为零。推论1：若行列式的某一行(列)中所有元素全为零,则此行列式的值为零。 • 推论2：若行列式的某两行(列)的对应元素成比例,则此行列式的值为零。即 第k行 =0 第t行

  20. 性质4：若行列式的某一行(列)中所有元素都是两个元素的和，则 此行列式等于两个行列式的和。即 = + 左边 =右边

  21. 性质5：把行列式的某一行(列)所有元素乘以k加到另一行(列)对应元素上,行列式的值不变。即性质5：把行列式的某一行(列)所有元素乘以k加到另一行(列)对应元素上,行列式的值不变。即 + = ×k • 利用性质4、性质3,容易证明该性质。 • 此性质是行列式中化零元素的主要工具。

  22. 例： • 解： ×2 0 =208

  23. ③＋①×(-3) ②＋①×2 ③＋②×8 ④＋②×4 ④＋③×(-30/58)

  24. ×1 ×1 ×1 • 例：计算下列行列式 • 解：

  25. 余子式 中， • 定义：在n阶行列式 划去元素aij所在的第i行和第j列,剩下的元素按原来的顺序构成的一个n-1阶行列式称为元素aij的余子式,记为Mij。即 若 则 n-1阶行列式

  26. 代数余子式 • 定义：若行列式D中元素aij的余子式为Mij,则称Aij=(-1)i+jMij为元素aij的代数余子式。 • 例：写出行列式D中元素a23的代数余子式,其中 • 解：

  27. 按行(列)展开定理 • 定理：n行列式D的值等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即 设 则

  28. 推论：n阶行列式D的任一行(列)的各元素与另一行（列）对应的各元素的代数余子式的乘积之和等于零。即推论：n阶行列式D的任一行(列)的各元素与另一行（列）对应的各元素的代数余子式的乘积之和等于零。即

  29. 例：计算四阶行列式 • 注意：一般应先把行列式的某行(列)化为某一行(列)仅含一个非零元素,再按此行(列)展开,以简化计算。 • 解： ③＋②×(-3) ①＋②×(-3) ③＋②×4 按第二行展开 按第一列展开

  30. Cramer 法则 • 定理：如果线性方程组 的系数行列式不等于零，即 则线性方程组(1)有唯一解,且

  31. 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即

  32. 例：讨论k取何值时,齐次方程组 （1）仅有零解； （2）有非零解； • 解：系数行列式 当k≠0且k≠9时，D≠0，此时方程组仅有零解 当k=0或k=9时，D=0，此时方程组有非零解

  33. 第二章线性方程组 • [教学内容] • §3.1 线性方程组的消元解法 • 线性方程组的消元法与增广矩阵初等行变换的关系；线性方程组有解的充要条件；齐次线性组有非零解的充要条件。 • §3.2 n维向量空间 • n维向量的概念及有关运算。 • §3.3 向量问的线性关系 • 向量的线性组合；线性方程组的向量形式；线性相关与线性无关及其判别；向量组线性相关性的有关定理；向量组的极大无关组，向量组的秩及其性质。 • §3.4 线性方程组解的结构 • 齐次线性方程组的基础解系；解的结构；非齐次线性方程组解的结构。 • §3.5 投入产出数学模型 • 投入产出平衡表；平衡方程（产品分配平衡方程）；直接消耗系数；平衡方程组的解。

  34. [基本要求] • 1、理解向量的概念；熟练掌握向量的加法和数乘运算。 • 2、了解向量组的线性相关、线性无关、向量组的秩及其与矩阵的秩的关系。掌握线性相关性的基本判别（证明）方法和求向量组秩的方法。熟练掌握求向量组的极大无关组的方法。 • 3、掌握线性方程组有解的判别定理，了解线性方程组的特解，导出组的基础解系和一般解的概念 • 4、熟练掌握用矩阵初等行变换法求线性方程组的一般解。 • 5、了解投入产出模型，直接消耗系数。 • [教学重点] • 齐次线性方程组（非齐次线性方程组）有非零解（有解）的判别；向量组线性相关性的判别和极大无关组的求法；线性方程组解的结构，即用基础解系表示全部解。

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