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3.1 随机变量的分布函数 一、分布函数的概念

3.1 随机变量的分布函数 一、分布函数的概念. 定义 : 设 X 是 随机变量，对任意实数 x， 事件{ X < x} 的概率 P{X < x} 称为随机变量 X 的 分布函数 。 记为 F(x)， 即 F(x)＝P {X < x}. 易知，对任意实数 a, b (a<b), P {a  X < b }＝P{X < b}－P{X < a}＝ F(b)－F(a). 二、分布函数的性质. 1、 单调不减性： 若 x 1 <x 2 , 则 F(x 1 )  F(x 2 ); 2、 归一 性： 对任意实数 x，0  F(x)  1， 且.

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3.1 随机变量的分布函数 一、分布函数的概念

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  1. 3.1 随机变量的分布函数一、分布函数的概念 定义:设X是随机变量，对任意实数x，事件{X<x}的概率P{X<x}称为随机变量X的分布函数。 记为F(x)，即 F(x)＝P {X<x}. 易知，对任意实数a, b (a<b), P {a X < b}＝P{X < b}－P{X < a}＝ F(b)－F(a).

  2. 二、分布函数的性质 1、单调不减性：若x1<x2, 则F(x1)F(x2); 2、归一 性：对任意实数x，0F(x)1，且 3、左连续性：对任意实数x，

  3. 四、离散型随机变量的分布函数 一般地，对离散型随机变量 X～P{X= xk}＝pk, k＝1, 2, … 其分布函数为 例1 ：设随机变量X具分布律如右表 试求出X的分布函数。 解：

  4. 例1 ： 向[a,b]区间随机抛一质点，以X表示质点坐标.假定质点落在[a,b]区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数 解：

  5. 3.2连续型随机变量 一、概率密度 1. 定义:对于随机变量X，若存在非负函数p(x)，(-<x<+)，使对任意实数x，都有 则称X为连续型随机变量， p(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数. 常记为X～ p(x) , (-<x<+)

  6. 2.密度函数的性质 (1)非负性 :p(x)0，(-<x<)； (2)归一性: 性质(1)、(2)是密度函数的充要性质； 例1：设随机变量X的概率密度为 求常数a. 答:

  7. （3）

  8. (4) 若x是p(x)的连续点，则 例2：设随机变量X的分布函数为 求p(x)

  9. （5）对任意实数b，若X～p(x)，(-<x<)，则P{X=b}＝0。 于是

  10. 例3.已知随机变量X的概率密度为 1)求X的分布函数F(x), 2)求P{X(0.5,1.5)}

  11. 二、几个常用的连续型分布 1.均匀分布 若X～p(x)＝ 则称X在(a, b)内服从均匀分布。记作 X~U(a, b) 对任意实数c, d (a<c<d<b)，都有

  12. 例4.长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率

  13. 例5：设K在（0，5）上服从均匀分布，求方程 有实根的概率。

  14. 2. 指数分布 若 X～ 则称X服从参数为>0的指数分布。 其分布函数为

  15. 例6 .电子元件的寿命X(年）服从参数为3的指数分布. (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？ 解:

  16. 例7:某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，设[0，t]时段内过桥的汽车数Xt服从参数为t的普哇松分布，求T的概率密度。例7:某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，设[0，t]时段内过桥的汽车数Xt服从参数为t的普哇松分布，求T的概率密度。

  17. 3. 正态分布 （1）若随机变量 其中 为实数，>0 ，则称X服从参数为,的正态分布,记为N(, 2)，可表为X～N(, 2).

  18. （1）正态分布有两个特性： 1) 单峰对称 密度曲线关于直线x=对称； p()＝maxp(x)＝ .

  19. 2) 的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦， 越小，曲线越陡峻，。 正态分布也称为高斯(Gauss)分布

  20. 4.标准正态分布 (1)参数＝0，＝1的正态分布称为标准正态分布，记作X~N(0, 1)。

  21. 其密度函数表示为 分布函数表示为

  22. (2)一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅(x)的值。(P504附表3)如，若(2)一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅(x)的值。(P504附表3)如，若 Z~N（0，1）,（0.5)=0.6915, P{1.32<Z<2.43}=(2.43)-(1.32) =0.9925-0.9066 (3) (x)＝1－ (－x)；

  23. （4）若X～ ，则 ～N（0，1）。 推论：若X～ ，则

  24. 例1.设随机变量X~N(-1,22), 求P{-2.45<X<2.45}=? 例2.设 XN(,2),求P{-3<X<+3} 本题结果称为3 原则.在工程应用中，通常认为P{|X-  |≤3} ≈1，忽略{|X -  |>3}的值.

  25. 例3.一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分布Ｎ(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率.例3.一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分布Ｎ(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率.

  26. 3.3二维随机变量及其分布 一、 联合分布函数 1、定义：设(X, Y)是二维随机变量，(x, y)R2, 则称F(x,y)=P{X<x, Y<y} 为(X, Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。 几何意义：分布函数F( )表示随机点(X,Y)落在区域 中的概率。如图阴影部分：

  27. 对于(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1<x2， y1<y2 ),则 P{x1 X <x2， y1 y < y2 } ＝F(x2, y2)－F(x1, y2)－ F (x2, y1)＋F (x1, y1). (x1, y2) (x2, y2) (x1, y1) (x2, y1)

  28. 2、分布函数F(x, y)具有如下性质： (1) 归一性对任意(x, y) R2 , 0 F(x, y)  1, 且

  29. (2)单调不减 对任意y R, 当x1<x2时， F(x1, y)  F(x2 , y)； 对任意x R, 当y1<y2时，F(x, y1)  F(x , y2)。 (3)左连续对任意xR, y0R,

  30. (4)矩形不等式 对于任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1<x2， y1<y2 ), F(x2, y2)－F(x1, y2)－ F (x2, y1)＋F (x1, y1)0. 反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x, y)都可以作为某个二维随机变量(X, Y)的分布函数。

  31. 例1.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为 1)求常数A，B，C。 2)求P{0 X<2,0  Y<3}

  32. 3、边际分布函数 FX(x)＝F (x, +)＝ ＝P{X<x} 称为二维随机变量(X, Y)关于X的边际分布函数； FY(y)＝F (+, y)＝ ＝P{Y<y} 称为二维随机变量(X, Y)关于Y的边际分布函数.

  33. 例2.已知(X,Y)的分布函数为 求FX(x)与FY(y)。

  34. 二、二维连续型随机变量及其密度函数 1、定义 对于二维随机变量(X, Y)，若存在一个非负可积函数P (x, y)，使对(x, y)R2，其分布函数 则称 (X, Y)为二维连续型随机变量，P(x,y)为 (X, Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合密度函数，可记为 (X, Y)～ P(x, y)， (x, y)R2

  35. 2、联合密度f(x, y)的性质(p120) (1)非负性：P (x, y)0, (x, y)R2; (2)归一性： 反之，具有以上两个性质的二元函数P(x, y)，必是某个二维连续型随机变量的密度函数。 此外,P(x, y)还有下述性质 (3)若P(x, y)在(x, y)R2处连续，则有

  36. (4)对于任意平面区域G R2, 例3：设 求:P{X>Y}

  37. 例4. 设 求：(1)常数A；(2) F(1,1)； (3) (X, Y)落在三角形区域D：x0, y0, 2X+3y6 内的概率。

  38. 3、边际密度函数 设(X, Y)～P(x, y), (x, y)R2, 则称 (p121) 为(X, Y)关于X的边际密度函数； 同理，称 为(X, Y)关于Y的边际密度函数。 说明：

  39. 例3.设(X,Y)的概率密度为 （1）求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度

  40. 4. 两个常用的二维连续型分布 (1)二维均匀分布 若二维随机变量(X, Y)的密度函数为 则称(X, Y)在区域D上(内) 服从均匀分布。 易见，若（X，Y）在区域D上(内) 服从均匀分布，对D内任意区域G，有

  41. (2)二维正态分布 若二维随机变量(X, Y)的密度函数为 其中，1、2为实数，1>0、2>0、|  |<1，则称(X, Y) 服从参数为1, 2, 1, 2, 的二维正态分布，可记为

  42. 结论：N(1, 2, 12, 22, )的边际密度函数PX(x)是N(1, 12)的密度函数，而PY(Y)是N(2, 22)的密度函数。 故二维正态分布的边际分布也是正态分布。

  43. 三、随机变量的相互独立性 定义1：称随机变量X与Y独立，如果对任意实数a<b,c<d，有 p{a<Xb,c<Yd}=p{a<Xb}p{c<Yd} 即事件{a<Xb}与事件{c<Yd}独立，则称随机变量X与Y独立。 定义2：称随机变量X与Y独立的，如果 F(x,y)=FX(x)FY(y) 其中 F(x,y)是（X，Y）的联合分布函数， FX(x)、FY(y)分别是 X、Y的分布函数。

  44. 定理 (p127): 设(X,Y)是二维连续型随机变量，X与Y独立的充分必要条件是， P(x,y)=PX(x)PY(y) 定理（复习）:设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为Pij=P{X=xi,Y=yj},i,j=1,2,...，则X与Y独立的充分必要条件是对任意i,j， Pij=PiPj 。

  45. 独立性的例子 例：书中（P122）例3.7的两个随机变量是否独立？ 例： 设(X,Y) ～N(1, 2, 12, 22, )，则X与Y独立充要条件为=0。

  46. § 3.4 随机变量函数的分布 一、一维连续型随机变量函数的密度函数 1、一般方法(p56) 若X～p(x), -< x< +, Y=g(X)为随机变量X 的函数，则可先求Y的分布函数 FY (y)＝P{Y<y}＝P {g(X) <y}＝ 然后再求Y的密度函数 此法也叫“ 分布函数法”

  47. 例1.设XU(-1,1),求Y=X2的分布函数与概率密度。 当y ≤ 0时 ；当y>1时 当0<y ≤ 1时

  48. 例2:设X的概率密度为pX(x),y=g(x)关于x处处可导且是x的严格单减函数，求Y=g(X)的概率密度。例2:设X的概率密度为pX(x),y=g(x)关于x处处可导且是x的严格单减函数，求Y=g(X)的概率密度。

  49. 2、公式法： 若X～pX(x), y=g(x)是单调可导函数，则 其中h(y)为y＝g(x)的反函数.

  50. 例3.已知XN(,2),求 的概率密度 解： 关于x严单,反函数为 故

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