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第五章 短期个别风险模型

第五章 短期个别风险模型. [ 知识要点 ] 1 、个别风险模型 设 ，其中 X i 表示第 i 张保单可能发生的理赔额，并 且该模型满足如下假定： （ 1 ） X i 独立同分布； （ 2 ）每张保单最多发生一次理赔； （ 3 ） n 是固定的，即模拟的封闭的。 2 、个别风险模型中 S 的分布 （ 1 ）对此模型用独立和分布的卷积公式，可求出 S 的分布。

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第五章 短期个别风险模型

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  1. 第五章 短期个别风险模型

  2. [知识要点] 1、个别风险模型 设 ，其中Xi表示第 i 张保单可能发生的理赔额，并 且该模型满足如下假定： （1） Xi 独立同分布； （2）每张保单最多发生一次理赔； （3）n是固定的，即模拟的封闭的。 2、个别风险模型中S的分布 （1）对此模型用独立和分布的卷积公式，可求出S的分布。 （2）由逆转公式求S的分布。 对于个别风险模型 ，有矩母函数：

  3. 因此，可根据概率论中逆转公式求出S的分布。因此，可根据概率论中逆转公式求出S的分布。 （3）求上述个别风险模型中S的分布，还可用中心极限定理，假设X1 ，X2 ，… ，Xn为独立同分布，且有E（Xi)= μ ,D(Xi )= σ2 ,则当n →∞时有： 3、几个常见分布的矩母函数 （1）二项分布：MX ( t )=( 1 – p + pet ) n 二点分布：MX ( t )=1 – p + pet （2）泊松分布：MX ( t )= e λ(et-1) （3）负二项分布： MX ( t )= （p / 1-qet )r （4）几何分布：MX ( t )= p / 1-qet （5）正态分布： ( 6 )指数分布e(λ ): MX ( t )=(1-t/λ )-1

  4. （7）伽马分布Γ(α,β)：MX ( t )=(1-t/β )-α • （8）平移伽马分布 Γ(χ- χ0 ，α，β)：MX ( t )=e χ0t (1-t/ β)-α 4、两个概率论公式 E（X）=E（I B）=E（E（B，I）） Var ( X )= Var ( E ( B , I) )+E (Var ( B , I) ) 也就是说，如果X的数学期望或方差直接计算比较困难且可拆成两个随机变量的乘积时，可用条件期望或条件方差计算得出。这两个公式在个别风险模型的计算中作用很大。 [重点难点解析] 本章的重点内容是在个别风险模型下理赔总额的分布，或用卷积法、中心极限定理近似，或用矩母函数法。 本章的难点是如何用公式E（X）=E（I B）=E（E（B，I））和公式Var ( X )= Var ( E ( B , I) )+E (Var ( B , I) )计算个别保单理赔的期望与方差。 下面分别用例题逐一解释。

  5. 例1 设X1，X2与X3是相互独立的三份保单的个别理赔额随机变量，它们分别具有如下的概率分布列： • 设 ，求P（S≤ 5）。 • A.0.975 B. 0.98 C. 0.985 D.0.99 E.0.995 • 解 可求出S的卷积分布，如下表所示：

  6. 所以 选E。 • 注 注意到本题S的最大值为6，所以事件（S≤ 5）的逆事件等价于事件（S≥ 6），也等价于事件（S=6），而： • P( S = 6 )=p1（x=1） · p2（x=2） · p3（x=3） • = 0.1 * 0.2 * 0.25=0.005 • 所以 P （S≤ 5）=1-0.005=0.995 • 此种思路就显得充满智慧。 • 例2 一个保险人拥有如下特征的风险组合：

  7. 保费的收集是按每份保单的期望索赔加上一个常数C，并且收集到的保费总额是总索赔分布的95﹪分位数，求此常数。保费的收集是按每份保单的期望索赔加上一个常数C，并且收集到的保费总额是总索赔分布的95﹪分位数，求此常数。 • A. 0.008 B.0.011 C. 0.015 • D. 0.071 E.0.078 • 解 设索赔总额为S，则 • 其中：X1可分解为I1B，X2可分解为I2B。 • 上述的计算可由公式E（X1）=E（I1 B）=E（E（B，I1））和公式Var ( X1 )= Var ( E ( B , I1) )+E (Var ( B , I1) )算出。 • 同样，E（X2）与Var(X2)也是利用类似的公式算出。

  8. 这样， 。 • 依题意有： P（S<P）=0.95 (其中P是保费总额） 所以 由正态分布表可知： 所以 P=35.32066 依题意有： P / 1000=24 / 1000+C 所以C=0.01132 所以 选B

  9. 例3 一个保险人承保了具有如下特性的风险组合： • （1）每个风险索赔发生的概率为0.10； • （2）索赔发生时有如下的损失密度函数： • 0<x<1 • 其他 • 该保险人的安全附加是0.5，已知总赔付超过总保费的概率为0.05，求风险单位数是多少？ • A.18 B.28 C. 87 D.145 E.284 • 解 理赔总额可用个别风险模型来描述：

  10. 依题意有：

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