Lógica Difusa Primera Clase José Edinson Aedo Cobo, Msc. Phd. Depto. de Ing. Electrónica. E-mail: joseaedo@udea.edu.co

1. Lógica Difusa Primera Clase José Edinson Aedo Cobo, Msc. Phd. Depto. de Ing. Electrónica. E-mail: joseaedo@udea.edu.co

2. Introducción • “Un sistema inteligente” sería aquel que posee una habilidad parecida al ser humano para resolver problemas dentro de un dominio específico, tiene capacidad para adaptarse, aprender en un ambiente cambiante y explicar como se toman las decisiones ( o acciones)”. • En el último siglo ha existido un interés creciente por la • construcción de máquinas inteligentes. • 1947, Se definió la Cibernética ( Norbert Wiener) • “un estudio unificado del control y de la comunicación • en los animales y las máquinas”.

3. Introducción • 1947, Se definió la Cibernética ( Norbert Wiener) • “un estudio unificado del control y de la comunicación • en los animales y las máquinas”. • La época de la cibernética coincide con el desarrollo de • varios paradigmas: • - Evolución de los computadores analógicos a digitales. • - Teoría formal de la computación ( Alan Turing). • - Computador basado en lógica digital: John Von Neumann • - Primeros modelos del neuron: McCulloch-Pitts (1943), • perceptron (1957) • - La inteligencia artificial (IA), 1960, John McCarthy

4. Introducción Inteligencia Artificial: “Buscaban definir los métodos algorítmicos capaces de hacer pensar a los computadores !!” Hubo una gran efervescencia en la década del 60, debido A los resultados iniciales se pensaba que se “conseguiría construir máquinas realmente inteligentes”. Hubo un declive de las otras áreas: la cibernética y la redes neuronales.

5. Introducción 1969, Marvin Minsky, mostró mediante un estudio riguroso formal, limitaciones en los perceptrones para resolver algunos problemas. Esto causó una perdida de confianza en el área de redes neuronales. La Inteligencia Artificial (AI) algunas ideas: El ser humano utiliza el lenguaje como medio para razonar y sacar conclusiones. “La IA busca imitar el comportamiento inteligente, tratando de expresarlo en formas de lenguaje o reglas Simbólicas”

6. Introducción La Inteligencia Artificial (AI) algunas ideas: “La IA manipula simbolos basandose en la suposición que el Comportamiento inteligente puede ser almacenado en bases de conocimiento estructuradas simbólicamente”. El mayor desarrollo de la IA son los sistemas expertos o Sistemas basados en conocimiento: “Son complejos programas (software) en los que se codifica el conocimiento de expertos en una materia muy concreta en forma de reglas de decisión”. - La IA se sustenta en el binomio: lógica boolena-máquina de Von Neumann.

7. Máquina de Inferencia Pregunta Facilidad de Base de Datos Respuesta Explicación Interface de Usuario Global Usuario (Novato) Hechos KB Reglas Ingeniero de Conocimiento Adquisición de Computador Conocimiento Humano Host Experto etc... Estructura de un sistema experto

8. Introducción • Algunas definiciones de IA: • “AI is the study of agents that exist in an evironment and • perceive and act”. (Russell, Norvig, artificial Intelligence: • a Modern approach, 1995). • “Is the art of making computer do smart things”. • (Waldrop,87). • “AI is a programming style, where programs operate on • data according to rules in order to accomplish goals” • (Tylor, 88).

9. Introducción • Algunas definiciones de IA: • “AI is the acitivitiy of providing such machines as computers with the ability to display behavior that would be regarded as intelligent if were observed in humans”, • (R. McLeod, 79). • La inteligencia computacional (soft computing) tiene • Objetivos similares a la IA, pero ha puesto más énfasis • en metodologías inspiradas biológicamente: modelado de • Cerebro, lógica difusa, algoritmos evolutivos, etc.

10. Introducción • El curso tendrá los siguientes componentes básicos: • Sistemas difusos. • Redes neuronales • algoritmos genéticos. • Aplicaciones.

11. Objetivos • Este módulo pretende introducir los sistemas difusos como una herramienta para su utilización en diversas aplicaciones en ingeniería • Los sistemas difusos pueden usarse en muchos campos de • la ingeniería: • Control de procesos. • Modelado no lineal. • procesamiento de imágenes. • Comunicaciones. • Problemas de optimización. • Sistemas para toma de decisiones.

12. Sistemas difusos (introducción) Introducción Los sistemas difusos son utilizado en muchos campos de la ingeniería. Hacen del parte del área se que se ha denominado softcomputing. Lotfi A. Zadeh (1992): “Soft computing is an emerging approach to computing which parallels the remarkable ability of the human mind to reason and learn in an environment of uncertainty and imprecision”.

13. Sistemas difusos (introducción) Inteligencia computacional: Softcomputing cubre en algunos paradigmas recientes: - Redes neuronales. - Lógica difusa y sistemas basados en razonamiento difuso. - Técnicas de optimización basadas en algoritmos genéticos y re-cocimiento simulado.

14. Sistemas difusos (introducción) Los sistemas difusos: Han sido desarrolladas buscando modelar la forma como el cerebro manipula información imprecisa. La redes neuronales: Son modeladas a partir de la arquitectura física del cerebro.

15. Sistemas difusos (introducción) • Los sistemas difusos y las redes neuronales: • Estimadores libres de modelos. • Sistemas dinámicos. • Ambos tienen la capacidad de modelar procesos no • lineales complejos con un grado arbitrario de exactitud. • Son tecnologías complementarias: • Sistemas difusos con habilidades de aprendizaje. • Redes neuronales con una estructura determinada por la forma y el proceso de razonamiento propio de las reglas difusas “If-then”.

16. Sistemas difusos (introducción) • Los sistemas difusos y las redes neuronales • Redes neuronales: • Realizan un mapeo no lineal de entrada-salida. • Poseen la capacidad de generalización. • Tienen la propiedad de la “adaptabilidad”. • Son tolerantes a fallas. • Tienen habilidad de aprendizaje.

17. Sistemas difusos (introducción) • La fusión de las dos tecnologías produce sistemas con diferentes características: • Sistemas neurodifusos: Sistemas difusos provistos de • métodos de sintonía propios de las redes neuronales • pero sin alterar su funcionalidad. • Redes neuronales difusas: Conservan las propiedades y • la arquitectura de las redes neuronales y simplemente • se “fuzifican” algunos de sus elementos.

18. Sistemas difusos (introducción) • Contenido del módulo: • Introducción a los sistemas difusos. • Teoría de los conjuntos difusos. • Variables lingüísticas. • Relaciones difusas, composición de relaciones. • Introducción a la lógica difusa. • Reglas de inferencia difusas. • Sistemas difusos. • Identificación de los sistemas difusos. • Aplicación de los sistemas difusos • Estudio de casos.

19. Sistemas difusos (introducción) • Material de referencia: • Fuzzy Logic Systems for Engineering: A tutorial, J. M. Mendel, Proceeding of the IEEE, Vol 83. No. 3. pp. 345-377. • Neuro-fuzzy modeling and control, J.S. Jang an C. T Sun Proceeding of the IEEE, Vol 83. No. 3. pp. 378-406. • Neuro-Fuzzy and Soft Computing, J. S. Roger Jang, Prentice Hall, 1997. Cuatro primeros capítulos.

20. Sistemas difusos (introducción) • La expresión del conocimiento • Cuando se trabaja con la solución de problemas existen dos tipos de conocimiento: • Conocimiento objetivo: El cual se expresa en forma de modelos matemáticos. Estos modelos son usados corrientemente en la solución de problemas en el campo de la ingeniería. • Conocimiento subjetivo: el cual es representado en forma lingüística que es imposible de cualificar con modelos matemáticos tradicionales. • Ex: “Si el valor de la ganancia es muy alto entonces el sistema puede ser inestable”

21. Sistemas difusos (introducción) Como utilizar los dos tipos de conocimiento en la solución de problemas: Existen dos estrategias: Una estrategia basada en modelo en la cual la información objetiva es expresada en modelos matemáticos y la información subjetiva es expresada en reglas (lingüísticas) que luego son cuantificadas usando lógica difusa. Una estrategia libre de modelo: en la cual, las reglas son extraídas de datos numéricos, estas reglas también pueden ser combinadas con información lingüística suministrada por expertos.

22. Sistemas difusos (introducción) Sistemas difusos (modelo difuso): una visión de alto nivel Establecen un mapeo no lineal entre un vector de datos de entrada a una salida escalar (MISO). Y= f(x) Sistema Difuso xUn Reglas y ¨Defuzificador¨ ¨Fuzificador¨ Mecanismo inferencia salida Vector de entrada

23. conjuntos difusos Qué es un conjunto de acuerdo con la teoría clásica? Es una reunión de elementos que cumplen alguna condición pre-establecida. Notación: A = { x / x cumple alguna condición} Ejemplo: A = { x  R / x > 5 } Conjuntos discretos se pueden representar con diagramas. Por ejemplo el conjunto B (de números enteros entre 1 y 5): B 1 Así: 2 1  B 3 2  B 4 3  B 5 4  B 5  B

24. conjuntos difusos La función característica o de pertenencia Se puede definir un conjunto estableciendo su función de pertenencia ( también llamada función característica). La función asume la siguiente forma para conjuntos clásicos: Sea el conjunto A, la función de pertenencia μA(x) será: 1, si x  A μA(x) = 0, a x A. Ejercicio: Considere el conjunto de todos los estudiantes del curso como conjunto universal. Considere C, como el conjunto de los estudiantes con promedio mayor a 4. Evalúe μC(x) para algunos valores de x.

25. conjuntos difusos Ejemplo: sea el conjunto A: A ={ El conjunto de los números reales mayores que 5} o equivalentemente: A = { x  R / x ≥ 5} Entonces: μA(4) = 0 μA(6) = 1 Gráfica de μA(x) μA 1 3 4 5 6 7 …. R

26. conjuntos difusos Conjuntos difusos La pertenencia de los elementos al conjunto puede ser gradual, lo cual se expresa mediante la función de pertenencia, que en este caso puede tomar valores dentro del intervalo [0,1] Ejemplo: Sea el conjunto universal X ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Sea el conjunto A = {el número apropiado de cursos que un estudiante debe tomar en el primer semestre de Ingeniería electrónica} A, lo podríamos definir considerando sus elementos junto con sus valores de pertenencia: A ={ (1, 0.1), (2,0.3), (3,0.4), (4,0.6), (5,1), (6,0.9), (7,0.6), (8,0.3) (9, 0.1) }

27. conjuntos difusos Definición de Conjuntos difusos Sea U una colección de objetos denotados genéricamente por u, entonces un conjunto difuso A en U se define como el conjunto de pares ordenados: A = { (u, μA(u)) / u  U} μA(u) es la función de pertenencia de u en A, la cual mapea cada elemento de U a un valor de pertenencia entre 0 y 1. Función de pertenencia u1 u2 U μA(u1)= 0.6 μA(u2)= 1.0 μA(u) 1 0.6

28. Conjuntos difusos Ejemplo Sea B= “El conjunto de números enteros cercanos a 9” B = 0.1/6 + 0.5/7 + 0.8/8 + 1/9 + 0.8/10 + 0.5/11 + 0.1/12 1 0.8 0.5 0.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 N Notación B = N μB(x)/ x (Representación de conjuntos discretos)

29. Conjuntos difusos Tipos corrientes de funciones de pertenencia Lineal por trazos Tipo Z Tipo triangular Tipo S Tipo trapezoidal Otras formas: gaussiana, en forma de campana, etc.

30. Conjuntos difusos Algunas definiciones relacionadas con conjuntos difusos : 1. El soporte de un conjunto difuso: Support(A) = { x / μA(x) > 0} 2. Core: Core(A) = { x / μA(x) = 1} 3. Conjuntos difusos normales: si su “core” no es vacio. 4. Fuzzy singleton: es un conjunto normal con soporte en un solo punto

31. Conjuntos difusos Representación de los conjuntos difusos : Dado un conjunto universal U ={x1, x2, ….,xn}, un conjunto A definido en U puede ser representado usando el conjunto de pares ordenados: Igualmente puede ser representado como: Donde + indica unión de los elementos (no suma).

32. Conjuntos difusos  - cuts Un -cut (o conjunto de nivel ) de un conjunto difuso A* es un conjunto A clásico que contiene todos los elementos del conjunto universo U que tienen un grado de pertenencia en A* más grande o igual a . O sea: El conjunto de todos los niveles (0,1] que representan distintos -cuts de un conjunto A dado es llamado el conjunto de nivel de A. O sea:

33. Conjuntos difusos Primero recordemos las operaciones entre conjuntos clásicos Para conjuntos clásicos, consideremos dos conjuntos A y B: - entonces la unión de A y B será un conjunto C = A  B, que contendrá tanto los elementos de A como los de B. - La intersección de A y B , será un conjunto D = A  B, que contendrá los elementos comunes entre A y B. - El complemento de A, será un conjunto A, que contendrá todos los elementos del conjunto universal que no pertenezcan a A.

34. Conjuntos difusos Ejemplo (conjuntos clásicos): Sean los conjuntos A = { 1, 2 , 3, 4, 5, 6} B = {4, 5, 6, 7, 8, 9} y U = { 0, 1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} el conjunto universal. Entonces: C = A  B = {1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} D = A  B = {4, 5, 6 } A = {0,7, 8, 9, 10, 11}

35. Conjuntos difusos Operaciones entre conjuntos clásicos: se pueden realizar operación entre conjuntos clásicos usando la función pertenencia. Se realizan con base a las funciones de pertenencia Función de pertenencia del conjunto resultado Operador

36. Conjuntos difusos Propiedades de las operaciones entre conjuntos clásicos: Sean A, B y C conjuntos clásicos y A, B, y C sus complementos Sea X el conjunto universo y  el conjunto vacío Propiedad Conmutativa AB = BA, AB = BA Asociativa (AB)  C = A(B  C) (AB)  C = A(B  C) Distributiva A(BC) = (AB)  (A C) A (BC) = (AB)  (AC)

37. Conjuntos difusos Propiedad Contradicción A  A =  Tercero excluido A A = X ley de Morgan A B = A  B A  B = A  B