Homología

1. E.T.S. DE INGENIEROS DE MINAS ASIGNATURA DIBUJO TÉCNICO Y SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN I Homología Ejercicios de autoaprendizaje Realizado por: Luis J. Fernández Gutiérrez del Álamo luije@dermos.upm.es

2. HOMOLOGÍA TEMA 1. –DEFINICIÓN DE HOMOLOGÍA TEMA 2. –DETERMINACIÓN DE ELEMENTOS HOMÓLOGOS (PUNTO, RECTA) TEMA 3. –DETERMINACIÓN DE ELEMENTOS DE LA HOMOLOGÍA (CENTRO, RECTAS LIMITE, EJE) TEMA 4. –DETERMINACIÓN DE HOMOLOGÍAS (CASOS SINGULARES) AYUDA FIN

3. INTRODUCCIÓN A LA HOMOLOGÍA TEMA 1 ELEMENTOS Y CONDICIONES DE UNA HOMOLOGÍA 1.1 Volver AYUDA FIN

4. DETERMINACIÓN DE ELEMENTOS HOMÓLOGOS TEMA 2 HOMÓLOGO DE UN PUNTO A DADO HOMÓLOGO DE UN PUNTO A’ DADO HOMÓLOGA DE UNA RECTA R DADA HOMÓLOGA DE UNA RECTA R’ DADA 2.1 2.3 2.2 2.4 Volver AYUDA FIN

5. DETERMINACIÓN DE ELEMENTOS DE LA HOMOLOGÍA TEMA 3 DETERMINACIÓN DE LA RECTA LÍMITE K’ DETERMINACIÓN DE LA RECTA LÍMITE L DETERMINACIÓN DEL EJE 3.1 3.3 3.2 Volver AYUDA FIN

6. DETERMINACIÓN DE HOMOLOGÍAS TEMA 4 TRANSFORMA UN CUADRILÁTERO ABCD EN... RECTÁNGULO 4.3 TRAPECIO PARALELOGRAMO CUADRADO 4.1 4.2 4.5 ROMBO 4.4 LA FIGURA HOMÓLOGA TIENE... EJEMPLO CUADRILÁTERO EN CUADRADO DE DIMENSIONES DADAS UN ÁNGULO DADO UNAS DIMENSIONES DADAS 4.6 4.7 TRAPECIO EN CUADRADO DE DIMENSIONES DADAS Volver AYUDA FIN

7. Lección: 1.1 DEFINICIÓN DE HOMOLOGÍA ELEMENTOS Y CONDICIONES DE UNA HOMOLOGÍA Centro de homología : V 1.- Todo par de puntos homólogos (a,a') está alineado con el centro de la homología (V) mediante su radiovector V Eje de la homología : E 2.- Todo par de rectas homologas (r,r') se cortan en el eje de la homología (E) L m Recta límite de la primera figura : L m' a K' n' 3.- Los puntos del infinito (m') de la segunda figura (r') tienen sus homólogos (m) en la recta límite L r' r E Recta límite de la segunda figura : K' 3.- Los puntos del infinito (n) de la primera figura (r) tienen sus homólogos (n') en la recta límite K' n a' n Siempre se cumple que d(V,L)=d(E,K') y d(V,K')=d(E,L) m' FIN Volver

8. Lección: 2.1 DETERMINACIÓN DE ELEMENTOS HOMÓLOGOS HOMÓLOGO DE UN PUNTO A DADO Dado el punto A hallar su homólogo A’ 1.- Se traza una recta R cualquiera, que pase por A. V 2.- Se prolonga hasta cortar al eje en el punto b (coincide con b’ al ser punto doble por estar en el eje) L m 3.- Se prolonga hasta cortar a la recta límite L en el punto m (m’ estará en el infinito del radiovector de m) m' 4.- Si la recta R pasa por m y por b, su homologa R’ pasará por b’ y por m’. Se dibuja R’ paralela al radiovector de m, desde el punto b’ a K' r 5.- Los puntos homólogos están alineados con el centro de la homología, luego uniendo V con A, donde corte a R’ estará a’. b E b’ r' a' m' FIN Volver

9. Lección: 2.2 DETERMINACIÓN DE ELEMENTOS HOMÓLOGOS HOMÓLOGO DE UN PUNTO A’ DADO Dado el punto A’ hallar su homólogo A V 1.- Se traza una recta R’ cualquiera, que pase por A’ 2.- Se determina el punto b’ donde corte al eje (coincide con b al ser punto doble por estar en el eje) L r’ 3.- Se determina el punto m’ donde corte a su recta límite K’ (m estará en el infinito en el radiovector de m’) K' m’ 4.- Si la recta R’ pasa por m’ y por b’, su homologa R pasará por b y por m. Se dibuja R, paralela al radiovector de m’, desde el punto b. a’ b’ E b 5.- Los puntos homólogos están alineados con el centro de la homología, luego uniendo V con A’, donde corte a R estará a. r m a FIN Volver m

10. Lección: 2.3 DETERMINACIÓN DE ELEMENTOS HOMÓLOGOS HOMÓLOGA DE UNA RECTA R DADA Dada la recta R hallar su homóloga R’ 1.- Se prolonga la recta R hasta el eje. V 2.- El punto b, de corte con el eje, es punto doble (coincide con b’) L m 3.- Se prolonga la recta R hasta cortar a la recta límite L en el punto m (m’ estará en el infinito en el radiovector de m) m' K' r b E 4.- Si la recta R pasa por m y por b, su homologa R’ pasará por b’ y por m’. Se dibuja R’ paralela al radiovector de M desde el punto b’ b’ r' m' FIN Volver

11. Lección: 2.4 DETERMINACIÓN DE ELEMENTOS HOMÓLOGOS HOMÓLOGA DE UNA RECTA R’ DADA Dada laq recta R’ hallar su homóloga R V 1.- Se prolonga la recta R’ hasta el eje 2.- El punto b’, de corte con el eje, es punto doble (coincide con b) L 3.- Se determina el punto m’ donde R’ corte a su recta límite K’ (m estará en el infinito del radiovector de m’) K' m’ r’ 4.- Si la recta R’ pasa por m’ y por b’, su homologa R pasará por b y por m. Se dibuja R paralela al radiovector de m’, desde el punto b b’ E b r m m FIN Volver

12. Lección: 3.1 DETERMINACIÓN DE ELEMENTOS DE LA HOMOLOGÍA DETERMINACION DE LA RECTA LÍMITE K’ Dados el eje, el vértice y la recta límite L, determinar la recta límite K’ 1.- Se traza una recta r cualquiera que corte al eje y a la recta límite L V 2.- El punto b, de corte con el eje, es punto doble (coincide con b’) L m 3.- El punto m, de corte con L, tiene su homólogo en el infinito (m’ estará en el infinito del radiovector de m) m' n’ K' 4.- Se dibuja por b’ la recta r’, paralela al radiovector de m r 5.- Se determina n, punto del infinito de r b E 6.- Se dibuja el radiovector de n (paralela a r desde V), en el cual deberá estar n’, cuando se corte con r’. b’ r' n 7.- En punto n’ pertenece a la recta límite K’ n m' FIN Volver

13. Lección: 3.2 DETERMINACIÓN DE ELEMENTOS DE LA HOMOLOGÍA DETERMINACION DE LA RECTA LÍMITE L Dados el eje, el vértice y la recta límite K’, determinar la recta límite L 1.- Se traza una recta r’ cualquiera que corte al eje y a la recta límite K’ V 2.- El punto b’, de corte con el eje, es punto doble (coincide con b) L m 3.- El punto n’, de corte con K’, tiene su homólogo en el infinito (n estará en el infinito del radiovector de n’) m' n’ K' 4.- Se dibuja por b la recta r, paralela al radiovector de n’ r 5.- Se determina m’, punto del infinito de r’ b E b’ 6.- Se dibuja el radiovector de m’ (paralela a r’ desde V), en el cual deberá estar m, cuando se corte con r. r' n 7.- En punto m pertenece a la recta límite L n m' FIN Volver

14. Lección: 3.3 DETERMINACIÓN DE ELEMENTOS DE LA HOMOLOGÍA DETERMINACION DEL EJE Dados el vértice y las dos rectas límite, determinar el eje 1.- Se traza una recta r cualquiera que corte a la recta límite L V 2.- Se determina m, punto de corte con L (su homologo m’ estará en el infinito) L m 3.- Se determina n, punto del infinito de r, y se traza su radiovector (paralela a r desde V) r m' n’ K' 4.- El homologo de n, punto n’, estará en el radiovector de n y en la recta limite K’ E 5.- Se une n’ con m’, trazando desde n’ una paralela al radiovector de m, determinando así la homologa r’. r' n 6.- Donde se corten las rectas r y r’ será un punto doble (pertenecerá al eje) n m' FIN Volver

15. Lección: 4.1 DETERMINACIÓN DE HOMOLOGÍAS TRANSFORMA UN CUADRILÁTERO ABCD EN UN TRAPECIO En un trapecio, los dos lados opuestos denominados bases, son paralelos 1.- Si A’B’ y C’D’ van a ser la bases, serán paralelas, luego AB y CD deben cortarse en la recta límite L. 2.- Se prolongan AB y CD hasta encontrar un punto E. e L 3.- Cualquier homología que tenga la recta límite L pasando por el punto E, será solución. a b d c FIN Volver

16. Lección: 4.2 DETERMINACIÓN DE HOMOLOGÍAS TRANSFORMA UN CUADRILÁTERO ABCD EN UN PARALELOGRAMO En un paralelogramo los lados son paralelos dos a dos L f 1.- En el paralelogramo homólogo A’B‘ y C’D’ serán paralelas, luego AB y CD deben cortarse en L. e 2.- Se prolongan AB y CD hasta encontrar un punto E, que pertenecerá a L 3.- En el paralelogramo homólogo A’D‘ y B’C’ serán paralelas, luego AD y BC deben cortarse en L. a 4.- Se prolongan AD y BC hasta encontrar el punto F, perteneciente a L. b d 5.- Se unen E y F, determinando L. 6.- Cualquier homología que tenga esta recta como recta límite L , será solución. c FIN Volver

17. Una de las soluciones posibles V Lección: 4.3 DETERMINACIÓN DE HOMOLOGÍAS TRANSFORMA UN CUADRILÁTERO ABCD EN UN RECTÁNGULO Un rectángulo es un paralelogramo, con los lados contiguos a 90º L f 1.- Se determina L como en el caso anterior 2.- Cualquier homología que utilice esta recta como recta límite L, trasformará ABCD en un paralelogramo e 3.- Se dibujar el arco capaz de 90º del segmento EF (circunferencia con diámetro EF y centro el punto medio) a 4.- Cualquier homología que tenga el centro V en dicha circunferencia y la recta límite L sea la dada , será solución. b d c FIN Volver

18. Una de las soluciones posibles V Lección: 4.4 DETERMINACIÓN DE HOMOLOGÍAS TRANSFORMA UN CUADRILÁTERO ABCD EN UN ROMBO Un rombo es un paralelogramo, con las diagonales a 90º L f 1.- Se determina L como en el caso anterior m 2.- Cualquier homología que utilice esta recta como recta límite L, trasformará ABCD en un paralelogramo e 3.- Se prolongan las diagonales AC y DB hasta la recta límite L (determinando M y N). n a 4.- Se dibujar el arco capaz de 90º del segmento MN (circunferencia con diámetro MN y centro el punto medio) d b 5.- Cualquier homología que tenga el centro V en dicha circunferencia y la recta límite L sea la dada , será solución. FIN Volver c

19. Las dos soluciones posibles Lección: 4.5 DETERMINACIÓN DE HOMOLOGÍAS TRANSFORMA UN CUADRILÁTERO ABCD EN UN CUADRADO Un cuadrado es un paralelogramo, con los lados contiguos a 90º y con las diagonales a 90º V L f 1.- Se determina L como en el caso anterior m e 2.- Cualquier homología que utilice esta recta como recta límite L, trasformará ABCD en un paralelogramo n a V 3.- Si además V está en el circulo EF, será un rectángulo. d 3.- Si además V está en el circulo MN tendrá las diagonales a 90º. b 4.- Cualquier homología que tenga el centro V en uno de los dos puntos comunes a ambos círculos y la recta límite L sea la dada , será solución. FIN Volver c

20. Una de las soluciones posibles V Lección: 4.6 DETERMINACIÓN DE HOMOLOGÍAS LA FIGURA HOMÓLOGA TIENE UN ÁNGULO DADO Se quiere que el ángulo C’A’B’ sea de  grados 1.- Se prolonga BA hasta determinar E en la recta límite L L f 2.- Se prolonga CA hasta determinar F en la recta límite L e 3.- Si determina los arcos capaces de  grados del segmento EF 4.- Cualquier homología que tenga el centro V en uno de los dos arcos capaces y como recta límite L la dada , será solución. a c b FIN Volver

21. D Lección: 4.7 DETERMINACIÓN DE HOMOLOGÍAS LA FIGURA HOMÓLOGA TIENE UNAS DIMENSIONES DADAS Determinar el eje para que A’D’ mida una longitud D 1.- Se prolonga AB hasta L, determinando F. L V f 2.- Se dibujan los radiovectores de VA y VB (en ellos estarán A’ y B’ respectivamente). f’ 3.- Se dibuja el radiovector VF (en el infinito de él estará F’). A’B’ será paralelo a él. a 4.- Desde V, sobre VF, se lleva la distancia D. 5.- Desde el extremo de la distancia D, se lleva una paralela a VB b Eje 6.- Donde corte a VA estará A’. 7.- Desde A’ se traza una paralela a VF, encontrando B’ en VB. 8.- Por donde se corten AB y A’B’ pasará el eje, paralelo a la recta límite L. b’ a’ FIN Volver

22. D Ejemplo: 1 EJEMPLO TRANSFORMA UN CUADRILÁTERO ABCD EN UN CUADRADO DE LADO D Determinar la homología que transforma el cuadrilátero ABCD en un cuadrado de lado D. De las soluciones posibles se tomará el centro más cercano al borde superior V L 1.- Se prolongan AB y CD para determinar E, y se prolongan AD y BC para determinar F. La recta límite L será la recta EF f m 2.- Se dibujan los arcos capaces de 90º del segmento EF e 3.- Se prolongan las diagonales AC y BD para determinar M y N en la recta limite L. n 4.- Se dibujan los arcos capaces de 90º del segmento MN a K’ 5.- De los dos puntos de intersección entre ambos arcos, se toma el más cercano al borde superior. d 6.-Se lleva la distancia D sobre VF (VF será paralela a A’D’ y a B’C’) Eje b c’ 7.-Desde el extremo de la distancia D se lleva paralela a VD, localizando A’ cuando se corte con VA b’ 8.-Por A’ paralela a VF y en VD estará D’. Por A’ paralela a VE y en VB estará B’ . Por paralelas se localiza C’ en VC 9.-El eje pasa por donde se cortan CD y C’D’ y es paralelo a L d’ a’ 10.-Por V, paralela a BC hasta cortar a B’C’, determina K’ FIN Volver c

23. D Ejemplo: 2 EJEMPLO TRANSFORMA UN TRAPECIO ABCD EN UN CUADRADO Determinar la homología que transforma el trapecio ABCD en un cuadrado de lado D. De las soluciones posibles se tomará el centro más cercano al borde superior K’ 1.- Se prolongan AD y BC para determinar E. La recta límite L pasara por E y será paralela a AB y a CD. (Debe pasar por F, intersección impropia entre AB y CD) f V L 2.- Trazando AC y BD se determinan M y N en L. Se dibuja su arco capaz de 90º. n 3.- Se traza la perpendicular a L desde E (es el arco capaz de 90º entre E y F, impropio en el extremo de L), determinando V donde se corta con el arco capaz de EF Eje f e c’ b 4.- Los lados A’B’ y C’D’ serán paralelos a L.. En esa dirección se lleva la distancia D, desde V. c a m d’ 5.- Se encaja A’B’ y por paralelas se determinan C’ y D’ 6.- Donde se corten AD y A’D’ se localiza en punto del eje b’ d 7.- Paralela a AD por V, donde se corte con A’D’ se tiene un punto de K’ a’ FIN Volver

24. ELEMENTOS Y CONDICIONES DE UNA HOMOLOGÍA 1.1 DEFINICIÓN DE HOMOLOGÍA Seleccione esta lección pulsando con el botón izquierdo del ratón AYUDA Esta presentación busca servir de ayuda a los estudiantes de 1º de Ingeniería de Minas a la hora de complementar las clases de la asignatura de DIBUJO TÉCNICO Y SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN I Pulse botón izquierdo del ratón o Av Pág o Barra espaciadora cuando termine de leer cada párrafo La primera pantalla de cada tema permite escoger el caso (lección) deseado, seleccionando la opción correspondiente mediante el botón izquierdo del ratón Esta acción te llevará hasta la lección deseada. Primeramente la lección aparece solo con los datos. Se realiza la presentación de la lección pulsando las teclas de Av. Pag y Re.Pag. En cualquier momento se puede volver al inicio del tema pulsando con el ratón sobre el botón Volver. Cuando aparezca el botón FIN, habrá acabado la lección. ESTOS EJERCICIOS DE AUTOAPRENDIZAJE NUNCA SUSTITUIRÁN A LOS APUNTES DE CLASE, SOLO INTENTAN SER UN COMPLEMENTO PARA AQUELLAS PERSONAS QUE NO DISPONGAN DE SUFICIENTE BASE. FIN Volver