Ανάλυση Παλινδρόμησης με Δεδομένα Χρονολογικών Σειρών

1. Ανάλυση Παλινδρόμησης με Δεδομένα Χρονολογικών Σειρών yt = b0 + b1xt,1 + . . .+ bkxt,k + ut 10. Βασική Ανάλυση

2. Χρονολογικές Σειρές έναντι Διαστρωματικά Δεδομένα • Οι Χρονολογικές Σειρές έχουν μία χρονική διάταξη, σε αντίθεση με τα διαστρωματικά δεδομένα • Θα χρειαστεί να μεταβάλουμε κάποιες από τις υποθέσεις μας και να λάβουμε υπόψη ότι δεν έχουμε ένα τυχαίο δείγμα ατόμων • Στην θέση της υπόθεσης του τυχαίου δείγματος, έχουμε μία στοχαστική (τυχαία) διαδικασία

3. Παραδείγματα Μοντέλων Χρονολογικών Σειρών • Ένα στατικό μοντέλο έχει μεταβλητές που ταυτόχρονα συσχετίζονται:yt = b0 + b1zt + ut • Ένα Πεπερασμένο Μοντέλο Κατανεμημένης Χρονικής Υστέρησης (ΠΜΚΧΥ) επιτρέπει μία ή περισσότερες μεταβλητές να επηρεάζουν τηνyμε μια χρονική υστέρηση: yt = a0 + d0zt + d1zt-1 + d2zt-2 + ut • Πιο γενικά, ένα ΠΜΚΧΥ τάξηςqπεριλαμβάνει qχρονικές υστερήσεις (lags) τηςz.

4. Πεπερασμένα Μοντέλα Κατανεμημένης Χρονικής Υστέρησης • Συνήθως καλούμεd0ροπή επίδρασης ή πολλαπλασιαστής επίδρασης – το οποίο αντανακλά την άμεση αλλαγή στοy. • Μία προσωρινή αλλαγή μιας περιόδου,επιστρέφει το y στο αρχικό της επίπεδο στην περίοδοq+1

5. Πεπερασμένα Μοντέλα Κατανεμημένης Χρονικής Υστέρησης (συνεχεία) Συνήθως καλούμε την ποσότηταd0 + d1 +…+ dqμακροχρόνια ροπή ή μακροχρόνιο πολλαπλασιαστή – ο οποίος αντανακλά την μακροχρόνια αλλαγή στοy μετά από μία μόνιμη αύξηση

6. Υποθέσεις για Αμεροληψία • Ακόμη υποθέτουμε ένα μοντέλο που είναι γραμμικό ως προς τις παραμέτρους: yt = b0 + b1xt,1 + . . .+ bkxt,k + ut • Ακόμη χρειάζεται να υποθέτουμε για την υπό προϋποθέσεις προσδοκώμενη τιμή ότι είναι 0: E(ut|X) = 0, t = 1, 2, …, n (X← όλα τα x από όλες τις χρονικές στιγμές • Σημειώστε ότι αυτό υποδηλώνει ότι ο όρος του σφάλματος σε οποιαδήποτε περίοδο είναι ασυσχέτιστη με τις επεξηγηματικές μεταβλητές σε όλες τις χρονικές περιόδους

7. Υποθέσεις (συνέχεια) • Αυτή η υπόθεση ότι η υπό προϋποθέσεις προσδοκώμενη τιμήείναι 0, υποδηλώνει ότι οιx μεταβλητές είναι αυστηρά εξωγενείς • Μία εναλλακτική υπόθεση, πιο συγκρίσιμη στην περίπτωση των διαστρωματικών δεδομένων, είναι E(ut|xt) = 0 • Αυτή η υπόθεση υποδηλώνει ότι οιx μεταβλητές είναι ταυτόχρονα εξωγενείς • Η υπόθεση για ταυτόχρονα εξωγενείς θα είναι επαρκή μόνο για μεγάλα δείγματα

8. Υποθέσεις (συνέχεια) • Ακόμη χρειάζεται να υποθέτουμε ότι κανέναxδεν είναι σταθερό, και ότι δεν υπάρχει τέλεια συγγραμμικότητα • Σημειώστε ότι παραλείψαμε την υπόθεση του τυχαίου δείγματος • Η βασική επιρροή της υπόθεσης του τυχαίου δείγματος είναι ότι κάθεuiείναι ανεξάρτητο • Η αυστηρή υπόθεση των εξωγενών μεταβλητών φροντίζει για την παραπάνω περίπτωση

9. Αμεροληψίαγια OLS • Βασισμένοι σε 3 υποθέσεις, όταν χρησιμοποιούμε δεδομένα από χρονολογικές σειρές, οι OLS εκτιμητές είναι αμερόληπτοι Έτσι, ήταν και στην περίπτωση των διαστρωματικών δεδομένων, κάτω από κατάλληλες υποθέσεις οι OLS είναι αμερόληπτοι. • Το μεροληπτικό σφάλμα της παράλειψης μιας μεταβλητής μπορεί να αναλυθεί με τον ίδιο τρόπο όπως στην περίπτωση των διαστρωματικών δεδομένων

10. Διακυμάνσεις των OLS Εκτιμητών • Όπως και στην περίπτωση των διαστρωματικών δεδομένων, χρειάζεται να προσθέσουμε μία υπόθεση της ομοσκεδαστικότητας για να εξάγουμε διακυμάνσεις • Τώρα υποθέτουμε Var(ut|X) = Var(ut) = s2 • Έτσι, η διακύμανση του σφάλματος είναι ανεξάρτητη από όλα ταx, και είναι σταθερή διαμέσου του χρόνου • Επίσης χρειαζόμαστε την υπόθεση για ανυπαρξία αυτοσυσχέτιση: Corr(ut,us| X)=0 for t  s

11. Διακυμάνσεις για OLS (συνέχεια) • Κάτω από αυτές τις 5 υποθέσεις, οι OLS διακυμάνσεις στην περίπτωση των δεδομένων χρονολογικών σειρών είναι οι ίδιες όπως και στην περίπτωση των διαστρωματικών δεδομένων.Επίσης, • Ο εκτιμητής τουs2είναι ο ίδιος • OLS παραμένει BLUE • Με την επιπρόσθετη υπόθεση των κανονικών σφαλμάτων, η στατιστική επαγωγή ή συμπερασματολογία είναι η ίδια όπως και στα διαστρωματικά δεδομένα

12. Τάσεις στις Χρονολογικές Σειρές • Οι οικονομικές χρονολογικές σειρές συχνά έχουν μία τάση • Επειδή δύο σειρές έχουν παράλληλες τάσεις, δεν μπορούμε να υποθέσουμε ότι αυτή η σχέση προέρχεται από αιτία • Συχνά, και οι δύο σειρές έχουν παράλληλες τάσεις εξαιτίας άλλων παραγόντων που δεν παρατηρούνται • Ακόμα και αν αυτοί οι παράγοντες δεν παρατηρούνται, μπορούμε να ελέγξουμε για αυτούς με την άμεση άρση της τάσης

13. Τάσεις (συνέχεια) • Ένα ενδεχόμενο είναι η γραμμική χρονική τάση, η οποία μπορεί να μοντελοποιηθεί ως yt = a0 + a1t + et, t = 1, 2, … • Άλλο ενδεχόμενο είναι η εκθετική τάση, η οποία μπορεί να μοντελοποιηθεί ως log(yt) = a0 + a1t + et, t = 1, 2, … • Ένα άλλο ενδεχόμενο είναι η τετραγωνική τάση, η οποία μπορεί να μοντελοποιηθεί ως yt = a0 + a1t + a2t2 + et, t = 1, 2, …

14. Αφαίρεση της Τάσης • Προσθέτοντας μία γραμμική χρονική τάση στην παλινδρόμηση είναι το ίδιο πράγμα σαν να κάνουμε «αφαίρεση της τάσης» με σειρές στην παλινδρόμηση • Άρση της τάσης σε μία σειρά περικλείει παλινδρόμηση κάθε μεταβλητής στο μοντέλο με t • Τα κατάλοιπα σχηματίζουν σειρές χωρίς τάση. • Βασικά, η τάση έχει μερικώς αφαιρεθεί(partial out)

15. Αφαίρεση της Τάσης(συνέχεια) • Ένα πλεονέκτημα όταν άρουμε την τάση από τα δεδομένα ( σε αντίθεση με το να προσθέσουμε μία τάση) περικλείει τον υπολογισμό της ποιότητας προσαρμογής (π.χ.) • Παλινδρομήσεις με χρονολογικές σειρές,που έχουν τάση, αναμένονται να έχουν πολύ υψηλόR2, αφού η τάση εξηγεί ένα μέρος της μεταβλητότητας του y • ΤοR2από μία παλινδρόμηση, με δεδομένα από τα οποία έχει αφαιρεθεί η τάση, αντανακλά καλύτερα κατά πόσο καλά οιxtεξηγούν την yt

16. Εποχικότητα • Συχνά δεδομένα με χρονολογικές σειρές παρουσιάζουν κάποια περιοδικότητα, η οποία αναφέρεται ως εποχικότητα • Παράδειγμα: Τριμηνιαία δεδομένα σε λιανικές πωλήσεις θα έχουν παρόμοια τάση κάθε 4ο τρίμηνο • Η εποχικότητα μπορεί να αντιμετωπισθεί κατάλληλα με την προσθήκη εποχικών ψευδομεταβλητών • Όπως και με τις τάσεις, από τις σειρές μπορούμε να αφαιρέσουμε την εποχικότητα προτού να τρέξουμε την παλινδρόμηση