材力 12-1

1. 28 内容 Chap. 12 静不定系统 12.1 概念 12.2 力法正则方程 12.3 简化计算 要求 掌握力法 练习 力法1，正则方程1，对称性简化1 作业 12-8，12（b），13(b) 材力12-1

2. 第十二章 静不定结构 §12.1 概述 一、静不定问题 特点：存在多余约束 仅用静力平衡方程不能全部求解。 二、静不定结构的类型 外力静不定结构-------仅在结构外部存在多余约束 内力静不定结构-------仅在结构内部存在多余约束 一般静不定结构-------结构内、外部存在多余约束

3. F 外力静不定结构

4. P 外力静不定结构

5. F1 F3 外力静不定结构

6. F3 F1 F2 内力静不定结构

7. FN2 FN1 F FAx FAy F 内力静不定结构

8. F F F F1 钢筋 F2 混凝土 内力静不定结构 钢筋混凝土柱中的静不定

9. F 内力静不定桁架

10. F 一般静不定结构

11. 三、静不定问题解法 力 法------ 以未知力为基本参数 位移法------ 以未知位移为基本参数

12. §12.2 力法及其正则方程 一、力法 基本未知量------多余未知力 静定基------ 解除多余约束后的静定结构 确定方法------替换多余约束 数目= 静不定次数 表示方法------ X1，X2 , ¨¨，Xn 相当系统= 静定基+ 载荷 + 多余未知力

13. q B A q B A X1 例 试计算图示结构支座 B 的约束力。 解： 判断：一次静不定 变形协调方程 ΔB= 0 建立相当系统 多余未知力：X1 物理方程： 解得 补充方程：

14. 要点 1. 求解静不定问题不在原结构上解，而是在 相当系统上解； 2. 正确判断静不定次数，选好多余未知力； 3. 对两个系统进行变形比较，建立变形协调 方程； 4. 建立物理方程； 5. 建立补充方程。

15. q 相当系统 B A X1 要点分析（ 1 ） 相当系统 —— 含有多余未知力 补充方程—— 含有多余未知力 补充方程：

16. q B A q B A X1 要点分析（ 2 ） 变形协调方程： ΔB = 0 补充方程是通过两个系统的变形比较得到的 —— 变形比较法 补充方程：

17. 要点分析（ 3 ） 补充方程 ——载荷引起的 B 点位移, 记为Δ1F —— X1 = 1 引起的 B 点位移, 记为δ11 δ11X1＋ Δ1F= 0 —— 力法正则方程

18. F F 1 1 X1 2 2 X2 二、力法正则方程 1. 例 相当系统 Δ1= 0 二次静不定 变形协调方程 Δ2= 0 Δ1 —— X1 作用点的相应位移（水平位移）， Δ2 —— X2 作用点的相应位移（竖直位移）， Δ1，Δ2 均由 X1，X2 和 F 共同作用引起

19. F 1 X1 2 相当系统 X2 材料服从胡克定律 小变形 Δ1 = Δ11＋ Δ12＋ Δ1F= 0 Δ11, Δ12, Δ1F ———分别为X1 , X2 和 F 单独作用 时引起的X1作用点的相应位移 Δ21, Δ22, Δ2F ———分别为X1 , X2 和 F 单独作用 时引起的X2作用点的相应位移 Δ2 = Δ21＋ Δ22＋ Δ2F = 0 上述位移均可用能量法计算（如单位载荷法）

20. Δ1 = Δ11＋ Δ12＋ Δ1F= 0 Δ2 = Δ21＋ Δ22＋ Δ2F = 0 Δ1= δ11X1 ＋δ12X2 ＋ Δ1F= 0 Δ2= δ21X1 ＋δ22X2 ＋ Δ2F= 0 将多余未知力分离出来，记 Δij=δijXj δij —— Xj=1 引起的 Xi作用点的相应位移, 可用单位载荷法计算 ————力法正则方程

21. Δ2F Δ1F F F 1 1 X1 2 2 δ11 δ22 X2 X1=1 δ12 δ21 X2=1 δ11, δ12, Δ1F ———分别为X1=1, X2=1和 F 单独作用时引起的X1作用点的相应位移 δ21, δ22, Δ2F ———分别为X1=1, X2=1和 F 单独作用时引起的X2作用点的相应位移

22. 2.力法正则方程 —— 一般形式 δ11X1 ＋δ12X2 ＋…＋ δ1nXn＋Δ1F= f1 设静不定次数为 n δ21X1 ＋δ22X2 ＋…＋ δ2nXn＋ Δ2F= f2 …… δn1X1 ＋δn2X2 ＋…＋ δnnXn＋ ΔnF= fn δij —— Xj = 1 引起的 i 点沿 Xi 方向的位移（广义） ΔiF—— 全部载荷引起的i 点沿Xi 方向的位移（广义） fi —— i 点沿Xi 方向的实际位移（广义）

23. δi1X1＋δi2X2 ＋…＋ δinXn＋ ΔiF= fi 意义： δi1X1＋δi2X2 ＋…＋ δinXn ——— 全部多余未知力共同作用引起i 点 沿 Xi 方向的位移 ΔiF——— 全部载荷（不包括多余未知力）作用 引起的 i 点沿 Xi 方向的位移 fi——— i 点沿 Xi 方向的实际位移 方程的意义：全部多余未知力和全部载荷共同作用 引起 i 点沿 Xi方向的位移,等于实际 位移

24. q q X1 C δ11X1 ＋δ12X2 ＋ Δ1F= 0 B B C δ21X1 ＋δ22X2 ＋ Δ2F= 0 X2 a a 相当系统 A A a a 例题 已知：平面刚架各段弯曲刚度EI为相同常量 求:作弯矩图 解： 1. 判断：二次静不定 2. 建立相当系统 如图 3. 列力法正则方程

25. q X1=1 a X1 C B X2 X2=1 a 相当系统 A a a MF 4. 求系数和自由项： 分别作载荷和单位力弯矩图

26. a X1=1 X2=1 MF a

27. 5. 求解力法方程 解出

28. X1=1 q MF a B C M a a A a X2=1 5. 作M 图

29. C B C B l/2 l/2 X1 F F l/2 l/2 相当系统 A A l l 例题12-3 已知：平面刚架各段弯曲刚度EI为相同常量，B端弹 簧支座，弹簧刚度为k =3EI/l3。 求:作弯矩图 解： 1. 判断：一次静不定 2. 建立相当系统 如图 3. 列力法正则方程 δ11X1 ＋ Δ1F= –X1/k

30. C B l l/2 X1 F X1=1 l/2 相当系统 A MF l 4. 求系数和自由项： 分别作载荷和单位力弯矩图

31. l X1=1 MF 解出 5. 求解力法方程 6. 作弯矩图 若k=∞（刚性支座）

32. §12.3静不定问题的简化计算 力法解静不定结构是在相当系统上进 行的，相当系统不同，计算工作量可能大 不相同。 对称结构静不定问题，可以利用其对 称性质，将计算工作简化。

33. 对称轴 对称轴 EI EI2 EI1 对称轴 l 对称轴 EI1 EI1 l EI EI2 EI2 EI1 l l 一、几个概念 1.对称结构 对称结构是指具有对称性的结构。 需包括两个方面： （1）结构的几何形状和支承情况对某一轴线对称。 （2）杆件截面和材料性质也对此轴对称。

34. l l l 对称结构 对称轴

35. F F 2. 对称载荷与反对称载荷 对称载荷 ——载荷的大小，方向，作用点 对称于结构的对称轴 对称载荷

36. F F 反对称载荷 —— 将对称面（轴）一侧的载荷 反向，若变为对称载荷，则原来的载荷便 是反对称载荷。 反对称载荷

37. F F l l 对称载荷 对称的力: 将结构计算简图沿对称轴对折后，力完全重合 （作用点对应，数值相等，方向相同）。 反对称的力： 将结构计算简图沿对称轴对折后，力重合但方 向相反（作用点对应，数值相等，方向相反）。

38. M M FQ FQ FQ FQ FN FN FN FN 3. 对称内力和反对称内力 对称内力 —— FN , M 反对称内力 —— FQ

39. 二、对称问题和反对称问题 1. 对称问题 —— 结构对称，载荷对称 约束力、内力分量、变形和 位移都是对称的; 对称面上反对称内力必为零； 对称面的反对称位移必为零。

40. 对称面 FQ FQ 对称面上的内力需要满足两个要求： （1）对称性要求； （2）作用反作用要求。 对称内力自然满足这两个要求； 反对称内力只有为零时才可能同时满足这两个要求。 所以， 对称问题对称面上 FQ = 0 .

41. q q M 对称问题 内力、变形和 位移都对称 原问题为三次静不定，利用对称性简化 只剩一个未知量：弯矩M 。 几何方程为 θ = 0

42. 2. 反对称问题 —— 结构对称，载荷反对称 约束力、内力分量、变形和位移都 是反对称的； 对称面上对称内力必为零； 对称面对称位移必为零。

43. F F F FQ 反对称问题 内力、变形和 位移都反对称 原问题为三次静不定，利用对称性简化 只剩一个未知量：剪力FQ。 几何方程为 w = 0

44. F F a a F 1 X1 相当系统 解：三次静不定， 反对称问题， 选相当系统如图， 简化为一个未知数。 例：作图示平面刚架弯矩图 （EI为常数）。 列方程 δ11X1+Δ1F= 0 MF Fa

45. MF Fa 1 求系数 求解力法方程δ11X1+Δ1F= 0

46. MF Fa 1 作弯矩图 M

47. 作业 12-8 12-12（b） 12-13(b) 再见