revisão 1 MATEMÁTICA B

1. revisão 1MATEMÁTICA B Prof. GUIBA guibasr@yahoo.com.br http://muraldoguiba.wordpress.com

2. Progressões Aritméticas (PA) • Uma PA é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com uma determinada constante (razão). • Ex.: (4, 7, 10, 13,16, ...) é uma PA de primeiro termo igual a 4 e razão 3. • Ex.: (21, 16, 11, 6, 1, –4, –9, ...) é uma PA de primeiro termo igual a 21 e razão –5.

3. Relações importantes • a) Termo geral da PA • b) Se tivermos 3 termos (a,b,c) em PA, afirma-se que • c) A soma do primeiro termo mais o último é igual ao segundo mais o penúltimo e assim por diante. • Dica extra: A propriedade b) pode ser colocada desta forma também: representação genérica de PA de 3 termos de razão r.

4. Questão (UDESC – 2009.1) Sejam x, y, z números reais tais que a seqüência abaixo, nesta ordem, uma progressão aritmética, então o valor da soma x+y+z é: a) -3/8 b) 21/8 c) 15/8 d) 2 e) -19/8

5. Resolução • Se a soma do primeiro termo mais o último é igual ao segundo mais o penúltimo, então Além disso, como os termos 1, y e ¼ estão em PA, então Assim,

6. (UDESC – 2009.1) Sejam x, y, z números reais tais que a seqüência abaixo formam, nesta ordem, uma progressão aritmética, então o valor da soma x+y+z é: a) -3/8 b) 21/8 c) 15/8 d) 2 e) -19/8

7. Questão A soma do três primeiros termos de uma PA é 27 e o quinto termo também é 27. Determine o sexto termo dessa PA. Resolução: • Se os três primeiros termos têm soma 27, então, colocando a forma (x – r, x, x + r), temos que: • O segundo termo da PA vale 9. Se o quinto é 27, temos: • Se o quinto termo é 27 e a razão 6, o sexto termo é 33. • Resposta: O sexto termo é 33.

8. Soma dos termos de uma PA • A soma dos termos de uma PA é dada por: • Ex.: Calcular a soma dos termos de uma PA de 40 termos, sendo o primeiro igual a –3 e o último, 77.

9. Questão No projeto de uma sala de cinema, um arquiteto desenhou a planta projetando 16 fileiras de poltronas. A primeira terá 20 poltronas, enquanto da segunda em diante, serão duas poltronas a mais que na fileira anterior. Quantas poltronas terá na sala? • 348 • 380 • 420 • 720 • 560

10. Resolução • Pelo enunciado, a fileira 1 tem 20 cadeiras, a 2, 22 cadeiras, a 3, 24 cadeiras, e assim por diante, até a fileira 16, que terá an poltronas. Logo, temos a seguinte PA, de razão 2 e de 20 termos. Para podermos calcular ainda resta-nos descobrir o termo a16. Assim, o podemos calcular a soma dos termos da PA, que será o total de poltronas na sala.

11. No projeto de uma sala de cinema, um arquiteto desenhou a planta projetando 16 fileiras de poltronas. A primeira terá 20 poltronas, enquanto da segunda em diante, serão duas poltronas a mais que na fileira anterior. Quantas poltronas terá na sala? • 348 • 380 • 420 • 720 • 560

12. Progressões Geométricas (PG) • Uma PG é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é o produto do anterior com uma determinada constante (razão). • Ex.: (2, 4, 8, 16, 32,...) é uma PG de primeiro termo igual a 2 e razão 2. • Ex.: (27, 9, 3, 1, 1/3, 1/9, ...) é uma PG de primeiro termo igual a 27 e razão 1/3. • Ex.: (4, –12, 36, –108, 324, –972, ...) é uma PG de primeiro termo igual a 4 e razão igual a –3.

13. Relações importantes • a) Termo geral da PG: • b) Se tivermos 3 termos (a,b,c) em PG, afirma-se que • c) O produto do primeiro termo vezes o último é igual ao segundo termo vezes o penúltimo e assim por diante. • Dica extra: A propriedade b) pode ser colocada da seguinte forma também: representação genérica de PG de 3 termos de razão q.

14. Questão (UDESC – 2008.1) O primeiro termo de uma progressão geométrica é 10, o quarto termo é 80; logo, a razão dessa progressão é: • 2 • 10 • 5 • 4 • 6

15. Resolução • Pelas informações, a1 = 10 e a4 = 80. Podemos calcular a razão da PG partindo de • 2 • 10 • 5 • 4 • 6

16. Questão O produto entre o segundo, o quarto e o sexto termos de uma PG (de razão ½) é 125. Qual é o primeiro termo? • 62,5 • 25 • 5 • 20 • 40

17. Resolução • O segundo, o quarto e o sexto termos (a2, a4, a6) formam uma PG. • Assim, • Se a razão é ½ , ocorre: • 62,5 • 25 • 5 • 20 • 40

18. Soma dos termos de uma PG • A soma dos n primeiros termos de uma PG é dada por • Ex.: Calcula a soma dos nove primeiros termos de uma PG de razão 3 e primeiro termo igual a 1.

19. Questão • Se colocarmos 3 grãos de arroz na primeira cada de um tabuleiro de xadrez, 6 na segunda, 12 na terceira, 36 na quarta e assim por diante, quantos grãos de arroz serão necessários para encher as oito primeiras casas do tabuleiro?

20. Resolução • Nesse caso, teremos que considerar a PG (3, 6, 12, 24, ..., a8), de primeiro termo igual a 3 e razão 2. A quantidade de grãos será a soma dos termos da PG. • Resposta: Precisaremos de 765 grãos para encher as oito primeiras casas do tabuleiro.

21. Soma limite • Quando tivermos uma PG com infinitos termos, mas seus termos estiverem se aproximando de zero (que implica –1 < q < 1), podemos dizer que a soma limite será dada por, fazendo qn = 0:

22. Questão Guiba dirige seu simpático Chevrolet Celta quando avista uma vaca no meio da pista. Ele aciona os freios, a 60 metros de distância do animal. Então, o carro percorre 30 metros no primeiro segundo, e em cada segundo seguinte, 2/3 da distância percorrida no segundo anterior. Calcule o susto da vaca! (brincadeirinha... hehe) Qual seria a soma limite das distâncias percorridas em cada segundo? Dependendo do tempo até o carro parar, poderá haver a colisão entre o carro e o mamífero?

23. Resolução • Considerando as distâncias percorridas em cada segundo, considerando “infinitos segundos”, teremos uma PG de primeiro termo 30 e razão 2/3. A soma desses “infinitos termos” será Resposta: A soma limite é 90 m (maior que a distância entre os corpos), e Guiba está em maus lençóis!

24. GALERA, “I know what I want I say what I want And no one can take it away”. “Eu sei o que quero Eu digo o que quero E ninguém pode tirar isso de mim” Refrão da canção “Journeyman”, da banda inglesa Iron Maiden.