§3.4 复杂系统决策模型与层次分析法 Analitic Hierachy Process (AHP)

§3.4 复杂系统决策模型与层次分析法Analitic Hierachy Process (AHP)

对难于完全定量的复杂系统作出决策的模型和方法。对难于完全定量的复杂系统作出决策的模型和方法。一. 问题举例 • 1. 在海尔、新飞、容声和雪花四个牌号的电冰箱中选购一种。要考虑品牌的信誉、冰箱的功能、价格和耗电量。 • 2. 在泰山、杭州和承德三处选择一个旅游点。要考虑景点的景色、居住的环境、饮食的特色、交通便利和旅游的费用。 • 3. 在基础研究、应用研究和数学教育中选择一个领域申报科研课题。要考虑成果的贡献（实用价值、科学意义），可行性（难度、周期和经费）和人才培养。

二. 模型和方法 • 1. 层次结构模型 • 将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。 • 最高层：决策的目的、要解决的问题。 • 最低层：决策时的备选方案。 • 中间层：考虑的因素、决策的准则。 • 对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。

选购冰箱 • 例1. 选购冰箱品牌功能价格耗电海尔新飞容声雪花

旅游景点 • 例2. 旅游景点费用景色居住饮食交通杭州泰山承德

科研课题 • 例3. 科研课题贡献可行性人才培养实用价值学术意义难度周期经费基础应用教育

2. 因素判断模型 • 10. 判断矩阵：令正数 aij 为因素xi、xj对目标 Z 的影响的相对重要性指标。 • aij = 1： xi 与 xj 对目标 Z 的重要性相当。 • aij > 1：对目标 Z来说 xi 比 xj重要, 其数值大小表示重要的程度。 • 显然有 aji = 1/ aij 。 • 矩阵 A = （ aij ）称为因素（x1,…,xn）成对比较时的判断矩阵。

20. 正互反矩阵：n × n 矩阵 A = (aij ) 是正互反的, 如果满足条件 aij >0 且 aji =1/ aij • 30. aij 的估计: 九级标度法 • xi/xj相当较重要重要很重要绝对重要 • aij 13 5 7 9

40. 例. 选择旅游景点 • Z：目标，选择景点 • y：因素，决策准则 • y1费用, y2景色, y3居住, y4饮食, y5交通 • X：对象，备选方案 • X1杭州，X2 泰山，X3 承德， • 因素对目标的判断矩阵

3. 因素排序及其一致性 • 10. 权重向量 • 令λ1为A的最大(模)特征根, 则 λ1>0. • 令w为与 λ1对应的A的特征向量, 则w>0. • 归一化: wi*=wi/wi, 有 w*=(w1*,…,wn*)’ • 称 w*为因素 y 对目标 Z 相对重要性的权重。

20. 排序的一致性 • 比较的一致性：对于因素关于目标重要性比较的指标aij, 若对任意的k, 满足aij=aikakj, 则称这个比较是一致的。 • 排序的一致性：一致性指标 CI (Consensus index) • CI=(λ1-n)/(n-1)，CI>=0。 • CI = 0, A有完全的一致性。 • CI接近于 0, A 有满意的一致性。

一致性判断矩阵与因素排序 • 一致性判断矩阵：所有元素满足一致性条件 • aij = aik akj • 的判断矩阵。 • 一致性判断矩阵的特征向量就是因素的排序

矩阵的一致性 定理 1. (Peron-Frobenious) 非负矩阵存在正的最大模特征根,对应着正的特征向量。 • 定理 2. 一致的正互反阵的秩等于 1，主特征根为n，若特征向量为 w = (w1,…,wn)’, 则有 aij = wi / wj。 • 定理 3. n 阶判断矩阵是一致的，当且仅当 λ1=n。

定理 2 证明 • 一致性正互反矩阵中任意两列元素成比例 • aij = m aih，i=1,…,n • 由一致性：aij = aik akj，aih = aik akh，则 • aij /aih= akj /akh=m, 即 aij = m aih,i =1,…,n • 由 aij = aik/ajk， • 令a=(a1k a2k… ank)’, a-1=(1/a1k 1/a2k… 1/ank)’ • 则有 A = aa-1’ , 判断矩阵的秩为 1. • 且有 A a = aa-1’a= na

一致性判断矩阵各列均是判断矩阵的特征向量 • 若特征向量为 w = (w1,…,wn)’, 则有 • aij = aik/ajk = wi / wj。 • 表示wi与 wj之间的比值, 是这两者重要性之间的一个判断. • w就是各对象之间的一个排序. • 即:各列均表示被判断元素之间的排序。

定理 3 证明

随机一致性指标 • 固定 n, 令 A 的上三角从{1/9,…,1,2,…,9}中随机取值, 构成正互反矩阵。计算它的 CI。 • 对每个 n = 1, 2, …, 9 分别随机地抽取 n=100~500 个样本, 得到 Ank和 CInk (不一致判断矩阵的指标)。取 • 则 CI > RI时, 判断矩阵明显不具有一致性。 • 取 α < 0.1 , 则当 CI < αRI时, A 在水准α下有满意的一致性.

平均随机一致性指标 RI • n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 • RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 • CR = CI / RI < 0.1 时, A 有满意的一致性。

AHP的计算 • 1. 最大特征根与特征向量的计算—幂法 • 给定 A > 0, 对任x>0 则 • 若取 • 则 • 特征根为

特征根与特征向量的近似算法 • 计算行(几何)平均 • 归一化 • 特征根

MATLAB算法 • %对于形如 A = (mij/hij)的正互反阵，求特征值和特征向量。 • >>B=[m11,…m1n;m21,…,m2n;…;mn1,…,mnn]; • >>A=B./B’ >>[X,D]=eig(A)

例. 准则对目标的排序 • A 有特征根 λ = 5.019 • w = (0.48, 0.26, 0.05, 0.10, 0.11)’ • CI = (λ-5) /(5-1) = 0019/4 = 0.00475 • CR = 0.00475 / 1.12 = 0.004246 < 0.1 A 有满意的一致性。

备选对象对决策准则的判别矩阵

4. 总排序及其一致性 • 10. 模型及参数 • 模型： • 参数：y对目标 Z有判断矩阵 A • 排序权重 a =(a1, …, a5) • x对准则 yj 有判断矩阵 Bj • 排序权重bj=(b1j, b2j, b3j)’ • 记 B = (b1, b2, …, b5) • CIj(x): x对 yj 的 CI; RIj(x): x对 yj 的 RI. • CIZ(x): x对 Z的 CI; RIZ(x): x对 Z的 RI.

20. 对象对目标的排序 • 30. 排序的一致性 • w= (0.293, 0.311, 0.446)’

§3.4 复杂系统决策模型与层次分析法 Analitic Hierachy Process (AHP)