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空間 之柱面 座標、球面座標 、直線 與平面

空間 之柱面 座標、球面座標 、直線 與平面. 班級 : 控晶一乙 組別 : 第 4 組 口頭報告 : 許哲維 收集 資料 : 陳聖文、謝宗翰 PTT 製作 : 郭和明、張彥 指導老師 : 張淑慧 老師. 直線與平面.

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空間 之柱面 座標、球面座標 、直線 與平面

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Presentation Transcript

  1. 空間之柱面座標、球面座標 、直線與平面 班級: 控晶一乙 組別: 第4組 口頭報告: 許哲維 收集資料: 陳聖文、謝宗翰 PTT製作 : 郭和明、張彥 指導老師: 張淑慧 老師

  2. 直線與平面

  3. 此平面上的點P必在平面E的上方或下方，所以對於空間中一點P做一直線L垂直E於Q，假設Q點的坐標為(a,b)，再將L以Q為原點坐標化，設P點在數線L上的坐標為c，則a,b,c三數可以清楚的定出P點的空間位置。為了避免過P點且垂直平面E的L隨P點不同兒平行變動，所以固定過原點O做一數線垂直平面E，並稱之為z軸。

  4. 例:設直線﹐ ，t是實數﹐平面﹐問 直線L與平面E是否相交？若相交﹐則交點坐標為何？ 答: 由直線L的參數式知﹐L上的點坐標皆為(5+2t, -3-2t , 1+t)的形式﹐ 代入平面E的方程式﹐得3(5+2t)-(-3-2t)-4(1+t)-2=0， 4t+12=0得 t = -3 ﹐故直線L與平面E相交﹐且交點為(- 1 , 3 ,-2)

  5. 例: 坐標空間中，設直線﹐ ，t是實數，求點 A 在直線L上的投影點坐標﹒ 答: 設投影點為﹐ 則與直線L的方向向量垂直﹐ 故 , , 得﹐故投影點的坐標為﹒

  6. 空間之柱面座標 與球面座標

  7. 柱坐標和球坐標(Cylindrical and spherical coordinates) 柱坐標(Cylindrical coordinates) 在一個柱坐標系中，一點 P 的坐標記成 (r,θ, z) 1. (r,θ)是 P 點在 xy-平面投影的極坐標。 2.z 是原本直角坐標系中的 z 坐標。 直角坐標與柱坐標之間的互換方式如下圖。 柱坐標換到直角坐標： 直角坐標換到柱坐標：

  8. 例題 柱坐標換到直角坐標 將 (r,θ, z) = (4, 5π/6, 3) 以直角坐標表示。 解　代入坐標變換公式得到 所以在直角坐標系中，該點是　 如圖所示:　　　　　　　　 ，

  9. 球坐標系統(Spherical coordinates) 在球坐標系統中，點 P 的坐標是 (ρ,θ ,f) 的意義如下 1. ρ是 P 到原點的距離，ρ≥ 0。 2. θ是在柱坐標時所用的角度，亦即θ是 P 點投影到 xy-平面，考量極坐標時的角度（可以差上偶數個）。 3. f是 z 軸正向和　　的夾角，0 ≤f≤π。 注意到第一和第三這兩個坐標ρ和f都 ≥ 0，ρ是小寫 希臘字母 rho，f是小寫希臘字母 phi。

  10. 球坐標(Spherical coordinates) 直角坐標和球坐標的關係如圖，其互換公式如下 球坐標換到直角坐標： 直角坐標換到球坐標： 柱坐標和球坐標互換的公式如下 球坐標換到柱坐標（r ≥ 0）： 柱坐標換到球坐標（r ≥ 0）：

  11. 直角坐標換到球坐標 例題 在直角坐標系，兩曲面方程式如下，求球坐標方程式。 a. 錐面：x2 + y2 = z2 b. 球面：x2 + y2 + z2 – 4z = 0 解 a. 適當的代入 x, y 和 z，得到 方程式f=π/4 表示上半錐面，方程式f= 3π/4 表示下 半錐面。

  12. b. 因為ρ2 = x2 + y2 + z2且 z =ρcosf，代入之後，得到 暫時先不管ρ= 0 的情形，除去ρ後得到球坐標方程式 注意到此方程式含ρ= 0 的點（ρ= 0, f=π/2），所以 去掉ρ的因式不影響方程式的解，本題中球面的球方程 式是ρ= 4 cosf，如圖 所示。

  13. 參考資料(學術用) • http://ecewww.niu.edu.tw/lyhsu/post/..%5Cdatabase%5Cgrade%5C%E9%82%B1%E5%BB%BA%E6%96%87%5CCH11.7-english.ppt • http://math1.ck.tp.edu.tw/%E9%99%B3%E5%98%AF%E8%99%8E/%E5%B0%8F%E8%99%8E/99%E8%AA%B2%E7%B6%B1/%E7%AC%AC%E5%9B%9B%E5%86%8A/%E8%AA%B2%E6%9C%AC%E7%BF%92%E9%A1%8C/%E6%95%B8%E5%AD%B84_2-2%E7%A9%BA%E9%96%93%E4%B8%AD%E7%9A%84%E7%9B%B4%E7%B7%9A%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F(%E8%AA%B2%E6%9C%AC%E9%A1%8C).doc • http://math1.ck.tp.edu.tw/%E6%9E%97%E4%BF%A1%E5%AE%89/%E5%AD%B8%E8%A1%93%E7%A0%94%E7%A9%B6/%E4%B8%8A%E8%AA%B2%E8%AC%9B%E7%BE%A9/%E7%AC%AC%E4%B8%89%E5%86%8A/2-2%E7%A9%BA%E9%96%93%E5%90%91%E9%87%8F.pdf

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