函数的极值与导数

1. 函数的极值与导数 苏州市东山中学

2. 【复习与思考】 已知函数 f(x)=2x3-6x2+7 (1)求f(x)的单调区间,并画出其图象; (2)函数f(x)在x=0和x=2处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系?

3. 【函数极值的定义】 设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义， (1)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都大，即f(x)<f(x0),则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极大值.记作:y极大值=f(x0) (2)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都小，即f(x)>f(x0),则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极小值.记作:y极小值=f(x0) 极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点.

4. y x2 O x1 x3 x a x4 b 观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.

5. 【关于极值概念的几点说明】 (1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况; (2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值; (3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值; (4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而函数的最值既可能在区间的内部取得，也可能在区间的端点取得。

6. y x2 O x1 x3 x a x4 b 【问题探究】 函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?在极值点附近的导数符号有什么规律?

7. 【函数的极值与导数的关系】 (1)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x0)>0 右侧f /(x0)<0, 那么f(x0)是极大值 (2)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x0)<0 右侧f /(x0)>0, 那么f(x0)是极小值

8. 【求函数极值的步骤】 （1） 求导数f/(x)； （2） 解方程 f/(x)=0 （3） 通过列表检查f/(x)在方程f/(x)=0的根的左右两侧的符号，进而确定函数的极值点与极值.

9. 例题: 求函数 的极值. 【课堂练习】课本P31

10. 例2:求函数 的极值.

11. 【思考交流】 导数值为0的点一定是函数的极值点吗? 对于可导函数而言,其极值点一定是导数为0的点,反之导数为0的点不一定是函数的极值点.因此:导数值为0的点是该点为极值点的必要非充分条件.