ЭКОНОМЕТРИКА

1. ЭКОНОМЕТРИКА Лекция 11 Тестирование автокорреляции Обобщенный метод наименьших квадратов

2. Что Вы должны знатьи уметь!? • Делать спецификацию модели • 2. Подбирать данные для оценки параметров модели • 3. Оценивать модель и анализировать результаты: • 3.1. Процедура МНК (теорема Гаусса-Маркова) • 3.2. Оценка качества спецификации модели • - коэффициент детерминации R2, F-тест • - статистическая значимость факторов (регрессоров) • - наличие мультиколлинеарности • 3.3. Тестирование качества оценок параметров модели • - тестирование модели на гетероскедастичность - тестирование автокоррелируемости случайных возмущений

3. Понятие автокорреляции Модель называется автокоррелированной, если не выполняется третья предпосылка теоремы Гаусса-Маркова: Cov(ui,uj)≠0 при i≠j Автокорреляция чаще всего появляется в моделях временных рядов и моделировании циклических процессов Причина – неправильный выбор спецификации модели. Последствия автокорреляции - оценки коэффициентов теряют эффективность; - стандартные ошибки коэффициентов занижены

4. Понятие автокорреляции Диаграмма рассеяния с положительной автокорреляцией Признак – чередование зон с повышенными и заниженными значениями по отношению к тренду

5. Понятие автокорреляции Пример отрицательной автокорреляции случайных возмущений Признак – наблюдения действуют друг на друга по принципу «маятника»

6. Типы автокорреляции Модели с автокоррелированными остатками называются авторегрессионными Рассматриваем модель парной регрессии Авторегрессия 1-го порядка : AR(1) Авторегрессия 5-го порядка : AR(5) Авторкорреляция скользящих средних 3-го порядка:

7. Тест Дарбина-Уотсона 1. Предпосылки теста Случайные возмущения распределены по нормальному закону Имеет место авторегрессия первого порядка: 2. Статистика для проверки гипотезы:

8. Тест Дарбина-Уотсона 3. Свойства статистики DW где: r- коэффициент корреляции между случайными возмущениями Из этого выражения следует: DW изменятся в пределах (0 – 4) При этом если r = 1, DW=0- положительная корреляция если r = 0, DW=2-; отсутствие корреляции если r=-1, DW=4- отрицательная корреляция

9. Тест Дарбина-Уотсона Особенности статистики DW: Для статистики DW не возможно найти критическое значение, т.к. оно зависит не только от Рдов и степеней свободы k и n, но и от абсолютных значений регрессоров Возможно определить границы интервала DLи Du внутри которого критическое значение DWкр находится: DL≤ DWкр≤ Du Значения Duи DLнаходятся по таблицам

10. Тест Дарбина-Уотсона положительная автокорреляция нет автокорреляции отрицательная автокорреляция 0 dcrit dU 2 dcrit 4 dL 4-du 4-dL Нет автокорреляции Положительная автокорреляция Отрицательная автокорреляция Интервалы (DL, Du) и (4-DL, 4-Du) зоны неопределенности

11. Тестирование автокорреляции Государственные расходы на образование в различных странах

12. Тестирование автокорреляции Результаты расчетов: Модель: Границы интервала – dL=1.35; du=1.49 DW< dL Вывод: модель автокоррелирована

13. Тестирование автокорреляции Относительные расходы на образование в различных странах

14. Тестирование автокорреляции Результаты построения модели: Границы интервала – dL=1.35; du=1.49 du<DW< 2.0 Вывод:модель не автокоррелирована

15. Метод исправления автокорреляции Рассматривается случай авторегрессии первого порядка: Тогда: Cov(εt,Ut-1)=0, т.к. переменные независимые Следовательно: (11.1)

16. Метод исправления автокорреляции Т.к. U0отсутствует, полагаем, что σ2(U1) =σ2(U0) Тогда из (11.1) следует: (11.2) Множитель (1-ρ2) обеспечивает стационарность σ2(Ut),т.е.постоянство σ2(Ut) Выражение (11.2) – начальное условие для σ2(U0) Из выражения (11.1) с учетом (11.2) вытекает:

17. Метод исправления автокорреляции Для произвольного наблюдения t в силу рекурентности (11.1) имеем: (11.3) Вывод: введение корректирующего множителя (1-ρ2)обеспечивает постоянство σ2(U) во всех наблюдениях и, следовательно, отсутствие автокорреляции между случайными возмущениями

18. Метод исправления автокорреляции Рассмотрим два последовательных уравнения наблюдения (11.4) (11.5) Умножим уравнение (11.5) на ρ и вычтем из (11.4) (11.5-1) Учитывая, что ut-ρut-1=εtи делая замену переменных: получим систему уравнений, в которых дисперсия случайных возмущений постоянна (11.6)

19. Метод устранения автокорреляции Параметры уравнения (11.6) можно оценить с помощью МНК Если значение ρизвестно, то решение окончено Замечание.Уравнения (11.6) имеют смысл при t=2, т.к. при t=1 оно не может быть получено Для включения первого уравнения наблюдений в систему (11.6) его умножают на (1-ρ)½ Этот множитель (поправка Прайса-Уинстона) беспечивает уменьшение влияния первого уравнения на все остальные при ρ близких к единице Тогда окончательно система уравнений наблюдений принимает вид: (11.7)

20. Методы оценки моделей при наличии автокорреляции Процедура Кохрейна-Оркатта Шаг 1. Получают МНК оценки исходной модели (11.4) и вычисляются значения uiдля каждого уравнения наблюдений Шаг2. Формируется схема Гаусса-Маркова для модели (11.8) и оценивается МНК значение ρ1 Шаг 3. С найденной оценкой ρ1 производят преобразо-вание исходной модели (11.4) по правилу: (11.7) (11.7)

21. Методы оценки моделей при наличии автокорреляции Шаг 4. Находятся МНК оценки параметров модели (11.4) по уравнениям наблюдений (11.7) Шаг 5. Вычисляются новые значения случайных возмущений Uiи строится схема Гаусса-Маркова для оценки модели (11.8) Шаг 6. Находится очередная МНК оценка коэффициента ρ2 Шаг 7. Проверяется условие отсутствия автокорреляции и и условие ρ<δ В случае не выполнения этого условия вновь повторяются процедуры шагов 3-7 В качестве оценок параметров модели (11.4) принимаются оценки, полученные при последнем выполнении шага 4

22. Методы оценки моделей при наличии автокорреляции Метод Дарбина Уравнение (11.5-1) переписывается следующим образом (11.9) В уравнение регрессии включается лаговое значение эндогенной переменной и производится оценка, входящих в него параметров: Полученные значения параметров ρ, bi, ai, позволяют полностьюопределить исходную модель

23. Обобщенный метод наименьших квадратов В общем случае, когда не выполняются предпосылки теоремы гаусса-Маркова 2 и 3, тогда: (11.9)

24. Обобщенный метод наименьших квадратов Теорема Эйткена. Если матрица Х коэффициентов уравнения наблюдений имеет полный ранг, М(ui)=0, а матрица ковариаций случайных возмущений имеет вид (11.9), то наилучшие оценки параметров линейной модели множественной регрессии дает процедура: (11.10) Если: Ω=E, то (11.10) превращается в МНК pi≠Const, а Cij=0 – (11.10) превращается в ВМНК

25. Понятие автокорреляции Выводы: 1. Приводит к потере эффективности оценок параметров модели множественной регрессии 2. Тест Дарбина Уотсона позволяет оценить наличие автокорреляции 3. Обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК) позволяет получать наилучшие оценки параметров линейной модели множественной регрессии в случае наличия гетероскедастичности и автокорреляции