1 / 52

y = x 2 -1

6.2.1. PARAABELI (2. ASTEEN FUNKTION KUVAAJIA). y = x 2 +1. y = x 2. y = x 2 -1. aukeavat ylöspäin symmetrisiä y-akselin suhteen y-akseli on paraabelin akseli. Toisen asteen polynomifunktio f(x) = ax 2 + bx + c , a  0 * kuvaaja paraabeli

timothy-salas
Download Presentation

y = x 2 -1

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 6.2.1. PARAABELI (2. ASTEEN FUNKTION KUVAAJIA) y = x2+1 y = x2 y = x2 -1 aukeavat ylöspäin symmetrisiä y-akselin suhteen y-akseli on paraabelin akseli

  2. Toisen asteen polynomifunktio f(x) = ax2 + bx + c , a  0 * kuvaaja paraabeli * sijainti koordinaatistossa riippuu kertoimista a, b, c * kaartumisen jyrkkyys riippuu kertoimesta a * paraabeli on symmetrinen huipun kautta kulkevan pystysuoran akselin suhteen Jos a > 0, paraabeli ylöspäin aukeava Jos a < 0, paraabeli alaspäin aukeava

  3. Nollakohtien lukumäärä eli a > 0 a < 0 2 nk ax2 + bx + c= 0, a0 1 nk ei nk

  4. x y = x2 - 4 -2 (-2)2 - 4 = 0 -1 (-1)2 - 4 = -3 0 02 - 4 = -4 1 12 - 4 = -3 2 22 - 4 = 0 E.1. Piirrä paraabeli y = x2 - 4

  5. 7.1.1. Toisen asteen yhtälön perusmuoto x2 + bx + c = 0, a  0 7.1.2. Yhtälö ax2 + bx = 0 - vasen puoli jaetaan tekijöihin - tulo on nolla jos ja vain jos jokin tulon tekijöistä on nolla Tulon nollasääntö ab = 0  a = 0 tai b = 0 E.1. x(x – 2) = 0 x = 0 tai x – 2 = 0 x = 2

  6. E.2. a) 4x2 – 8x = 0 4x(x – 2) = 0 4x = 0 |:4 tai x – 2 = 0 x = 0x = 2 V: x1 = 0, x2 = 2 b) x2 = -4x x2 + 4x = 0 x(x + 4) = 0 x = 0 tai x + 4 = 0 x = -4 V: x1 = 0, x2 = -4

  7. 7.1.3. Yhtälö ax2 + c = 0 - ratkaistaan ensin x2: x2 = r tai E.3. a) x2 – 9 = 0 x2 = 9 x = ±3 b) 2x2 – 10 = 0 2x2 = 10 |:2 x2 = 5

  8. E.4. a) (x + 2)(x – 2) = 12 x2 – 4 = 12 x2 = 16 x = ±4 b) (x + 2)2 = 4x x2 +4x + 4 = 4x x2 +4x + 4 - 4x = 0 x2 = -4 V: ei reaalista ratkaisua

  9. E.5. 10x3 – 10x = 0 10x(x2 – 1) = 0 10x = 0 | :10 tai x2 – 1 = 0 x = 0 x2 = 1 x = ±1

  10. 7.2.2. asteen yhtälön ratkaisukaava ax2 + bx + c= 0, a0 Taulukkokirja! E.1. x2 + 4x - 5 = 0 a = 1 b = 4 c = -5

  11. E.2. Ratkaise yhtälö x(x - 3) - 2 = 8 x2 - 3x - 2 = 8 x2 - 3x - 2 - 8 = 0 x2 - 3x - 10 = 0 a =1 b = -3 c = -10 V: x1 = 5, x2 = -2

  12. E.3. Ratkaise yhtälö | ·8 a = 1 b = 6 c = -16 V: x1 = 2 x2 = -8

  13. Esimerkki Tapa 2: Ratkaisukaavalla: a = 4 b = -2 c = 0 4x2 - 2x = 0 Tapa 1: Tulon nollasäännöllä: 2x(2x - 1) = 0 2x = 0 tai 2x - 1 = 0 x = 0 2x = 1 :2 x = ½ x= ½ tai x = 0

  14. Esimerkki Tapa 2: Ratkaisukaavalla: a = 4 b = 0 c = -16 4x2 - 16 = 0 Tapa 1: 4x2 - 16 = 0 4x2 = 16 :4 x2 = 4 x= 2 tai x = -2

  15. 7.2.3. Diskriminantti D = b2 - 4ac eli 2. asteen yhtälön ratkaisukaavassa neliöjuuren alla oleva lauseke. E.1. Laske yhtälön diskriminantti a) x2 + 3x - 4 = 0 b) 3x2 – 4x + 5 = 0 a) a = 1 b = 3 c = -4 D = 32 - 4·1·(-4) = 25 a) a = 3 b = -4 c = 5 D = (-4)2 - 4·3·5 = -44

  16. Toisen asteen yhtälön ratkaisujen lukumäärä diskriminantin avulla ax2 + bx + c = 0 Jos D > 0, on yhtälöllä kaksi erisuurta reaalista ratkaisua. Jos D = 0, on yhtälöllä yksi kaksinkertainen reaalinen ratkaisu. (kaksoisjuuri) Jos D < 0, ei yhtälöllä ole yhtään reaalista ratkaisua

  17. E.2. Montako ratkaisua on yhtälöllä a) 2x2 - 3x - 4 = 0 b) 0,25x2 + x + 1 = 0 c) 3x2 - 4x + 2 = 0 ? a) D = (-3)2 – 4 · 2 · (-4) = 41 > 0  2 ratkaisua b) D = 12 - 4 ·0,25 ·1 = 0  1 ratkaisu c) D = (-4)2 - 4 ·3 ·2 = -8  ei ratkaisua reaalilukujoukossa

  18. E.3. Millä a:n arvoilla yhtälöllä x2 - 4x + a = 0 on a) kaksi b) yksi c) nolla ratkaisua? D = (-4)2 - 4 ·1 ·a = 16 - 4a a) 16 – 4a > 0 -4a > -16 a < 4 b) Yksi ratkaisu, kun D = 0: 16 - 4a = 0 -4a = -16 a = 4 c) 16 – 4a < 0 -4a < -16 a > 4

  19. E.4. Määritä a, kun yhtälöllä x2 + (a – 1)x + 9 = 0 on yksi reaalinen ratkaisu. Mikä on tämä ratkaisu? a = 7: x2 + 6x + 9 = 0 D = (a - 1)2 – 4 · 1· 9 = a2 - 2a + 1 – 36 = a2 – 2a - 35 = -3 a = -5: x2 - 6x + 9 = 0 = 3 a1 = 7 a2 = -5

  20. E.6. Köyden pituus on 100 m. Sillä aidataan 600 m2 suorakulmion muotoinen alue. Miten pitkiä ovat sivut? x 50 - x x(50 - x) = 600 50x - x2 = 600 -x2 + 50x - 600 = 0 x2 – 50x + 600 = 0 V: 30 m, 20 m 20 m, 30 m x1 = 30 x2 = 20

  21. 7.3.1. 2. asteen yhtälön ratkaisujen summa ja tulo Jos toisen asteen yhtälön ax2 + bx + c = 0 ratkaisut ovat x1 ja x2 , niin Huomaa, jos a = 1, niin x1 + x2 = -b ja x1· x2 = c

  22. E.1.Määritä yhtälön ratkaisujen summa ja tulo a) x2 + 4x - 5 = 0 a = 1 b = 4 c = -5 x1 + x2 = - b = -4 x1· x2 = c = -5 (aikasemmin: x1 = 1 ja x2 = -5) b) 4x2 - 2x = 0 (aikaisemmin: x1 = 0 ja x2 = ½)

  23. 7.3.2. Toisen asteen polynomin ax2 + bx + c jakaminen tekijöihin 1) Laske nollakohdat x1 ja x2 2) ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) Huom: Jos x1 = x2, niin ax2 + bx + c = a(x – x1)2 E.2. Jaa tekijöihin a) x2 – 4x – 5 b) 2x2 – 5x - 3 a) Ratkaisukaavalla x1 = 5 x2 = - 1 x2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1) b) Ratkaisukaavalla x1= 3 x2 =-½ 2x2 - 5x - 3 = 2(x - 3)(x + ½) = (x - 3)(2x + 1)

  24. Tekijälause x – a on P(x):n tekijä  P(a) = 0 Siis Binomi (x – a) on polynomin P(x) tekijä, jos ja vain jos x = a on polynomin P(x) nollakohta

  25. E.3. (t.550b)Määritä a siten, että polynomilla ax2 – 6x + 4 on tekijänä x – 1 Tekijälauseen mukaan x = 1 on polynomin nollakohta: a · 12 – 6 · 1 + 4 = 0 a – 2 = 0 a = 2

  26. Toisen asteen epäyhtälö Ratkaisu nollakohtia ja kuvaajaa käyttäen 1) Epäyhtälö perusmuotoon ax2 + bx + c > 0 (tai <, ≤, ≥) 2) Ratkaistaan nollakohdat 3) Hahmotellaan paraabeli (nollakohdat, aukeamissunnta) 4) Päätellään ratkaisu E.1. x2 + 4x - 5 > 0 x2 + 4x - 5 = 0 Nollakohdat: Kuvaaja: x = 1 tai x = -5 -5 1 Vastaus: x < -5 tai x > 1

  27. E.2 a) x2 < 4  x2 - 4 < 0 Nollakohdat: Kuvaaja: x2 – 4 = 0 x2 = 4 x = ±2 + + -2 - 2 V: -2 < x < 2

  28. E.3. x2 - 6x + 9 < 0 Nollakohdat: x2 – 6x + 9 = 0 Kuvaaja: + + x1 = x2 = 3 3 V: (tyhjä joukko)

  29. E.4. Nollakohdat: -x2 + 8x – 16 = 0 Kuvaaja: x1 = x2 = 4 4 V: x  R

  30. E.5. (t.570) Osoita, että funktion f(x) = x2 – 4x + 5 kaikki arvot ovat positiivisia x2 – 4x + 5 > 0 Kuvaaja: Nollakohdat:x2 – 4x + 5 = 0 + + ei ratkaisua, sillä D < 0 => f(x) > 0 kaikilla x  R

  31. Esimerkkejä: 1. Millä x:n arvoilla funktio f(x) = 2x2 - 3x + 2 saa pienempiä arvoja kuin 4? 2x2 - 3x + 2 < 4 2x2 - 3x - 2 < 0 nollakohdat, paraabeli, vastaus 2. Millä vakion a arvoilla yhtälön x2 - 3ax + 2a = 0 ratkaisut ovat reaaliset? D = (-3a)2 - 4 *1*2a = 9a2 - 8a 9a2 - 8a > 0 nollakohdat, paraabeli, vastaus

  32. Polynomin jakaminen tekijöihin Kertausta 1) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 2) a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 3) a2 – b2 = (a + b) (a – b) E.1. Jaa tekijöihin a) x2 + 3x = x(x + 3)b) 6x2 – 8x = 2x(3x – 4) c) 5x3 – 10x2 = 5x2(x – 2) d) x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 e) x2 – 2x + 1 = (x – 1)2 f) x2 – 49 =(x + 7)(x – 7)

  33. 8.1.2. Korkeamman asteen yhtälöt Yhtälöt Tulo on nolla, jos jokin tulon tekijöistä on nolla Merkitse kaikki tulon tekijät = 0 ja ratkaise näin saadut yhtälöt E.2.Ratkaise(x – 2)(x2 – 9) = 0 x – 2 = 0 tai x2 – 9 = 0 x = 2 x2 = 9 x =  3

  34. Tulo = 0, yhteinen tekijä Kaikki termit vasemmalle puolelle Jaetaan tekijöihin Ratkaistaan näin saatu tulo = 0 yhtälö merkitsemällä kaikki tekijät = 0. E.3. Ratkaise x3 – 2x2 – 3x = 0 x(x2 – 2x – 3 ) = 0 x1 = 0 tai x2 – 2x – 3 = 0 x2 = 3, x3 = -1 (RTK-KAAVALLA)

  35. Tulo = 0, ryhmittely Kaikki termit vasemmalle puolelle Ryhmittely, yhteinen tekijä Tekijät = 0 E.4. Ratkaise x3 – 3x2 + x – 3 = 0 (x3 – 3x2) + (x – 3) = 0 x2(x – 3) + (x – 3) = 0 (x2 + 1) (x – 3) = 0 x2 + 1 = 0 tai x – 3 = 0 x2 = -1 x = 3 ei ratkaisua

  36. E.5. (598) a) x4 – 5x2 +4 = 0 b) x4 + 5x2 + 4 = 0

  37. 8.2. Korkeamman asteen epäyhtälöt Tulo > 0 ( <, ,  ) Tekijät =0, merkit Lukusuorataulukko Vastauksen päättely

  38. E.6. Ratkaise (x2 – x)(x + 1) > 0 NK: (x2 – x)(x + 1) = 0 x(x – 1)(x + 1) = 0 x1 = 0 x – 1 = 0 x + 1 = 0 x2 = 1x3 = -1 TAPA I: (kokeilu) f(x) = (x2 – x)(x + 1) = x3 + x2 – x2 – x = x3 - x 0 1 -1 x f(x) = x3 – x - + - + -2 (-2)3 – (-2) = -6 < 0 -½ (-½)3 – (-½) = 3/8 > 0 ½ (½)3 – ½ = -3/8 < 0 V: -1 < x < 0 tai x > 1 2 23 – 2 = 6 > 0

  39. TAPA II: x(x – 1)(x + 1) > 0 NK: Kuten edellä x1 = 0x2 = 1x3 = -1

  40. E.7. Ratkaise 3x3 > 2x2 + x 3x3 - 2x2 – x > 0 x(3x2 – 2x – 1) > 0NK: x(3x2 – 2x – 1) = 0 x1 = 0 V 3x2 – 2x – 1 = 0 x2 = 1

  41. Yhden ratkaisun etsiminen ”kokeilemalla” Jos huomattu x = a, on tekijänä (x - a) Kaikki termit vasemmalle puolelle Jakamalla vasen puoli yhteisellä tekijällä saat toisen tekijän Näin saat yhtälön tulo = 0, joka ratkaistaan E.4. Ratkaise x3 - 4x2 + 3x + 2 = 0 Kokeilemalla yksi rtk: x = 2

  42. Onko annettu binomi polynomin tekijä? x3 – x2 - 5x – 3, (x – 3) Siis jos x – 3 on tekijänä => 3 on polynomin nollakohta

  43. a) Tapa 1 nk: x = 1 x -1 tekijänä Tapa 2 Ratkaisukaavalla nollakohdat: 3x - 4 x = 1 tai x = 4/3

  44. 663. P(x) = ax3 -31x2 + 1 eräs nollakohta on x = 1. Määritä a. P(x) = 0 ? P(1) = 0: a · 13 - 31 · 12 + 1 = 0 a = 30 jakokulmassa

  45. Johdantoesimerkki – kirja sivut 161 -162 E.1. Määritä paraabelin y = x2 – 2x huippu Kuvaaja ”katkoviiva” Paraabelin symmetrisyyden perusteella huipun x-koordinaatti on x-akselin ja paraabelin leikkauspisteiden keskiarvo y sijoittamalla: y = 12 - 2·1 = -1 Huippu: (1, -1) E.2. Määritä paraabelin y = x2 – 2x + 2 huippu Kuvaaja: 2 yksikköä ylöspäin Huipun x – koordinaatti pysyy samana Huipun y-koordinaatti kasvaa 2:lla Huippu (1, 1)

  46. 7.1.4. Paraabelin y= ax2 + bx + c huipun määrittäminen -Käytetään hyväksi paraabelia y = ax2 + bx: lasketaan nollakohdat ax2 + bx = 0 huipun x koordinaatti on nollakohtien keskiarvo huipun y-koordinaatti saadaan sitten sijoittamalla huipun x-korrdinaatti paraabelin yhtälöön

  47. E.1. Määritä paraabelin huippu a) y = 3x2 - 4x b) y = x2 - 6x + 5 a) 3x2 – 4x = 0 x(3x – 4) = 0 x1 = 0 tai 3x – 4 = 0 3x = 4 x2 = 4/3 b) x2 – 6x = 0 x(x – 6) = 0 x1 = 0 tai x – 6 = 0 x2 = 6 V: Huippu on V: Huippu on

  48. 7.2.1. Neliöksi täydentäminen ks. kirja sivut 165 - 166 E.1. Ratkaise x2 – 2x + 1 = 9 (x – 1)2 = 32 x - 1 = 3 tai x – 1 = -3 x = 4 tai x =-2

  49. E.2. Ratkaise x2 – 6x + 5 = 0 x2 – 6x = -5 x2 – 6x + 32 = -5 + 32 (x – 3)2 = 4 (x – 3)2 = 22 x - 3 = 2 tai x – 3 = -2 x = 5 tai x = 1 (a – b)2 = a2 -2ab + b2

More Related