第二章 点、直线和平面

1. 第二章 点、直线和平面 南昌理工学院 机械制图教研室

2. 目 录  2.1 投影法及其分类 2.1.1 中心投影法 2.1.2 平行投影法 2.1.3 平行投影的基本性质 2.1.4 投影面体系与投影轴  2.2 点的投影 2.2.1 点的投影 2.2.2 点的投影规律 2.2.3 点的投影和坐标 2.2.4 各种位置点的投影 2.2.5 两点的相对位置和重影点  2.3 直线的投影 2.3.1 直线的投影 2.3.2 各种位置直线 2.3.3 一般位置直线 2.3.4 投影面平行线 结束放映 2.3.5 投影面垂直线

3. 2.3.6 直角三角形法求实长和倾角 2.3.7 直线上的点 2.3.8 两直线的相对位置 2.3.9 一边平行于投影面的直角的投影  2.4 平面的投影 2.4.1 平面的表示法 2.4.2 用平面的迹线表示平面 2.4.3 各种位置平面 2.4.4 一般位置平面 2.4.5 投影面垂直面 2.4.6 投影面平行面 2.4.7 平面上的直线和点  本章小结 结束放映

4. 2.1 投影法及其分类 物体在光源的照射下会出现影子。 投影的方法就是从这一自然现象抽象出来，并随着科学技术的发展而发展起来的。

5. 投影法的分类： 投射中心 斜投影法 正投影法 投射线 物体 投影面 投影 平行投影法 中心投影法 投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到图形的方法——投影法。

6. 2.1.1 中心投影法 投射中心 S 投射线 投影 a 投影面H c b 中心投影法： 投射线均通过投射中心。 投影特性： 如改变△ABC与投射中心或投影面之间的距离，则其投影△abc的大小也随之改变，度量性较差。 A C B 规 定 大写字母表示空间点; 小写字母表示 相应空间点的投影。 在投射中心确定的情况下，空间的一个点在投影面上只存在唯一一个投影。

7. 2.1.2 平行投影法 S S H H 如果把中心投影法的投射中心移至无穷远处，则各投射线成为相互平行的直线，这种投影法称为平行投影法。 斜投影法 投射方向S 倾斜于投影面H 正投影法 投射方向S 垂直于投影面H

8. 平行投影的投影特性： 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好。 工程图样大多数采用平行投影法的正投影法。

9. 2.1.3 平行投影的基本性质 1.同素性 2.从属性不变 3.平行性不变 4.简单比不变 5.相仿性 特殊情况下：积聚性、全等性。

10. 1 同素性 点的投影是点， 直线的投影一般仍是直线。

11. 2 从属性不变 若点在直线上，则该点的投影一定在该直线的投影上。 即C在AB上，则c在ab上。

12. 3 平行性不变 两平行直线的投影一般仍平行。 AB/CD=ab/cd

13. 4 简单比不变 一条直线上任意三个点的简单比是平行投影的不变量。 AC/BC= ac/bc

14. 5 相仿性 一般情况下，平面形的投影都要发生变形，但投影形状总与原形相仿，即平面投影后，与原形的对应线段保持定比性，表现为投影形状与原形的边数相同、平行性相同、凸凹性相同及边的直线或曲线性质不变。

15. 伸缩系数k：投影长与线段原长之比。 k =ab/AB =cosα

16. 特殊情况下，平行投影还具有以下性质。 1.积聚性 当直线平行于投射方向S 时，直线的投影为点；当平行图形平行于投射方向S 时，其投影为直线。

17. 2.全等性 当线段平行于投影面H 时，其投射长度反映线段的实长；当平面图形平行于投影面H 时，其投影与原平面图形全等。

18. 2.1.4 投影面体系与投影轴 三投影面体系： 用三个相互垂直的投影面构成投影面体系。

19. V Z X O W H Y 三投影面体系： 水平投影面（H面） 正面投影面（V面） 侧面投影面（W面） 两投影面相交， 其交线称为投影轴： V ∩ H = OX轴 H ∩ W = OY轴 V ∩ W = OZ轴

20. 2.2.1 点的投影 a ● a 点A的水平投影。 A a ● ● X a 点A的正面投影。 O a ● Y a 点A的侧面投影。 2.2 点的投影 Z V W H 规定： 空间点用大写字母表示，点的三个投影都用同一个小写字母表示。其中H 投影不加撇，V 投影加一撇，W 投影加两撇。

21. a z a Z x ● a a  a z ● ● V x W ● ● a a YW X O y a y a ● a ● y YH H 投影面展开 Z 向右翻 不动 V a ● a A ● ● X W O a ● H Y 向下翻

22. ● x Z z a a  a ● y a YW X O a a a ● y YH 在投影时，投影的大小不受限制，通常不必画出投影面的边框。

23. ● x a z a a y a y 2.2.2 点的投影规律 1、V、H两投影都反映横标，且投影连线垂直X轴；aa⊥OX轴。 Z 2、V、W两投影都反映高标，且投影连线垂直Z轴；aa⊥OZ轴。 a  a ● YW O X 3、H、W两投影都反映纵标，投影连线是一条折线。 a ● YH 其中W面上的一段垂直OYW，H面上的一段垂直OYH，中间可用折线、45。斜线或以O为圆心的圆弧联系起来。

24. ● x Z a a  a z ● a X YW O a y a a ● y YH aax= aay= z = A 到H 面的距离 aay = aaz= x = A 到W 面的距离 aax= aaz= y = A 到V 面的距离

25. a z a x ● ● x Z a z ● ● a y a  a ● ● a y a X YW O a y a ● YH 小 结： Z 1、点的投影连线垂直于相应的投影轴。 V a ● a A ● ● X W O a ● H Y 2、点的投影到投影轴的距离等于空间点到投影面的距离。

26. c ● cx cyw cyH ［例1］已知点C的两个投影c和c， 求作其水平投影c。 Z cz c ● 通过作45°转宽线使ccz=ccx Yw o X c ● YH

27. 2.2.3 点的投影和坐标 点的每个投影反映两个坐标： V 投影反映高标和横标(a′aX和a′aZ)， H 投影反映纵标和横标(aaX和aaYH )， W 投影反映高标和纵标(a″aYW和a″aZ)。

28. 2.2.4 各种位置点的投影 1、一般位置点（X、Y、Z） 2 、特殊位置点 1)投影面上的点：V 面上点（X、0、Z） H 面上点（X、Y、0） W 面上点（0、Y、Z） X轴上点（X、0、0） Y轴上点（0、Y、0） Z轴上点（0、0、Z） 2)投影轴上点: 3)原点上的点: （0、0、0 ） 注意:点的各个投影一定要写在它所属的投影面区域内。

29. 各种位置点的投影

30. 左 右 后 前 上 上 下 下 后 前 左 右 2.2.5 两点的相对位置和重影点 1、两点的相对位置 两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。 判断方法： X 坐标大的在左 Y 坐标大的在前 Z 坐标大的在上

31. b b bz ● ● 8 12 bx by 10 ● b by ［例2］如图，已知点A 的三投影，另一点B 在 点A 上方8 mm，左方12 mm，前方10 mm处， 求:点B 的三个投影。 作图步骤： Z 1）在a′左方12 mm ， 上方8 mm 处确定b′； a az a ax O YW X 2）作b′b⊥OX 轴，且在a 前10 mm 处确定b ； ay a ay 3）按投影关系求得b″。 YH

32. 2、重影点 当空间两点位于对投影面的同一条投影线上时，这两点在该投影面上的投影重合，称这两点为对该投影面的重影点。

33. 点A、B 在对H 面的同一条投射线上，它们在H 面的投影重合，称为对H 面的重影点。而点C、A则称为对W 面的重影点。

34. a a ● ● b b ● ● a ● ● b 2.3 直线的投影 2.3.1 直线的投影 一般情况下，直线的投影仍为直线。 两点确定一条直线，将直线上两点的同面投影用直线连接起来，就得到直线的三个投影。 Z o X YW YH 直线的投影规定用粗实线绘制。

35. 平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜 垂直于某一投影面 与三个投影面都倾斜的直线 2.3.2 各种位置直线 正平线（平行于Ｖ面） 投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面） 水平线（平行于Ｈ面） 统称特殊位置直线 正垂线（垂直于Ｖ面） 投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面） 一般位置直线

36. 2.3.3 一般位置直线 直线与H、V 和W 三投影面的夹角分别用 α、β、γ表示。 投影长分别是： a b = AB cosα ab = AB cosβ ab=AB cosγ

37. 一般位置直线投影特性 各投影的长度均小于直线本身的实长。 直线的各投影均不平行于各投影轴。

38. 实长 实长 a a Z Z a b a a b a γ β b X X b α X α b b YW YW a a β γ b a 实长 b b YH YH 2.3.4 投影面平行线 水平线 正平线 侧平线 Z YW YH 与H面的夹角:α 与V 面的夹角:β 与W面的夹角:γ 投 影 特 性 1）在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面的真实倾角。 2）另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。

39. 名称 立体图 投影图 投影特性 (1)ab∥OX,ab∥OYW(2)ab=AB ；(3)反映夹角、大小。 水平线 (∥H） (1)ab∥OX,ab∥OZ(2)ab =AB(3)反映夹角、 大小。 正平线 (∥V ) (1)ab∥OYH,ab∥OZ；(2)ab=AB(3)反映夹角、大小。 侧平线 (∥W )

40. 正垂线 铅垂线 侧垂线 ● ● c(d) c d e(f) f e a a Z Z Z b b X o X YW d o X ● YW o YW e f c a(b) YH YH YH 2.3.5 投影面垂直线 投 影 特 性 （1） 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。 （2） 另外两个投影, 反映线段实长， 且垂直于相应的投影轴。

41. 名称 立体图 投影图 投影特性 (1) H 投影为一点，有积聚性；(2) ab OX , abOYW；(3) ab=ab =AB 铅垂线 （H） (1) V 影为一点， 有积聚性；(2) abOX ,abOZ；(3) ab=ab =AB 正垂线 （V） (1) W 投影为一点，有积聚性；(2) Ab  OYH,ab OZ；(3) Ab =ab =AB 侧垂线 （W） 投影面垂直线

42. 2.3.6 直角三角形法求实长和倾角

43. 2.3.7 直线上的点 1、 点和直线的从属关系 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的同面投影上。如图所示，C∈AB ，则有c ∈ab ，c′∈a′b′，c″∈a″b″。 从属性 反之，如果点的各个投影均在直线的同面投影上，则点在直线上。 在图中，C点在直线AB上，而D、E两点均不满足上述条件，所以都不在AB直线上。

44. c ● ● ● ［例1］判断点C是否在线段AB上。 Z a a c b b o X YW a c 　　因c不在ab上，故点C不在AB上。 b YH 另一判断法? 应用简单比定理

45. b c b V a c B b a c C a X X A b c a H 2、点分割线段成定比 直线上的点分割线段之比等于其投影之比。即： AC/CB=ac/cb=ac/cb 定比定理

46. ［例２］试在AB 线段上取一点C ，使AC∶CB＝1∶2 ， 求 :分点C 的投影。 作图步骤： 1）过a(或b)任作一直线aB1（或 bB1) ； b c 2）在aB1上取C1， 使aC1∶C1B1＝1∶2； a X b 3）连接B1、b； c a 4）过C1作C1c∥B1b，与ab交于c ； 5）过c作X轴的垂线与a′b′交于c 。则c 、c′即所求分点C 的投影。 C1 B1 分析： 分点C 的投影，必在AB 线段的同面投影上，且 ac∶cb＝a′c′∶c′b′＝1∶2 　　　 可用比例作图法作图。

47. [例３] 已知直线EF 及点K 的二投影， 试判断:点K 是否在直线EF 线上。 作图步骤： e 1）在H投影上，过f（或e）任作一条直线fE1; 2 )在fE1上取fK1=fk,K1E1=ke; 3) 连接E1e，过K1作直线平行于E1e ，与fe交于k 1 ； k f X e E1 k1。 .K1 k 因为已知投影 k 与k 1不重合， 所以点K 不在直线EF 上。 应用简单比定理 f

48. V b d a B c A X D C a H c b d 2.3.8 两直线的相对位置 空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、相错。 1、两直线平行 投影特性： 空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然。

49. b d a c X a c b d ［例4］判断图中两条直线是否平行。 对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。 AB//CD

50. Z ［例5］判断图中两条直线是否平行。 c c 对于特殊位置直线，只有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。 a a d d b b YW o X c b 求出侧面投影后可知： d a YH AB与CD不平行。