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Mathématiques SN. MODULE 9 La fonction TANGENTE. Réalisé par : Sébastien Lachance. Équations et graphiques. Mathématiques SN - La fonction TANGENTE -. f(x) = tan x (forme générale de BASE). f(x) = a tan [ b ( x – h ) ] + k (forme générale TRANSFORMÉE).

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  1. Mathématiques SN MODULE 9 La fonction TANGENTE Réalisé par : Sébastien Lachance

  2. Équations et graphiques Mathématiques SN- La fonction TANGENTE - f(x) = tan x (forme générale de BASE) f(x) = atan [ b ( x – h ) ] + k(forme générale TRANSFORMÉE) x = ( h + ) + Pn où n   (Équation des ASYMPTOTES) Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture (dilatation ou contraction), l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet. a = - 2 Exemple : f(x) = - 2 tan [ 3 ( x – 1 ) ] + 4 b = 3 h = 1 a b h k k = 4

  3. f(x) = tanx (forme générale de BASE) L’angle « x » n’est pas en DEGRÉ, il est en RADIAN ! Attention avec votre calculatrice* ! *Appuyer sur « MODE » et « RADIAN » 0 0 1 5 2,41  - 2 3 -2 -3  - 5 -1 -2,41 

  4. Période f(x) = tan x 5  - 2 3 -2 -3 - 5 • La fonction TANGENTE est une fonction CYCLIQUE. • PÉRIODE : Longueur d’un CYCLE. P = • Il n’y a pas d’AMPLITUDE associée à cette fonction (contrairement aux fonctions sinusoïdales.)

  5. Période Asymptote Asymptote f(x) = tan x x = h – x = h + 5 (h, k)  - 2 3 -2 -3 - 5 • Les équations des asymptotes sont donc : x = ( h + ) + Pn où n  

  6. Exemple : Représenter graphiquement f(x) = - 2 tan [ ( x + ) ] + 3 . (h, k) = (- /2 , 3) P = = = 4 Période = 4 Période = 4 - 2 + 2 5 Période = 4  - 2 3 4 5 6 7 -3 -2 -5 -4 -7 -6 - 5

  7. Mathématiques SN- La fonction TANGENTE- Résolutions d’équations Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = - tan 2 (x – ) + 1

  8. y 1  x 1 -1 -1 RAPPEL On sait que : P() = ( , ) sin  cos  tan  = 1 Donc : y tan  = x

  9. Mathématiques SN- La fonction TANGENTE- Résolutions d’équations Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = - tan 2 (x – ) + 1 0 = - tan 2 (x – ) + 1 -1 = - tan 2 (x – ) 1 = tan 2 (x – ) Quel est l’angle dont la valeur est « 1 » lorsqu’on effectue « y / x » ? tan-1(1) = 2 (x – )

  10. y 1   3 4 5 2 4  3 3 3 6 5 3 7 4 4 4 7 5 6 6 x 1 -1 -1  3 11 2 2 6 P( ) = ( 0 , 1 ) - P( ) = ( , ) 1 3 P( ) = ( , ) 1 3 2 2 2 2 P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 P( ) = ( , ) 1 - P( ) = ( , ) 3 1 3 2 2 2 2 P( ) = ( 1 , 0 )  0 P( ) = ( - 1 , 0 ) 2 P( ) = ( 1 , 0 ) P( ) = ( , ) 1 - 3 - P( ) = ( , ) 1 - 3 2 2 2 2 - P( ) = ( , ) 2 2 - - P( ) = ( , ) 2 2 2 2 2 2 - P( ) = ( , ) 1 - P( ) = ( , ) - 1 3 3 2 2 2 2 P( ) = ( 0 , - 1 )

  11. Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = - tan 2 (x – ) + 1 0 = - tan 2 (x – ) + 1 -1 = - tan 2 (x – ) 1 = tan 2 (x – ) Quel est l’angle dont la valeur est « 1 » lorsqu’on effectue « y / x » ? tan-1(1) = 2 (x – ) = 2 (x – ) = 2 (x – ) et Période P = P = = = x – = x – Réponse : = x1 = x2 x   + n  où n  

  12. y 1   3 4 4 2 5  3 3 3 6 7 3 5 4 4 4 7 5 6 6 x 1 -1 -1  3 11 2 2 6 REMARQUE… P( ) = ( 0 , 1 ) - P( ) = ( , ) 1 3 P( ) = ( , ) 1 3 2 2 2 2 P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2  + P( ) = ( , ) 1 - P( ) = ( , ) 3 1 3 2 2 2 2 2 P( ) = ( 1 , 0 )  0 P( ) = ( - 1 , 0 ) 1 2 P( ) = ( 1 , 0 ) P( ) = ( , ) 1 - 3 - P( ) = ( , ) 1 - 3 2 2 2 2 - P( ) = ( , ) 2 2 - - P( ) = ( , ) 2 2 2 2 2 2 - P( ) = ( , ) 1 - P( ) = ( , ) - 1 3 3 2 2 2 2 P( ) = ( 0 , - 1 )

  13. En RÉSUMÉ… 2 =  – 1 Avec SIN : 2 = 2 – 1 Avec COS: 2 =  + 1 Avec TAN:

  14. Exemple #2 : Trouver les zéros de f(x) = -3 tan (x – ) + 3 0 = -3 tan (x – ) + 3 = tan (x – ) Quel est l’angle dont la valeur est « » lorsqu’on effectue « y / x » ? tan-1 ( ) = (x – )

  15. y 1   3 4 4 2 5  3 3 3 6 7 5 3 4 4 4 5 7 6 6 x 1 -1 -1  3 11 2 2 6 Il faut rationnaliser ! = = ÷ x EXPLICATION : P( ) = ( 0 , 1 ) - P( ) = ( , ) 1 3 P( ) = ( , ) 1 3 2 2 2 2 P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 P( ) = ( , ) 1 - P( ) = ( , ) 3 1 3 2 2 2 2 P( ) = ( 1 , 0 )  0 P( ) = ( - 1 , 0 ) 2 P( ) = ( 1 , 0 ) P( ) = ( , ) - 1 3 - P( ) = ( , ) - 1 3 2 2 2 2 - P( ) = ( , ) 2 2 - - P( ) = ( , ) 2 2 2 2 2 2 - P( ) = ( , ) 1 - P( ) = ( , ) - 1 3 3 2 2 2 2 P( ) = ( 0 , - 1 )

  16. Exemple #2 : Trouver les zéros de f(x) = -3 tan (x – ) + 3 0 = -3 tan (x – ) + 3 = tan (x – ) Quel est l’angle dont la valeur est « » lorsqu’on effectue « y / x » ? tan-1 ( ) = (x – ) = (x – ) = (x – ) et Période = x –  = x –  = 2 P = P = = x2 = x1 Réponse : x   + 2n  où n  

  17. Mathématiques SN- La fonction TANGENTE- Résolutions d’inéquations Exemple : Résoudre f(x) = - tan 2 (x + ) – 1 ≥ 1 5 y = 1  - P = /2 - 5

  18. Exemple : Résoudre f(x) = - tan 2 (x + ) – 1 ≥ 1 1 ≤ - tan 2 (x + ) – 1 2 ≤ - tan 2 (x + ) -2 ≥tan 2 (x + ) Quel est l’angle dont la valeur est « -2 » lorsqu’on effectue « y / x » ? Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables ! tan-1(-2) ≥ 2 (x + ) -1,1071 ≥ 2 (x + ) +-1,1071 ≥ 2 (x + ) et 2,0344≥ 2 (x + ) -0,55355 ≥ x + -0,94625 ≥ x1 1,01722 ≥ x + 0,6245 ≥ x2

  19. 5 y = 1  - -0,94625 - 5 Période = P = P = Réponse : x  ] + n , -0,94625 + n ] où n  

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