图 Graph

1. 图Graph 2010赛前知识点

2. 图的定义(Graph ) • 比较： • 线性表：数据间关系是线性的，每个元素只有一个前趋，一个后续 • 树：有着明显的层次关系，每个元素只有一个前趋，但有多个后续 • 图：数据之间的关系是任意，每个元素的前趋和后续个数是不定，图是一种较为复杂的非线性数据结构

3. 图的相关概念 • 图的存储表示 • 图的遍历 • 最小生成树 • 两点之间的最短路径问题 • 拓扑排序关键路径

4. 名词和术语 网、子图 完全图、稀疏图、稠密图 邻接点、度、入度、出度 路径、路径长度、简单路径、简单回路 连通图、连通分量、 强连通图、强连通分量 生成树、生成森林

5. 一、 图的基本概念 1、图的的定义 图是由顶点V的集合和边E的集合组成的二元组： 记G=（V，E）

6. 2、无向图和有向图 ⑴无向图Undigraph： 在图G=（V，E）中，如果对于任意的a，b∈V，当(a，b)∈E时，必有（b，a）∈E（即关系R对称），对称此图为无向图。在一无向图中用不带箭头的边 V={V1,V2,V3,V4,V5}  E={(V1,V2),(V2,V3),(V3,V4),(V4,V5),(V5,V1),(V2,V5),(V4,V1)}

7. ⑵有向图Digraph： 如果对于任意的a，b∈V，当(a，b)∈E时 ，(b，a)∈E未必成立，则称此图为有向图。 在有向图中，通常用带箭头的边连接两个有关联的结点。 V={V1,V2,V3,V4} E={<V1,V2>,<V2,V4>,<V1,V3>,<V3,V4>,<V4,V1>} 有向图中的边又称为弧。起点称为弧头、终点称为弧尾。

8. A B E C F A B E C A 弧或边带权的图分别称作有向网或无向网。 9 15 11 7 21 3 2 B 设图G=(V,{VR}) 和图G=(V,{VR}), 且VV, VRVR, 则称G 为 G 的子图。

9. B C D A E F 假若顶点v 和顶点w 之间存在一条边， 则称顶点v和w互为邻接点， 边(v,w)和顶点v 和w相关联。 和顶点v 关联的边的数目定义为边的度。 例如: 右侧图中 ID(B) = 3 ID(A) = 2

10. 对有向图来说， A B E C F 由于弧有方向性，则有入度和出度之分 顶点的出度: 以顶点v 为弧尾的弧的数目; 顶点的入度: 以顶点v为弧头的弧的数目。 例如: OD(B) = 1 顶点的度(TD)= 出度(OD)+入度(ID) ID(B) = 2 TD(B) = 3

11. A B E C F 设图G=(V,{VR})中的一个顶点序列 { u=vi,0,vi,1, …, vi,m=w}中，(vi,j-1,vi,j)VR 1≤j≤m, 则称从顶点u 到顶点w 之间存在一条路径。 路径上边的数目称作路径长度。 如:从A到F长度为 3 的路径{A,B,C,F} 简单路径:指序列中顶点不重复出现的路径。 简单回路:指序列中第一个顶点和最后一个顶点相同的路径。

12. C B D A E F C B D A E F 若图G中任意两个顶点之间都有路径相通，则称此图为连通图; 若无向图为非连通图，则图中各个极大连通子图称作此图的连通分量。

13. A A B E B E C F C F 对有向图， 若任意两个顶点之间都存在一条有向路径，则称此有向图为强连通图。 否则，其各个强连通子图称作它的强连通分量。

14. C B D A E F 假设一个连通图有 n 个顶点和 e 条边，其中 n-1 条边和 n 个顶点构成一个极小连通子图，称该极小连通子图为此连通图的生成树。 对非连通图，则称由各个连通分量的生成树的集合为此非连通图的生成森林。

15. 相邻：若两个结点U、V之间有一条边连接， U、V互为邻接点，称这两个结点U、V是关联的。 带权图：两点间不仅有连接关系，还标明了数量关系（距离、费用、时间等）。 图的阶：图中结点的个数。 结点的度：无向图：与顶点关联的边的数目。 有向图：等于该顶点的入度与出度之和。 　　　入度：在有向图中，把以结点V为终点的边的数目称为V的入度； 　　　出度：在有向图中，把以结点U为起点的边的数目称为U的出度； 　　　奇点：度数为奇数的结点； 　　　偶点：度数为偶数的结点； 　　　终端结点：在有向图中，出度为0的结点； 　　　　定理1：无向图中所有顶点的度之和等于边数的2倍，有向图中的所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和； 　　　　定理2：任意一个图一定有偶数个奇点；

16. 简单路径和回路 路（径）：从一个结点出发，沿着某些边连续地移动而到达另一个指定的结点，这种依次由结点和边组成的序列，叫“路”或者“路径”。 路径长度：路径上边的数目。 起点Vp和终点Vq相同的路径称为环或回路 若一条路径上除了起点Vp和终点Vq可以相同外，其余顶点均不相同，则称此路径为一条简单路径。起点Vp和终点Vq相同的简单路径称为简单回路或简单环。 图(a)中v1→v2→v3是一条简单路径，v1→v3→v4→v1→v3不是简单路径。

17. C B D A E F 连通：如果图中结点U，V之间存在一条从U通过若干条边、点到达V的通路，称U、V是连通的。 连通图：如果一个无向图中,任一对不同顶点U、V，都有一条（U，V）通路，则称图G是连通的。 强连通图：在有向图G中，每一对结点之间都有路径的图。 网络：带权的连通图。

18. 基本术语 完全图、稀疏图与稠密图 无向图其边数e的取值范围是0~n(n-1)/2。 无向完全图：有n(n-1)/2条边的无向图。 有向图其边数e的取值范围是0~n(n-1)。 有向完全图：有n(n-1)条边的有向图。 稀疏图：对于有很少条边的图(e<nlogn)， 反之称为稠密图。 若无向图中任意两个顶点之间都存在着一条边，有向图中的任意两个顶点之间都存在着方向相反的两条边，则称此图为完全图。 N阶完全有向图含有n*(n-1)条边，n阶完全无向图含有n*(n-1)/2条边。即完全图具有最多的边数。任意一对顶点间均有边相连。

19. 图 ⑴、 ⑵图的各顶点的度见下表： 入度（ indegree）：有向图中把以顶点 v为终点的边的条数称为是顶点 v的入度。 出度（ outdegree）：有向图中把以顶点 v为起点的边的条数称为是顶点 v的出度。⑵图各顶点的入度和出度见下表 (各顶点的入度与出度之和为该顶点的度 )

20. 图的存储表示 图的数组(邻接矩阵)存储表示 图的邻接表存储表示

21. 0 (i,j)VR Aij={ 1 (i,j)VR B C A D F E 一、图的数组(邻接矩阵)存储表示 定义:矩阵的元素为

22. A B E C F 有向图的邻接矩阵为非对称矩阵

24. 带权图的邻接矩阵可以定义为： 2邻接矩阵表示为

25. B C A D A 1 4 B 0 4 5 C 3 5 D 2 5 E 0 1 F 1 2 3 0 1 2 3 4 5 F E 二、图的邻接表 存储表示

26. A B E A B C D E 0 1 2 3 4  1 4 C F  2  3  0 1  2 有向图的邻接表 可见，在有向图的邻接表中不易找到指向该顶点的弧

27. 图的邻接表表示法 　

28. A B E C D A B C D E 3  0 1 2 3 4 3 0  4  2  0  有向图的逆邻接表 在有向图的邻接表中，对每个顶点，链接的是指向该顶点的弧

30. 边集数组

31. 图的遍历 从图中某个顶点出发游历图，访遍 图中其余顶点，并且使图中的每个顶点 仅被访问一次的过程。 深度优先搜索 广度优先搜索 遍历应用举例

32. 图的遍历 1、概念：从图中某一结点出发系统地访问图中所有结点，使每个结点恰好被访问一次，这种运算 称图的遍历。 2、遍历图的基本搜索方法有两种：深度优先搜索DFS（Depth First Search）和广度优先搜索BFS（Broad First Search）。这两种方法都适用于有向图和无向图。 图的遍历算法设计需要考虑3个问题： （1）图的特点没有首尾之分，所以算法的参考要指定访问的第一个顶点。 （2）对图的遍历路径有可能构成一个回路，从而造成死循环，所以算法设计要考虑遍历路径可能的回路问题。 （3）一个顶点可能和若干个顶点都是相邻顶点，要使一个顶点的所有相邻顶点按照某种次序被访问。

33. V w1 w3 w2 SG3 SG1 SG2 W1、W2和W3均为 V 的邻接点，SG1、SG2 和 SG3 分别为含顶点W1、W2和W3的子图。 访问顶点 V ; for (W1、W2、W3 ) 若该邻接点W未被访问， 则从它出发进行深度优先搜索遍历。

34. 从上页的图解可见: 1. 从深度优先搜索遍历连通图的过程类似于树的先根遍历; 2. 如何判别V的邻接点是否被访问？ 解决的办法是:为每个顶点设立一个 “访问标志 visited[w]”;

36. 非连通图的深度优先搜索遍历 首先将图中每个顶点的访问标志设为 FALSE, 之后搜索图中每个顶点，如果未被访问，则以该顶点为起始点，进行深度优先搜索遍历，否则继续检查下一顶点。

37. 0 1 6 a b g 3 4 5 2 c d e f 7 8 h k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 F F F F F F F F F 例如: a c a b g h c d e f d k h k f e 访问标志: T T T T T T T T T a c h d k f e b g 访问次序:

38. w2 w1 V w3 w7 w8 w4 w6 w5 二、广度优先搜索遍历图 对连通图，从起始点V到其余各顶点必定存在路径。 w2 w1 其中，V->w1, V->w2, V->w8 的路径长度为1; V w3 w7 V->w7, V->w3, V->w5 的路径长度为2; w8 w4 w6 V->w6, V->w4 的路径长度为3。 w5

39. 从图中的某个顶点V0出发，并在访问此顶点之后依次访问V0的所有未被访问过的邻接点，之后按这些顶点被访问的先后次序依次访问它们的邻接点，直至图中所有和V0有路径相通的顶点都被访问到。 若此时图中尚有顶点未被访问,则另选图中一个未曾被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到为止。

42. 遍历应用举例 1. 求一条从顶点 i 到顶点 s 的 简单路径 2.求两个顶点之间的一条路径 长度最短的路径

43. g b a c d e f h k 1.求一条从顶点 i 到顶点 s 的简单路径 求从顶点 b 到顶点 k 的一条简单路径。 例如: 从顶点 b出发进行深度优先搜索遍历 假设找到的第一个邻接点是c,则得到的结点访问序列为: bc h d a ek f g 假设找到的第一个邻接点是a,且得到的结点访问序列为: ba d h c ek f g

44. 图的生成树 生成树的定义    若从图的某顶点出发，可以系统地访问到图中所有顶点，则遍历时经过的边和图的所有顶点所构成的子图，称作该图的生成树。（此定义不仅仅适用于无向图，对有向图同样适用。）（1）若G是强连通的有向图，则从其中任一顶点v出发，都可以访问遍G中的所有顶点，从而得到以v为根的生成树。（2）若G是有根的有向图，设根为v，则从根v出发可以完成对G的遍历，得到G的以v为根的生成树。

45. (连通网的)最小生成树 问题： 假设要在 n 个城市之间建立通讯联络网，则连通 n 个城市只需要修建 n-1条线路，如何在最节省经费的前提下建立这个通讯网？

46. 该问题等价于： 构造网的一棵最小生成树，即： 在 e 条带权的边中选取 n-1 条边（不构成回路），使“权值之和”为最小。 算法一：（普里姆算法） 算法二：（克鲁斯卡尔算法）

47. 普里姆算法的基本思想: 取图中任意一个顶点 v 作为生成树的根，之后往生成树上添加新的顶点 w。在添加的顶点 w 和已经在生成树上的顶点v 之间必定存在一条边，并且该边的权值在所有连通顶点 v 和 w 之间的边中取值最小。之后继续往生成树上添加顶点，直至生成树上含有 n-1 个顶点为止。

48. 19 a b 5 12 14 c 7 18 e 8 16 3 g d 21 27 f 例如: a b 5 14 c e 8 16 3 g d 21 f 所得生成树权值和 = 14+8+3+5+16+21 = 67

49. V-U U 一般情况下所添加的顶点应满足下列条件: 在生成树的构造过程中，图中 n 个顶点分属两个集合：已落在生成树上的顶点集 U和尚未落在生成树上的顶点集V-U，则应在所有连通U中顶点和V-U中顶点的边中选取权值最小的边。