Café

1. OMPUTER LCUL LGEBRA & ORMEL & UNCTIONAL QUATIONS QUATIONS Notre but est de développer de nouvelles méthodes de « résolution » par le calcul formel d'équations fonctionnelles, c'est-à-dire d'équations où les inconnues représentent des fonctions plutôt que des valeurs numériques, et de faciliter le transfert de ces méthodes dans les sciences de l'ingénieur en produisant les programmes et outils nécessaires. Café

2. Equations et Formules • Combinatoire: : • Equations à retard: Non ! W(z) n’est pas une fonction liouvillienne de z. [BroDav] Fonction de Lambert (1758) : Existe-t-il une formule explicite W(z)= (.. Exp,Sin,Log…) ?

3. Récurrences linéaires EDO non-linéaires Différentielles linéaires EDP linéaires Contrôle Classes d’équations

4. « Décomposer » Recouvrir l’ensemble des solutions par des sous-ensembles ayant de bonnes propriétés Produire des logicielsefficaces et distribuables pour décomposer des systèmes fonctionnels

5. Nouvelles classes d’équations ou de solutions Gain d’efficacité / passage à l’échelle Produire des logiciels robustes/efficaces et des services web de résolution. Mathématiques algorithmes Implémentation Serveurs Ambition scientifique Repousser les limites du traitement par le calcul formel de telles équations

6. Contributions

7. J.Carette (WMI, 1999): et les fonctions spéciales ? Définies par des équations de la forme: Solutions en termes de fonctions spéciales La théorie de Galois a permit le développement d’algorithmes de recherches de solutions Liouvilliennes (Kovacic 1986),... Pas de solutions Liouvilliennes

8. [BroLaf 2002]: calcul de toutes les solutions Solutions en termes de fonctions spéciales (suite) Chercher les arguments et indices d’une fonction spéciale solution de revient à résoudre : Implémentation en Maple + serveur Web de resolution

9. : factorisation : décomposition Factorisation vs. Décomposition Sol(f)=Sol(g) U Sol(h) f(x)=g(x)h(x) Polynômes :

10. Factorisation Beke (1884) Schwarz (1989) ... DécompositionSinger (1996) EDO Linéaires Factorisation différentielle

11. Equations aux différences linéaires ordinaires Factorisation [BroPet 1996] Décomposition (Bomboy 1999) Factorisation différences Solutions Liouvilliennes (2001)

12. Décomposition Hubert (2000) Equations différentielles non-linéaires Factorisation non linéaire

13. Dans le cas ordinaire: Où p=0 est une EDO scalaire [CluHub 2002] Forme résolvante La décomposition d’un système différentiel non-linéaire produit soit:

14. Exemple: Lotka-Volterra

15. MathML 2.0 « Le format natif des mathématiques sur le Web » • Pour tous documents hypertextes et livres électroniques contenant des formules mathématiques • La version 2.0: février 2001 - intègre/prend en compte les nouvelles technologies Web - mécanisme d'extension sémantique clair (OpenMath) • Standard adopté par: - Mozilla (en standard) & Internet Explorer (plug-in) - Maple & Mathematica - USPTO, Airbus, Springer, initiative Open e-book … http://www.w3.org/Math/

16. Logiciels

17. Bibliothèque diffalg: Bibliothèques libaldor Bibliothèque Serveurs Bernina & Shasta Décomposition des EDO:EDP non linéairesPartie intégrante de Maple Appelé « silencieusement » par dsolve: Evolution première version F. Boulier Bibliothèque standard du langage AldorBibliothèque libre de calcul formel (FreeBSD)Distribution standard du compilateur AldorCollaboration Café/ETH/LIFL Extension Aldor de LibAlgebra Intègre les algorithmes de Café (linéaires)Disponible par ftp (Café) Serveurs interactifs sur SumitInterfaces Maple et MuPADDisponible Médicis et Café Logiciels distribués & libalgebra

18. Objectifs 2002-2005

19. Algorithmes de décomposition des systèmes d’EDP linéaires

20. Factorisation Décomposition Li/Schwarz/Tsarev (2002) Min Wu & CAFE (2005) +Tsai & al (97-2002)(holonome) EDP Linéaires Factorisation EDP

21. Applications à l’automatique

22. Systèmes de contrôle 1) Systèmes de contrôle linéaires 1-D: • Systèmes de Kalman • Systèmes polynomiaux 2) Systèmes de contrôle linéaires 2-D: Retard 3) Systèmes multidimensionnels linéaires (EDP sous-détermineés): Élasticité, électromagnétisme, hydrodynamique …

23. Analyse algébrique pour l’automatique Un système de contrôle linéaire est défini par une matrice à coefficients dans un anneau A d’opérateurs: EDP Utilisation de la théorie des modules pour l'analyse et la synthèse des systèmes (Kalman 1965,…): Propriétés structurellesdu système Algorithmes Propriétés algébriques du module Boite à outils pour systèmes multidimensionels(Mgfun, Algo)

24. Platitude des systèmes non-linéaires Un système de contrôle est plat si ses trajectoires peuvent être paramétrisées à l'aide de certaines fonctions des éléments du système (1995) [Fliess-Lévine-Martin-Rouchon … Pomet (MIAOU)] Exemple: Les trajectoires du système (1) sont paramétrées par

25. Platitude (suite) Un système plat est équivalent à un système linéaire contrôlable (linéarisation par feedback). Applications: suivi de trajectoire, stabilisation,… Problème: Pas de test systématique de platitude connu Etude algorithmique de la platitude et du problème deMonge (généralisation aux EDP),Collaboration CAFE-MIAOU

26. Décomposition des systèmes symétriques

27. Factorisation par les symétries de Lie [G. Metivier, IRMAR Rennes] Groupe de symétrie: Ensemble générateur des invariants différentiels Dérivations invariantes Section :

28. Factorisation par les symétries de Lie (suite) Règles de commutation Syzygies: Système réécrit en terme des invariants

29. Services Web mathématiques

30. LogicielCafé Service Web Application courtier Butineur (netscape..) Autre service Web Services Web mathématiques Développer des outils logiciels pour rendre accessibles les logiciels développés dans le projet sous forme de services Web

31. Exemple prototype: outils pour l’étude de systèmes hamiltoniens Hamiltonien H(p,q,m) dépendant de paramètres. Génériquement: non intégrable But: « assistants de calcul » pour éliminer le plus possible de valeurs des paramètres pour lesquelles le système n’est pas intégrable Outils algorithmiques:Linéarisation, théorie de Galois différentielle,… Principe du serveur: rendre ces outils efficaces et indolores

32. Définition d’un courtier Définition d’un service Web mathématique - Spécification des opérations - Caractéristiques du service Services Web: architecture • Encodage des objets mathématiques: OpenMath , MathML • Protocoles d’échange: soap , wsdl Déjà fait En cours A faire [projet MONET]