Избранные вопросы и задачи планиметрии

1. Избранные вопросы и задачи планиметрии Пособие для факультативных занятий Учитель математики МОУ СОШ № 48 Чебан Любовь Михайловна 2012-2013 учебный год

2. Содержание • Теорема Чевы • Теорема Менелая • Задача на применение теорем Чевыи Менелая • Задачи в картинках • Избранные задачи планиметрии (ГИА)

3. Теорема Чевы Доказательство

4. Доказательство • Для случая параллельных прямых из теоремы Фалеса имеем соотношение • Перемножая левые и правые части равенств, получаем искомое равенство. • Обратно, пусть выполнено необходимое условие и при этом Тогда, проведя через вершину B прямую найдем точку B' ее пересечения с прямой AC. Как и в случае доказательства первой теоремы, получим • Если λ > 0, то B' и B1 делят отрезок AC в одном отношении и, следовательно, совпадают. Если λ < 0, то точки B' и B1 лежат вне отрезка AC по одну сторону от точки A или С в зависимости от того, лежат ли точки A1 на отрезке BC или точка C1 на отрезке AB и снова следует из равенства с необходимостью совпадения точек B1 и B1. Для рассмотрения общего случая снова проведем через вершину B прямую a параллельную прямой AC.Треугольник AC1C подобен треугольнику BC1M. Отсюда следует • из подобия треугольников AA1C и NA1B получаем • Наконец, из гомотетичности относительно центра O треугольников ONM и OAC имеем • Перемножая соответственно левые и правые части равенств, получаем искомое равенство. Доказательство достаточности аналогично случаю основной теоремы.

5. Теорема Менелая Доказательство

6. Доказательство • Проведем через точку С прямую, параллельную прямой AB, и обозначим через K точку пересечения этой прямой с прямой A'C' . Поскольку треугольники и подобны (по двум углам), то • Так как подобными являются также треугольники и , тем самым • Исключая CK, получаем • Остаётся заметить, что возможны два расположения точек А’, B’, C’ : либо две из них лежат на соответствующих сторонах треугольника, а третья — на продолжении, либо все три лежат на продолжениях соответствующих сторон. Отсюда для отношений направленных отрезков имеем

7. Задачи на применение теорем Чевы и Менелая

8. 1. x S2 4y S4 3x S1 3y S3 5z 2z В Найти: х 4. 2. Найти: Sчетырехугольника 3. Найти: ВН х 13 5 60 75 С А 9 Н 8 √2 12 Задачи в картинках