ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ -6

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ-6

Дифференциальные уравнения высших порядков

7. Основные понятия. Простейшее ДУ n-го порядка. • Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид: (*) или

Простейшим уравнением n-го порядкаявляется уравнение вида где f(x)- заданная функция. Решается уравнение посредством n последовательных интегрирований. Так как при каждом интегрировании вводится своя произвольная постоянная, то искомое решение ДУ будет зависеть от n произвольных постоянных.

Пример 1.Решить ДУ: Решение:

С1 С2 Ответ. Решение ДУ:

Общим решением ДУ n-го порядка (*) называется функция , которая при любом наборе произвольных постоянных С1, С2,…, Сn обращает это уравнение (*) в тождество. Общее решение ДУ должно содержать столько произвольных постоянных, каков порядок этого уравнения.

Частным решением ДУ n-го порядка (*) называется функция , которая получается при подстановке некоторого набора произвольных постоянных С1, С2,…,Сn в общее решение этого уравнения.

Задача Коши (Cauchy) для ДУ n-го порядка: найти решение ДУ (*), удовлетворяющее начальным условиям …………

Теорема существования и единственности решения задачи Коши. • Если в уравнении функция и её частные производные по аргументам непрерывны в некоторой области D, содержащей точку с координатами ,то существует и притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

Пример 2.Решить задачу Коши: Решение: Найдем С1. Для этого возьмем ⇒ Тогда

Найдем С2. Для этого возьмем Тогда

Найдем С3. Для этого возьмем Тогда частное решение

Пример 3.Решить задачу Коши: Решение: Сначала приведем к виду Найдем С1. Для этого возьмем Тогда

Найдем С2. Для этого возьмем Тогда

или Найдем С3. Для этого возьмем Тогда - частное решение

Пример 4.Найти общее решение ДУ: Решение: - общее решение

8. Дифференциальные уравнения II порядка Это уравнения, содержащие производные или дифференциалы II порядка. Общий вид: или

Общим решением ДУ II порядка называется функция , которая зависит от двух произвольных постоянных С1 и С2. или (неявный вид)

Частным решением ДУ IIпорядка называется любая функция полученная из общего решения при конкретных значениях постоянных С1 и С2. • Задача отыскания решения уравнения , удовлетворяющего заданным начальным условиям где - некоторые числа, называется задачей Коши.

График всякого решения ДУ IIпорядка называется интегральной кривой. Геометрически: • Общее решение ДУ II порядка представляет собой множество интегральных кривых, зависящих от двух произвольных постоянных С1 и С2.

Частное решение ДУ II порядка- одна интегральная кривая этого множества, проходящая через точку (х0, у0) и имеющая в ней касательную с заданным угловым коэффициентом

Пример 5.Решить задачу Коши: Решение: Сначала приведем к виду (2) (1) общее решение

Найдем частное решение: Подставим начальные условия в (1) и (2): (1) (2) Тогда частное решение ДУ:

ДУ: частное решение общее решение

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ -6

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ -6

Presentation Transcript