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数学建模与数学实验

数学建模与数学实验. 拟 合. 实验目的. 1. 直观了解拟合基本内容．. 2. 掌握用数学软件求解拟合问题．. 实验内容. 1. 拟合 问题引例及基本原理．. 2. 用数学 软件求解拟合问题．. 3. 应用 实例. 4. 实验 作业. 拟 合. 1. 拟合问题引例. 2. 拟合的基本原理. 温度 t ( º C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7 电阻 R ( ) 765 826 873 942 1032. 已知热敏电阻数据：. 拟 合 问 题 引 例 1.

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数学建模与数学实验

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Presentation Transcript

  1. 数学建模与数学实验 拟 合

  2. 实验目的 1. 直观了解拟合基本内容． 2. 掌握用数学软件求解拟合问题． 实验内容 1. 拟合问题引例及基本原理． 2. 用数学软件求解拟合问题． 3. 应用实例. 4. 实验作业.

  3. 拟 合 1. 拟合问题引例 2. 拟合的基本原理

  4. 温度t(ºC) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7 电阻R() 765 826 873 942 1032 已知热敏电阻数据： 拟 合 问 题 引 例 1 求60ºC时的电阻R． 设R=at+b a,b为待定系数

  5. 已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射300mg)已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射300mg) t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8 c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01 拟 合 问 题 引 例 2 求血药浓度随时间的变化规律c(t). 作半对数坐标系(semilogy)下的图形 MATLAB(aa1)

  6. y + + + i + + (xi,yi) + + + + x 曲 线 拟 合 问 题 的 提 法 已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi,yi) i=1,…,n,寻求一个函数（曲线）y=f(x),使 f(x)在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好． y=f(x) i 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离

  7. 记 曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路 第一步:先选定一组函数r1(x), r2(x), …,rm(x), m<n,令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ …+amrm(x) （1） 其中a1,a2, …,am为待定系数． 第二步: 确定a1,a2, …,am的准则（最小二乘准则）： 使n个点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离i的平方和最小． 问题归结为，求a1,a2, …,am使J (a1,a2, …,am)最小．

  8. f=a1+a2x f=a1+a2x+a3x2 f=a1+a2x+a3x2 + + + + + + + + + + + + + + + f=a1+a2/x f=aebx f=ae-bx + + + + + + + + + + + + + + + 线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+ …+amrm(x)中函数{r1(x),…,rm(x)}的选取 1. 通过机理分析建立数学模型来确定 f(x)； 2. 将数据 (xi,yi) i=1, …,n作图，通过直观判断确定 f(x)：

  9. 用Matlab做曲线拟合的最小二乘法 • 给出一些离散的点通过一条近似的曲线来表示这些点所代表的函数,这就是曲线拟合的目的.最小二乘法是简便而又实用的曲线拟合方法. • 它除了能直接拟合形如y=a*x+b形的函数外.还能对 1、y=a+b/x,(a>0) 2、y=a*exp(b*x),(a>0) 3、a=a*exp(b/x)(x>0,a>0), 4、y=a+b*lg(x), 5、y=a*x^b(a>0), 6、y=1/(a+b*exp(-x))(a>0); 等式子变换成线性表达式后进行拟合.

  10. 用MATLAB解拟合问题 线性最小二乘拟合

  11. 输出拟合多项式系数 a=[a1, …,am ,am+1] (数组)） 输入同长度 的数组x，y 拟合多项 式次数 用MATLAB作线性最小二乘拟合 1. 作多项式f(x)=a1xm+ …+amx+am+1拟合,可利用已有程序: a=polyfit(x,y,m) 2.多项式在x处的值y可用以下命令计算： y=polyval（a，x）

  12. 即要求 出二次多项式: 中 的 使得: 例 对下面一组数据作二次多项式拟合

  13. 用多项式拟合的命令 • 1）输入以下命令： • x=0:0.1:1; • y=[-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2]; • A=polyfit(x,y,2) • z=polyval(A,x); • plot(x,y,'k+',x,z,'r') %作出数据点和拟合曲线的图形 MATLAB(zxec2) 2）计算结果： Ａ = -9.8108 20.1293 -0.0317

  14. 为了比较拟合结果，我们绘制两者的图形： plot(X,Y,'bo'); hold on; plot(X,Z,‘r*-’); %给出拟合曲线 legend(‘原始数据’,‘拟合数据’); %图形标注

  15. 年份19491954195919641969 人口数541.67602.66 672.09 704.99806.71 年份　　 19741979198419891994 人口数908.59975.42 1034.751106.761176.74 上机作业1 据人口统计年鉴，知我国从1949年至1994年人口数据资料如下： (人口数单位为：百万) （1）在直角坐标系上作出人口数的图象。 （2）建立人口数与年份的函数关系，并估算1999年的人口数。

  16. 即要求 出二次多项式: 中 的 使得: 2、对下面一组数据作二次多项式拟合

  17. 3、最佳营销策略 • 问题：某公司有一批以每桶2元购进的彩漆为了获得较高的利润希望以较高的价格卖出但价格越高,售出量就越少,二者之间的关系由表一给出.于是打算用作广告的办法来促销.而广告费与销售量的关系可由销售增长因子来描述.例如,投入3万元的广告费,销售因子为1.85,意味着做广告后的销售量将是未做广告销售量的1.85倍.根据经验,广告费与销售因子的关系如表2,现请你作出决策：投入多少广告费和售价为多少时所获得的利润最大?

  18. 表1 表2

  19. 提示 • 用描点法画出预期销售量——售价；销售增长因子——广告费的关系图. • 建立上述两个函数关系. • 设x为售价,y为广告费,P为所得利润,建立P关于x和y的函数关系. • 用多元函数的极值理论计算并回答此问题.

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