工科研究生数学 -- 矩阵论 第 3 章 线性空间与线性变换

1. 工科研究生数学 --矩阵论第3 章 线性空间与线性变换 吴 群 同济大学数学系 wuqun@tongji.edu.cn 同济大学数学系 2009-3-22

2. 3.1 线性空间的基本概念 定义：设 V 是一个非空集合，F 为数域，a, b, g  V, 对于任意的a, b  V, 总有唯一的元素 g  V 与之对应，称 g为a 与b 的和，记作 g =a +b，且 2

3. 对于任意的 l F及任意的a V，总有唯一的元素 d V 与之对应，称d 为l与a 的积，记作 d = la，且 则称V为数域 F上的线性空间，称V的元素为向量， 称满足(1)-(4)的和为加法，满足(5)-(8)的积为数乘。 3

4. 例1. 实数域上全体n 维向量的集合 定义加法： 定义数乘： 4

5. 例2 实数域 R上的全体 m×n矩阵，对矩阵的加法 和数乘运算构成 R上的线性空间，记作 Rm×n ∴Rm×n是一个线性空间。 5

6. 例3 次数小于n 的多项式的全体，记作 P[x]n 对于多项式的加法、数乘多项式构成线性空间。 6

7. 例3 n 次多项式的全体 = + + + ¹ 0 } { x x n-1 a a Q [ x ] L a a n-1 n-1 1 0 n 对于多项式的加法和乘数运算不构成线性空间 \ 对运算不封闭 Q [ x ] . n 7

8. 例４ 正弦函数的集合 对于通常的函数加法及数与函数的乘法构成 线性空间． 8

9. 是一个线性空间. 9

10. 例５ 在区间[a, b]上全体实连续函数，对函数的 加法与数和函数的数量乘法，构成实数域R上的 线性空间，记作C[a, b]。 ∴C[a, b]是一个线性空间。 10

11. 例6 正实数的全体 R+，在其中定义加法及乘数 运算为 验证 R+对上述加法与乘数运算构成线性空间． 11

12. + + Î ( 3 ) R 1 , a R , 中存在零元素 对任何 有 + - + " Î Î 1 ( 4 ) a R , a R , 有负元素 使 证明 12

13. 所以 对所定义的运算构成线性空间． 13

14. 定义: 设V 是数域F上的线性空间，W 是V 的非空子集， 若对于V 中的加法和数乘二种运算， W 是数域F 上的线性空间，则称W 是V 的子空间。 定理: 设V 是数域F上的线性空间，W 是V 的非空子集， 若W 对于V 中的加法和数乘二种运算封闭，即 则称W 是V 的子空间。 14

15. 例1. 实数域上n 维向量的集合 例2. 设A为m×n 矩阵，向量的集合 15

16. 例3. 设V 是数域F上的线性空间， V 的子空间, 记作

17. 定理: 设V 是F上的线性空间， 则

18. 定义: 设W1, W2是线性空间V 的子空间，称集合 为W1与W2的和，记作 W1+ W2 称集合 为W1与W2的交，记作 W1∩ W2

19. 定理: 设W1, W2是线性空间V 的子空间，则W1+ W2 与 W1∩W2 都是V 的子空间。 称 W1+ W2 为W1与W2的和空间， 称 W1∩W2 为W1与W2的积空间。

20. 例4. 线性空间R3的子空间 求 Rx+ Ry ， Rx+ Rxy和Rx ∩ Rxy 。

21. 3.2 维数，基与坐标 定义: 设V 是一个线性空间，a1, a2, …an∈V 若 (1) a1, a2, … an 线性无关， (2) a∈V , a 可由a1, a2, … an 线性表示， a =x1a1+x2a2+ … +xnan 则称a1, a2, …an 为V 的一组基， 称 x1, x2 , …, xn为a在基a1, a2, …an 下的坐标， 称 n 为V 的维数，记作 dimV = n 。 21

22. 例1 设 是实数域 R 上的线性空间。 则 22

23. 自然基 23

24. 例2 设 求a = (1,0,-1)T在基 为R3 的一组基， 下的坐标。 24

25. 25

26. 中的元素 例3 求 ，在基 下的坐标。 26

27. 解：设 27

28. 28

29. 例4 设 (1) 证明 (2) 求 f在这组基下的坐标。

30. 定理: 设W 是 n 维线性空间V 的子空间，dimW = m， a1, …, am为W 的一组基，则存在n-m个V 中向量 am-1, … an使得a1, … am, am-1, … an 成为V 的基. 定理(维数公式): 设V1, V2是线性空间V 的子空间，则

31. 例5 设V1, V2是n维线性空间V 的子空间，若 则V1, V2中必有非零的公共向量。

32. 3.3 基变换与坐标变换 定义: 设V 是一个线性空间，a1, a2, …an∈V b1, b2, …bn∈V 为V 的两组基，若 【基变换公式】

33. 【基变换公式】 则P 称为由基 到基 的 转移矩阵（或过渡矩阵），其中

34. 例3 设 是 中的两组基，求由基 到基 的转移矩阵P ； 34

35. 基变换公式 P 到基 的转移矩阵 P 是由基 35

36. 定理: 设V 是线性空间，a1, a2, …an , b1, b2, …bn是V 的两组基，P 是由基a1, a2, …an到b1, b2, …bn的 过渡矩阵，则 是由x 到y 的坐标变换公式，其中

37. 37

38. 例4 设 是 中的两组基， 下的坐标 在基 向量是 ，求 在基 下的坐标。 38

39. 39

40. 例5 设 是R2 × 2中的两组基，求 到基 的过渡矩阵P (1)由基 (2) 在基 下的坐标. 40

41. 41

42. 42

43. 例6 设线性空间R[x]3的二组基分别是

44. 3.4 子空间的直和 定义：设V1, V2是线性空间V 的子空间，若对每个向量 aV1+ V2 都有唯一的分解式 则称V1与V2的和V1+ V2是直和，记作 V1V2 。

45. 例1. 线性空间R3的子空间 求 RxRy ，RxRyz 。

46. 定理：设V1, V2是线性空间V 的子空间，则下列命题等价 (1) V1与V2的和V1+ V2是直和; (2) 向量 0 的分解式是唯一的； (3) V1 ∩ V2= {0}; (4) V1的一组基与V2的一组基的简单并是V1+ V2的基； (5) dim(V1+ V2) = dimV1+ dimV2。

47. 例2. 设

48. 定理：设U 是线性空间V 的子空间，则存在V 的 子空间W，使得V =UW。 称W 是U在V中的直和补。

49. 3.5 线性变换 定义 设V为线性空间， V上的变换 T : V→V 若满足 则称 T为V上的线性变换。

50. y a ′ a x O 例1. 设T 为R2上的线性变换， T :R2→R2 T (a) = a ′ （如图） T 把向量 a 绕原点逆时针 旋转 q角度变换为a ′ 。 q 称T为旋转 变换。