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吉林大学远程教育课件. 离散数学. ( 第 二十 讲 ). 主讲人 : 杨凤杰. 学 时： 64. §4.4 Hamilton 图 1859 年 , 爱尔兰数学家 Hamilton 在市场上提出了一个奇特的数 学游戏题 , 问题的主要部分是涉 及一个正十二面体 , 如下图。这 是通常所称的正则柏拉图体的一种，这是以 12 个正五边形为面，且这些正五边形的三边相交与 20 个顶点的一个多面体。. Hamilton 用正十二面体代表地 球，在每个顶点上都标以一个 重要城市的名字 : 布鲁塞尔、广 州、德里、法兰克福等等。游戏
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吉林大学远程教育课件 离散数学 (第二十讲) 主讲人: 杨凤杰 学 时：64
§4.4 Hamilton图 1859年,爱尔兰数学家Hamilton 在市场上提出了一个奇特的数 学游戏题,问题的主要部分是涉 及一个正十二面体,如下图。这 是通常所称的正则柏拉图体的一种，这是以12个正五边形为面，且这些正五边形的三边相交与20个顶点的一个多面体。
Hamilton用正十二面体代表地 球，在每个顶点上都标以一个 重要城市的名字:布鲁塞尔、广 州、德里、法兰克福等等。游戏 题的内容是:沿着正十二面体的棱寻找一条旅行路线,通过每个城市恰好一次又回到出发城市。这便是Hamilton回路问题。
4.4.1 Hamilton路 Hamilton图的必要条件 定义4.4.1 设G=(P,L)是有限 图,(v1,…,vn)是G中一条路。如 果G中每点恰在此路中出现一次, 则称此路为Hamilton路;如果G中每点,除v1外,恰在此路中出现一次,而v1=vn,则此路称为Hamilton回路。 定义4.4.2 设G=（P，L）是有限图,如果G中有一条Hamilton回路,则称G为Hamilton图。
任意两点都相邻的图称之为完全 图。显然，由m个节点构成的完 全图是Hamilton图。m个节点构 成的完全图通常记为Km。 和Euler路不同，Hamilton路感 兴趣的是图中的点,一条Hamilton 路决不会在两点间走两次以上，因此，没有必要在有向图中讨论它，只要在图中讨论它就可以了。 一个邮递员，如果他的任务需要遍历某些特定的街道,那么他最好走一条Euler路;如果他的任务是联系某些特定的收发点,那么他最好走一条Hamilton路。
Euler路同Hamilton路相比较， 前者要周游诸弧，后者要周游诸 点，虽然仅有一字之差，但两者 的困难程度却不大相同。对于前 者，在上节我们已经得到了一些 较为深刻的定理，比较满意地解 决了这个问题；但对于后者， 却没有令人满意的结果。寻找一个图是 Hamilton图的充分必要条件,仍是图论中 一个重要问题。
定理4.4.1 如果图G=(P，L)是 Hamilton图，则对P（G）的任 一非空子集S，都有 W(G-S) |S| 其中 |S| 表示集合S的元素数， G-S表示在G中删除S中的点以及 以S中的点为端点的所有边而剩下的图，W(G-S)表示图G-S的连通分支数。 证明：设C是G中的Hamilton回路,显然， W(C-S) |S| 因为C是G的支撑子图，所以C-S是G-S的支撑子图。故W(G-S) W(C-S)，故W(G-S) |S|。
图1 图2 图3 C A B 例如，将图1中点A，B，C的集合 记为S，于是，图1删去S，剩下的 图的分支数是4,即W（图2-S）=4， 而|S|=3。由定理4.4.1知,图1不是 Hamilton图。定理4.4.1用于图2、 图3得不出任何结论。
4.4.2 Hamilton图的若干充分条件 定理4.4.2 若G=（P，L）是有 限图，|P(G)| 3， |P(G)|/2， 则G是Hamilton图。其中|P(G)|表 示图G中点数，表示G中点的最小度。 证明：令 =|P(G)|。今后， 将一直用 表示|P(G)|。 反证法,假若G不是,不妨设G是满足3, /2的极大非Hamilton图（所谓极大是指：满足这个条件的其它非Hamilton图都是它的子图）。 显然，G不是完全图。
设u,v是G中不相邻的两点,于是，G∪{uv}是Hamilton图,且其中设u,v是G中不相邻的两点,于是，G∪{uv}是Hamilton图,且其中 每条Hamilton回路都要通过边uv。 因此，G中有起点为u，终点为v的Hamilton路： （v1,v2, … ,v-1, v） 其中v1=u, v=v。令 S={vi|v1vi+1L(G)},T={vi|vivL(G)}。 于是,S∩T=。否则,设 vjS∩T。于是， (v1,v2,…,vj,v,v-1, …, vj+1,v1） 是G中一条Hamilton回路，且此回路不通过边v1v （即uv），矛盾。
因为 v S∪T,故|S∪T| (其中|S∪T|表示的S∪T元数)。 于是， d(u)+d(v) = |S|+|T| = |S∪T| 故d(u)，d(v)中至少有一个小于 /2，这与 /2矛盾。故G是Hamilton图。定理4.4.2 只是一个充分性条件,它可以用于判定某些图是Hamilton图,但不是所有的Hamilton图都可以用它来判断。
图1 图2 图3 C A B 例如，它无法用于图2，图3， 虽然图2和图3是Hamilton图。
引理1 设G是有限图，u, v是G 中不相邻的两点，并且满足： d(u)+d(v) 。 则G是Hamilton图的充要条件是 G∪{uv}是Hamilton图。 证明：必要性显然。 充分性 若G∪{uv}是Hamilton图，而G不是，仿照定理4.4.2的证明，得到d(u)+d(v) ，矛盾。
定义4.4.3 设G是有限图。反 复连接G中不相邻的并且其度之 和不小于 的点对，直到没有 这样的点对为止。最后所得的 图称为G的闭合图，记为C(G)。 例如，下图是一个求闭合图的 过程。
引理2 有限图G的闭合图C(G) 是唯一确定的。 证明:设G1,G2是G的两个闭合图。 {l1, … , lm}，{f1, … ,fn} 分别是加入G中得到G1，G2的边 序列。 往证：liL(G2) (i=1, … , m)，fjL(G1) (j=1, … , n)。 若不然，设lk+1（设其两端点为u, v）是第一条（从左向右看）属于{l1, … , lm}而不属于L(G2)的边。令
H=G∪{l1, … , lk} 因为 dH(u)+dH(v) ， 而H是G2的子图，所以 dG2(u)+dG2(v) 而u, v在G2中不相邻 （注意：uvL(G2)）， 故上式与G2的定义矛盾。故所有的li (i=1, … , m)都在L(G2)中。 同理可证，所有的fj (j=1, … , n)都在L(G1)中。 因此，G1= G2。
