第八章 統計估計

1. 第八章 統計估計

2. 學習目標 • 瞭解點估計的意義、估計的步驟與限制。 • 瞭解優良估計式的性質。 • 瞭解區間估計的意義。 • 瞭解大樣本與小樣本母體常態、變異數已知與未知下，單一母體平均數區間估計的方法。 • 知悉t分配的意義與機率值。 • 瞭解單一母體比例區間估計的方法。 • 瞭解單一母體變異數區間估計的方法。 • 瞭解卡方分配的意義與卡方值。

3. 統計推論(statistical inference)是我們從樣本中獲得關於母體的資訊並且從中推導出結論的程序。 為了做推論，我們需要敘述統計、機率分配及抽樣分配的技術和知識。 統計推論 統計 樣本 母體 資料 資訊 推論 統計量 參數

4. 估計的目的是在樣本統計量的基礎上，決定一個母體參數的近似值。估計的目的是在樣本統計量的基礎上，決定一個母體參數的近似值。 有兩種估計的類型： 點估計量 (point estimator) 區間估計量 (interval estimator) 估計的概念

5. 點估計量 一個點估計量(point estimator) 藉著一個單一數值或點來估計母體的未知參數，以對母體進行推論。 先前看到連續分配的點機率幾乎是0。同樣地，我們期望點估計量會依樣本量的增加而更接近參數值。但是，點估計量沒有能力反映較大樣本的效果。因此，我們將使用區間估計量(interval estimator)估計母體參數。

6. 點估計量與區間估計量 假設一位統計學教授想要估計其商學院二年學生的平均暑期收入。隨機選出25 位學生(n=25)， 計算的樣本平均週薪是$400。 點估計量 區間估計量 另一種說法： 二年級商學院學生暑期的平均週薪是介於$380 與$420 之間。

7. 點估計量品質 估計量品質是包括不偏性 (unbiasedness)、一致性(consistency)、相對有效性(relative efficiency)： 1. 不偏性 若估計式的平均數等於母體參數值，則該估計式為不偏估計式(unbiased estimator) ，否則為偏誤估計式(biased estimator) 。 即若，則為的不偏估計式。 例：樣本平均數 與 分別是母體平均數µ與σ2的不偏估計式。

8. 點估計量品質 2. 一致性 一個不偏估計量被稱為是一致的(consistent)，假如隨著樣本大小的變大，估計量與參數間的差異會隨之變小。 若為不偏誤估計式或漸近不偏估計式，當，其變異數趨近於零，即 則為的一致性估計式。 例： 是 µ 的一個一致性估計量，因為：

9. 點估計量品質 3. 有效性 如果一個參數有兩個不偏估計量，變異數比較小的那一個被稱為是相對的比較有效(relatively more efficient)。 即 設、均為的不偏誤估計式，若 則相對為有效估計式。

10. 3. 相對有效性 例：樣本平均數 及樣本中位數Me都是母體平均數的不 偏估計值，然而，樣本中位數Me擁有比樣本平均數 更 大的變異數，所以我們選擇 ，因為與樣本中位數比較 ， 其相對的比較有效。 因此，樣本平均數 是母體平均數 µ“最好/佳”估計值。

11. 例1：估計式的相對有效性評斷標準 與Me的相對有效性

12. 例2：不偏性、相對有效性 隨機變數為一組以抽出放回的方式，從母體中隨機抽出的樣本，現以與來估計μ ， 試比較此二估計式的不偏性、相對有效性。

13. 例2：不偏性、相對有效性 解: (1) 不偏性 與皆為之不偏估計式。  

14. 例2：不偏性、相對有效性 解: (2)相對有效性  

15. 例3：不偏性、一致性 隨機變數為一組以抽出放回的方式，從母體中隨機抽出的樣本，現以估計σ2 ，試比較此估計式的不偏性、一致性。

16. 例3：不偏性、一致性 解: (1) 不偏性 為σ2之不偏估計式。  

17. 例3：不偏性、一致性 解: (2)一致性   為σ2之一致性估計式。

18. 區間估計的意義 對未知的母體參數估計出一個上下限的區間，並指出該區間包含母體參數的可靠度。 點估計量的值不會恰好等於母體參數值。 區間估計值 (interval estimate)通常是由點估計值加或減某個值求得，我們稱這個加減值是邊際誤差 (margin of error)。 信賴區間：是在一個既定的信賴水準下所構成的一個區間。區間估計值的一般形式是： 點估計值 邊際誤差 信賴水準(信賴係數) ：是指信賴區間包含母體參數的信心(或稱可靠度)。 區間估計值可以讓我們瞭解：點估計值與母體參數值的接近程度。

19. 區間估計量 一個區間估計量(interval estimator)使用一個區間來估計母體未知參數的值，以對母體進行推論。 這就是我們所說的(有某些___% 確實性) 關注的母體參數在下限及上限的範圍之間。

20. 第一部份

21. 3.單一母體平均數μ之估計 (一) 定義： (1) 設(X1，X2，. . . . . . ，Xn)為由母體f(x) 中抽出的n個隨機樣本，若θ為此母體之參數，設T1、T2為兩個統計量，使得P( T1≦θ≦T2)=1-α 則稱(T1, T2) 為θ 的100(1-α) %信賴區間，而稱1-α為信賴度(confidence level) (2) 若 為θ之估計式，若，則稱d為以估計θ的100(1-α)%誤差界限。

22. 3.單一母體平均數μ之估計-點估計 (二) 點估計 (1)母體平均數μ之估計是最常見估計問題之一，且一般皆以來估計μ，也就是說取為μ的估計式，因此為μ之點估計值。 (i)（重要!!） 當樣本數n已知，且n>30時，以估計μ的100(1-α)%誤差界限為 (思考方式)

23. (推導) 以 代入公式得到 ∵大樣本n>30，使用統計量進行估計μ 為以估計μ的100(1-α)%之誤差界限

24. 3.單一母體平均數μ之估計-點估計 (ii)（重要!!）當樣本數n未定，但n>30時，若誤差界限d已知，則樣本數為n為 (思考方式)

25. 3.單一母體平均數μ之估計-區間估計 大樣本，母體變異數已知) 抽自任意母體且為大樣本時，當樣本數n>30且母體變異數已知，則使用統計量進行區間估計 此時，母體平均數μ的100(1-α)%信賴區間為 (推導) 或

26. (i) 大樣本，母體變異數已知) 區間可以表示成 信賴下限 (Lower confidence limit) = 信賴上限(Upper confidence limit) = 其中機率1 – α 稱為信賴水準，為測量區間實際包含 µ 的機率。 • 3.單一母體平均數μ之估計-區間估計

27. 3.單一母體平均數μ之估計-區間估計 (ii) (大樣本，變異數未知，且樣本數n>30) 當樣本數n>30且母體變異數未知，可用S2來取代σ2，則使用統計量進行區間估計 此時，母體平均數μ的100(1-α)%信賴區間為 (推導) 或

28. 3.單一母體平均數μ之估計-區間估計 (iii) (母體為有限且採取不歸還抽樣) (a) 以估計μ的100(1-α)%誤差界限為 (b) 母體平均數μ的100(1-α)%信賴區間為

29. 3.單一母體平均數μ之估計-區間估計 (iv) (小樣本，變異數未知，且樣本數n<30) 當樣本數n<30且母體變異數未知，可用S2來取代σ2，則使用統計量進行區間估計 此時，母體平均數μ的100(1-α)%信賴區間為 (推導) 或

30. 例 4. 大樣本 • 一家雜誌社欲知其讀者的平均年齡，以作為雜誌內容走向的參考，根據其對訂閱戶抽查所得的讀者平均年齡為36歲。 • 當樣本數為49，母體標準差為6歲，求該雜誌讀者平均年齡的95%信賴區間。 解： ∵大樣本n=49>30，母體變異數σ2已知 使用統計量進行估計μ ∴平均年齡μ的95%信賴區間

31. 例 4. 大樣本 (b)當樣本數為49，樣本標準差為6歲，求該雜誌讀者平均年齡的95%信賴區間。 解： ∵大樣本n=49>30，母體變異數σ2未知 使用統計量進行估計μ ∴平均年齡μ的95%信賴區間

32. 例 4. 小樣本 (c)當樣本數為25，母體分配為常態，樣本標準差為6歲，求該雜誌讀者平均年齡的95%信賴區間。 解： ∵小樣本n=25<30，母體變異數σ2未知 使用統計量進行估計μ ∴平均年齡μ的95%信賴區間

33. 例 5. 小樣本，變異數σ未知 • 為了檢驗某款迷你車的耗油量，經測試1公升的油料所能行駛的里程數6次，分別是17.2、16.5、17.5、17.7、16.1、15.9公里。若假設里程數為常態分配，試求該款車1公升油料平均所行駛之里程數的95％信賴區間。

34. 例 5. 小樣本，變異數σ未知 解： ∵小樣本n=6<30，母體變異數σ2未知 使用統計量 ∴平均平均里程數μ的95%信賴區間

35. 區間估計的準確度： • 在信賴區間長度相同之下，信賴水準1- α越大則準確度越大。 • 當信賴水準1-α相同時，信賴區間長度越短則準確度越大。 • 信賴敘述的結論永遠是針對母體而不是樣本。 • 信賴水準1- α越大，則誤差界限越大。 • 報告誤差界限時，用95%的信賴水準是很普遍的。 • 在同樣的信賴水準下，要求較小的誤差界限時，只要增加樣本數就成了。

36. 區間估計的準確度： • 是非題 • 點估計通常較區間估計更精確。 • 點估計值估計母體參數時，可能完全正確或完全不正確，且其估計正確的可靠度未知； • 而區間估計的可靠度即信賴係數，故可知區間估計的可靠度較點估計為佳。 (X)

37. 區間估計的準確度： • 是非題 2. 當母體變異數未知，但已知母體為常態分配時，用Z分配與t分配所求得的母體平均數的信賴區間的長度是一樣的。 • Z分配信賴區間長度 • t分配信賴區間長度 • 當樣本數很大時，兩個區間長度會一樣， • 但樣本數不很大時，，故用t分配求得的信賴區間會較長 (X)

38. 區間估計的準確度： • 是非題 • 信賴區間的長度與準確度隨信賴水準的增加而增加。 • 信賴水準的增加信賴區間的長度增加(Why?) • 信賴區間的長度增加精確度減少 (X)

39. 區間估計的準確度： • 是非題 4. 若母體為常態分配，且母體變異數為已知，當信賴水準不變時，母體平均數的信賴區間長度隨樣本數的增加而變小。 • 信賴區間長度 • 樣本數增加時，信賴區間長度變小。 (O)

40. 4.單一母體比例p之估計-點估計 (一) 點估計 樣本比率為母體比率p之不偏估計量，且在大樣本時，之抽樣分配近似於常態。 因此，母體比例p之估計是最常見估計問題之一，且一般皆以來估計p，也就是說取為p的不偏估計式，因此為p之點估計值。 (i)（重要!!） 當樣本數n已知，且n>30時，以估計p 的100(1-α)%誤差界限為

41. (推導) 以 代入公式得到 ∵大樣本n>30，使用統計量進行估計p 為以估計p的100(1-α)%之誤差界限

42. 3.單一母體比例p之估計-點估計 (ii)（重要!!）當樣本數n未定，但n>30時，若誤差界限d已知，則求樣本數n之方法 (a) 為樣本比例 (b) p 無任何資訊

43. 4.單一母體比例p之估計-區間估計 大樣本，抽自任意母體且為大樣本時，當樣本數n>30 且若np≥ 5且 n(1－p) ≥ 5) ，則使用統計量進行區間估計 (推導) 此時，母體比例p的100(1-α)%信賴區間為 或

44. 4.單一母體比例p之區間估計

45. 例 6. 母體比例的區間估計 • 為了想瞭解女性高爾夫球員對高爾夫球課程的看法，針對全美 900 位女性高爾夫球員進行調查。調查結果發現，有 396 位女性高爾夫球員對練習發球的次數感到滿意，如此，對發球次數感到滿意的女性高爾夫球員之母體比例的點估計為396/900＝0.44。

46. 解： ∵大樣本n=900>30，使用統計量進行估計p 其中 ∴發球次數感到滿意的女性高爾夫球員之母體比例p的95%信賴區間 ∴在 95% 的信賴水準下，母體比例p的區間估計為 (0.4076,0.4724 )。 結論是：我們有 95% 的信心說，有 40.76% 至 47.24% 的女性高爾夫球員對其練習發球的次數感到滿意。

47. 例 7. 樣本數 • 某茶葉製造公司欲了解其在市場的佔有率，乃在市場上進行抽樣調查。假設該公司要求樣本比例與母體之誤差不能超過0.01，且有95％的信賴度，則樣本數應為何？

48. 例 7. 樣本數 解： ∵ p未知，故以p=1/2代入， 可解得 ∴故至少應選取9,604個樣本點。

49. 5.單一母體變異數σ2之估計-點估計 (一) 點估計 樣本變異數為為母體變異數σ2之不偏估計量。 因此，母體變異數σ2之估計一般皆以來估計σ2 ，也就是說取為σ2 的不偏估計式，因此為σ2 之點估計值。

50. 5.單一母體變異數σ2之估計-區間估計 隨機變數為一組從母體中隨機抽出的樣本，則使用統計量進行σ2區間估計。 此時，母體變異數σ2的100(1-α)%信賴區間為 (